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1. [2025莆田二十五中月考]已知$x=1$是一元二次方程$(m-2)x^2 +4x -m^2=0$的一个根，则$m$的值为（
A.-1或2
B.-1
C.2
D.0
B
）A.-1或2
B.-1
C.2
D.0
答案
把$x=1$代入$(m-2)x^2 +4x -m^2=0$,得$m-2 +4 - m^2=0$,即$-m^2 + m +2=0$,解得$m_1=2,m_2=-1$. $\because (m-2)x^2 +4x -m^2=0$是关于$x$的一元二次方程,$\therefore m-2 ≠ 0$,$\therefore m ≠ 2$,$\therefore m=-1$.
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步，根据一元二次方程根的定义，将x=1代入原方程，得到关于m的一元二次方程，求解得到m的两个可能值；第二步，结合一元二次方程的定义，一元二次方程的二次项系数不能为0，据此排除不符合要求的m值，即可得到最终答案。
【解析】
已知x=1是一元二次方程$(m-2)x^2 +4x -m^2=0$的根，将x=1代入方程得：
$m-2 +4 - m^2=0$
整理得：$-m^2 + m +2=0$解这个方程，得$m_1=2$，$m_2=-1$。又因为$(m-2)x^2 +4x -m^2=0$是一元二次方程，所以二次项系数不为0，即：$m-2≠0 \implies m≠2$因此排除m=2，最终m=-1。
【答案】B
【知识点】
一元二次方程的定义；方程的根的定义；解一元二次方程
【点评】
本题易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，误选包含m=2的选项，解题时要注意审题，明确题目给出的是一元二次方程，需对解出的参数值进行合理性检验。
【难度系数】
0.6
解题思路分为两步：第一步，根据一元二次方程根的定义，将x=1代入原方程，得到关于m的一元二次方程，求解得到m的两个可能值；第二步，结合一元二次方程的定义，一元二次方程的二次项系数不能为0，据此排除不符合要求的m值，即可得到最终答案。
【解析】
已知x=1是一元二次方程$(m-2)x^2 +4x -m^2=0$的根，将x=1代入方程得：
$m-2 +4 - m^2=0$
整理得：$-m^2 + m +2=0$解这个方程，得$m_1=2$，$m_2=-1$。又因为$(m-2)x^2 +4x -m^2=0$是一元二次方程，所以二次项系数不为0，即：$m-2≠0 \implies m≠2$因此排除m=2，最终m=-1。
【答案】B
【知识点】
一元二次方程的定义；方程的根的定义；解一元二次方程
【点评】
本题易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，误选包含m=2的选项，解题时要注意审题，明确题目给出的是一元二次方程，需对解出的参数值进行合理性检验。
【难度系数】
0.6
2. 若关于$x$的一元二次方程$(k-1)x^2 - x + 2 = 0$有两个不相等的实数根，则$k$的取值范围是
$k＜\frac{9}{8}且k≠1$
。答案
$\because (k-1)x^2 - x + 2 = 0$有两个不相等的实数根,$\therefore \Delta=(-1)^2 -4 × 2 × (k-1) ＞0$,解得$k＜\frac{9}{8}$. $\because$ 该方程是一元二次方程,$\therefore k-1 ≠ 0$,解得$k ≠ 1$. 综上,$k$的取值范围是$k＜\frac{9}{8}$且$k ≠ 1$.
解析
【分析】
解决本题需要同时考虑两个限制条件：第一，题目明确该方程是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，否则方程会变为一元一次方程，不符合题意；第二，方程有两个不相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，此时判别式Δ＞0。我们先分别根据两个条件求出k的取值范围，再取两个范围的公共部分即可得到最终结果。
【解析】
解：
1. 由一元二次方程的定义可知，二次项系数不为0：
$k-1≠0$，解得$k≠1$。
2. 由方程有两个不相等的实数根，可得判别式$\Delta＞0$：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，$\Delta=b^2-4ac$，本题中$a=k-1$，$b=-1$，$c=2$，代入得：
$\Delta=(-1)^2-4×(k-1)×2＞0$
计算得：$1-8(k-1)＞0$
展开化简：$1-8k+8＞0$，即$9-8k＞0$
移项解得：$k＜\frac{9}{8}$
综上，k的取值范围为$k＜\frac{9}{8}$且$k≠1$。
【答案】
$k＜\frac{9}{8}$且$k≠1$
【知识点】
一元二次方程的定义，根的判别式的应用
【点评】
本题是典型的易错题，解题时很容易忽略“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含条件，仅通过判别式求范围导致结果错误，审题时要注意挖掘题目中的隐含限制条件。
【难度系数】
0.65
解决本题需要同时考虑两个限制条件：第一，题目明确该方程是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，否则方程会变为一元一次方程，不符合题意；第二，方程有两个不相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，此时判别式Δ＞0。我们先分别根据两个条件求出k的取值范围，再取两个范围的公共部分即可得到最终结果。
【解析】
解：
1. 由一元二次方程的定义可知，二次项系数不为0：
$k-1≠0$，解得$k≠1$。
2. 由方程有两个不相等的实数根，可得判别式$\Delta＞0$：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，$\Delta=b^2-4ac$，本题中$a=k-1$，$b=-1$，$c=2$，代入得：
$\Delta=(-1)^2-4×(k-1)×2＞0$
计算得：$1-8(k-1)＞0$
展开化简：$1-8k+8＞0$，即$9-8k＞0$
移项解得：$k＜\frac{9}{8}$
综上，k的取值范围为$k＜\frac{9}{8}$且$k≠1$。
【答案】
$k＜\frac{9}{8}$且$k≠1$
【知识点】
一元二次方程的定义，根的判别式的应用
【点评】
本题是典型的易错题，解题时很容易忽略“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含条件，仅通过判别式求范围导致结果错误，审题时要注意挖掘题目中的隐含限制条件。
【难度系数】
0.65
3. 用直接开平方法解方程$(3x + 1)^2 = (2x - 5)^2$，直接开平方后正确的是（
A.$3x + 1 = 2x - 5$
B.$3x + 1 = -(2x - 5)$
C.$3x + 1 = ±(2x - 5)$
D.$3x + 1 = ±2x - 5$
C
）A.$3x + 1 = 2x - 5$
B.$3x + 1 = -(2x - 5)$
C.$3x + 1 = ±(2x - 5)$
D.$3x + 1 = ±2x - 5$
答案
C
解析
【分析】
解这道题首先要回忆直接开平方法的运算规则：若两个代数式的平方相等，根据平方根的性质，这两个代数式相等或互为相反数。解题时先把方程左右两边括号内的式子分别看作整体，再按照直接开平方法的规则变形，同时要注意右边的整体要加括号，避免符号分配错误，再对应选项选出正确答案即可。
【解析】
根据直接开平方法的原理：对于形如$A^2=B^2$的方程，开平方后可得$A=\pm B$，即A等于B或A等于B的相反数。
本题中，$A=3x+1$，$B=2x-5$，将其代入上述规则可得：
$3x+1=\pm(2x-5)$
对选项逐一判断：
A选项仅考虑了$3x+1=2x-5$这一种情况，遗漏了相反数的情况，错误；
B选项仅考虑了$3x+1=-(2x-5)$这一种情况，遗漏了相等的情况，错误；
C选项符合直接开平方法的变形规则，正确；
D选项去掉了右侧的括号，导致±仅作用于2x，不符合整体取正负的要求，错误。
【答案】
C
【知识点】
直接开平方法，平方根的性质
【点评】
本题是直接开平方法解方程的基础题型，易错点有两个：一是开平方时遗漏正负两种情况，二是对右侧代数式取相反数时漏加括号，导致符号错误，解题时要注意将等号两侧的式子作为整体处理。
【难度系数】
0.7
解这道题首先要回忆直接开平方法的运算规则：若两个代数式的平方相等，根据平方根的性质，这两个代数式相等或互为相反数。解题时先把方程左右两边括号内的式子分别看作整体，再按照直接开平方法的规则变形，同时要注意右边的整体要加括号，避免符号分配错误，再对应选项选出正确答案即可。
【解析】
根据直接开平方法的原理：对于形如$A^2=B^2$的方程，开平方后可得$A=\pm B$，即A等于B或A等于B的相反数。
本题中，$A=3x+1$，$B=2x-5$，将其代入上述规则可得：
$3x+1=\pm(2x-5)$
对选项逐一判断：
A选项仅考虑了$3x+1=2x-5$这一种情况，遗漏了相反数的情况，错误；
B选项仅考虑了$3x+1=-(2x-5)$这一种情况，遗漏了相等的情况，错误；
C选项符合直接开平方法的变形规则，正确；
D选项去掉了右侧的括号，导致±仅作用于2x，不符合整体取正负的要求，错误。
【答案】
C
【知识点】
直接开平方法，平方根的性质
【点评】
本题是直接开平方法解方程的基础题型，易错点有两个：一是开平方时遗漏正负两种情况，二是对右侧代数式取相反数时漏加括号，导致符号错误，解题时要注意将等号两侧的式子作为整体处理。
【难度系数】
0.7
4. [2025衡阳期末]方程$(x - 1)^2 = 2026^2$的解为
$x_1=2\ 027,x_2=-2\ 025$
.答案
$(x-1)^2=2\ 026^2$,直接开平方,得$x-1=\pm 2\ 026$,即$x-1=2\ 026$或$x-1=-2\ 026$,解得$x_1=2\ 027,x_2=-2\ 025$.
解析
【分析】
观察方程形式，等号左右两边都是完全平方的形式，适合用直接开平方法求解。解题时先将$x-1$看作一个整体，根据“若两个数的平方相等，则这两个数相等或互为相反数”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，再分别求解即可得到原方程的解。
【解析】
解：对原方程直接开平方，得
$x-1=\pm 2026$
即$x-1=2026$或$x-1=-2026$
分别解这两个一元一次方程：
当$x-1=2026$时，$x=2026+1=2027$
当$x-1=-2026$时，$x=-2026+1=-2025$
【答案】
$x_1=2027,x_2=-2025$
【知识点】
1. 直接开平方法
2. 平方根的性质
3. 一元二次方程的解
【点评】
本题是解一元二次方程的基础题型，解题核心是将含未知数的完全平方项视为整体，利用平方的性质降次转化为一次方程求解，解题时需注意开平方后有正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.8
观察方程形式，等号左右两边都是完全平方的形式，适合用直接开平方法求解。解题时先将$x-1$看作一个整体，根据“若两个数的平方相等，则这两个数相等或互为相反数”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，再分别求解即可得到原方程的解。
【解析】
解：对原方程直接开平方，得
$x-1=\pm 2026$
即$x-1=2026$或$x-1=-2026$
分别解这两个一元一次方程：
当$x-1=2026$时，$x=2026+1=2027$
当$x-1=-2026$时，$x=-2026+1=-2025$
【答案】
$x_1=2027,x_2=-2025$
【知识点】
1. 直接开平方法
2. 平方根的性质
3. 一元二次方程的解
【点评】
本题是解一元二次方程的基础题型，解题核心是将含未知数的完全平方项视为整体，利用平方的性质降次转化为一次方程求解，解题时需注意开平方后有正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.8
5. [2025西宁期末]已知$(x^2 + y^2 + 1)^2 = 81$，则$x^2 + y^2 =$
8
.答案
已知$(x^2 + y^2 + 1)^2 = 81$,直接开平方,得$x^2 + y^2 + 1 = \pm \sqrt{81} = \pm 9$,解得$x^2 + y^2 = 8$或$x^2 + y^2 = -10$(舍去)(注意$x^2 + y^2 \ge 0$).
解析
【分析】
本题可采用整体思想求解，先将$x^2+y^2$看作一个整体，观察到方程左侧是平方形式，右侧是正数，因此可以先用直接开平方法去掉平方，得到关于$x^2+y^2$的一次方程，再结合平方的非负性（$x^2≥0$、$y^2≥0$，因此$x^2+y^2≥0$），排除不符合取值范围的解，即可得到最终结果。
【解析】
对$(x^2 + y^2 + 1)^2 = 81$两边直接开平方，得：
$x^2 + y^2 + 1 = \pm\sqrt{81} = \pm9$
分两种情况计算：
① 当$x^2 + y^2 + 1 = 9$时，移项得$x^2 + y^2 = 9 - 1 = 8$；
② 当$x^2 + y^2 + 1 = -9$时，移项得$x^2 + y^2 = -9 -1 = -10$。
因为平方数具有非负性，即$x^2≥0$，$y^2≥0$，所以$x^2 + y^2≥0$，因此$x^2 + y^2 = -10$不符合要求，舍去。
【答案】
$\boxed{8}$
【知识点】
直接开平方法解方程；平方的非负性；整体思想
【点评】
本题属于易错题，易错点是求解后忽略$x^2+y^2$的非负性，误将$-10$也作为结果。解题时要注意挖掘代数式隐含的取值范围，求出解后及时检验，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
本题可采用整体思想求解，先将$x^2+y^2$看作一个整体，观察到方程左侧是平方形式，右侧是正数，因此可以先用直接开平方法去掉平方，得到关于$x^2+y^2$的一次方程，再结合平方的非负性（$x^2≥0$、$y^2≥0$，因此$x^2+y^2≥0$），排除不符合取值范围的解，即可得到最终结果。
【解析】
对$(x^2 + y^2 + 1)^2 = 81$两边直接开平方，得：
$x^2 + y^2 + 1 = \pm\sqrt{81} = \pm9$
分两种情况计算：
① 当$x^2 + y^2 + 1 = 9$时，移项得$x^2 + y^2 = 9 - 1 = 8$；
② 当$x^2 + y^2 + 1 = -9$时，移项得$x^2 + y^2 = -9 -1 = -10$。
因为平方数具有非负性，即$x^2≥0$，$y^2≥0$，所以$x^2 + y^2≥0$，因此$x^2 + y^2 = -10$不符合要求，舍去。
【答案】
$\boxed{8}$
【知识点】
直接开平方法解方程；平方的非负性；整体思想
【点评】
本题属于易错题，易错点是求解后忽略$x^2+y^2$的非负性，误将$-10$也作为结果。解题时要注意挖掘代数式隐含的取值范围，求出解后及时检验，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
6. 新趋势·过程性学习 [2026上海松江区期末]已知一元二次方程$3(x-5)=(x-5)^2$.
小华的解题过程:
$3(x-5)=(x-5)^2$,两边都除以$x-5$,得$3=x-5$,解得$x=8$.
小海的解题过程:
$3(x-5)=(x-5)^2$,提取公因式,得$(x-5)(3 - x -5)=0$,即$x-5=0$或$3 - x -5=0$,解得$x_1=5,x_2=-2$.
(1)小华的解法是错误的,原因是
(2)小海的解法是
小华的解题过程:
$3(x-5)=(x-5)^2$,两边都除以$x-5$,得$3=x-5$,解得$x=8$.
小海的解题过程:
$3(x-5)=(x-5)^2$,提取公因式,得$(x-5)(3 - x -5)=0$,即$x-5=0$或$3 - x -5=0$,解得$x_1=5,x_2=-2$.
(1)小华的解法是错误的,原因是
$x-5$可能为0
;(2)小海的解法是
错误
(填"正确"或"错误")的;若错误,请写出正确的解题过程.答案
解:(1)$x-5$可能为0
(2)错误
正确的解题过程如下:
$3(x-5)=(x-5)^2$,移项,得$3(x-5)-(x-5)^2=0$,
提取公因式,得$(x-5)(8-x)=0$,
即$x-5=0$或$8-x=0$,解得$x_1=5,x_2=8$.
(2)错误
正确的解题过程如下:
$3(x-5)=(x-5)^2$,移项,得$3(x-5)-(x-5)^2=0$,
提取公因式,得$(x-5)(8-x)=0$,
即$x-5=0$或$8-x=0$,解得$x_1=5,x_2=8$.
解析
【分析】
本题考查含公因式的一元二次方程求解的易错点，解题思路如下：(1) 分析小华的解法时，需结合等式的性质：等式两边同时除以同一个不为0的数，等式才成立，小华除以的$(x-5)$是含未知数的整式，可能取值为0，此时除法无意义还会漏根；(2) 分析小海的解法时，重点检查提取公因式后的代数变形是否正确，小海去括号时未变号导致出错，正确做法是先移项将所有项移到等号一侧，再提取公因式$(x-5)$，提取时注意括号前是负号，去括号要变号，最后令两个因式分别为0求解即可。
【解析】
(1) 等式的性质要求等式两边同时除以的数不能为0，小华直接将方程两边除以$(x-5)$，但未考虑$x-5$可能等于0的情况，此时除以0无意义，还会漏掉$x=5$这个根，因此小华解法错误。
(2) 小海提取公因式后去括号时符号出错，解法错误，正确解题过程如下：
移项，得$3(x-5)-(x-5)^2=0$，
提取公因式$(x-5)$，得$(x-5)[3-(x-5)]=0$，
去括号化简，得$(x-5)(8-x)=0$，
即$x-5=0$或$8-x=0$，
解得$x_1=5$，$x_2=8$。
【答案】
(1) $x-5$可能为0
(2) 错误
正确的解题过程如下：
$3(x-5)=(x-5)^2$,移项,得$3(x-5)-(x-5)^2=0$,
提取公因式,得$(x-5)(8-x)=0$,
即$x-5=0$或$8-x=0$,解得$x_1=5,x_2=8$.
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；等式的基本性质；去括号法则
【点评】
本题是一元二次方程求解的典型易错题，主要易错点有两个：一是忽略等式性质的适用条件，直接除以含未知数的整式导致漏根；二是提取公因式后去括号时符号处理错误，解题时要注意规避这两类问题，养成先移项再提公因式的解题习惯。
【难度系数】
0.7
本题考查含公因式的一元二次方程求解的易错点，解题思路如下：(1) 分析小华的解法时，需结合等式的性质：等式两边同时除以同一个不为0的数，等式才成立，小华除以的$(x-5)$是含未知数的整式，可能取值为0，此时除法无意义还会漏根；(2) 分析小海的解法时，重点检查提取公因式后的代数变形是否正确，小海去括号时未变号导致出错，正确做法是先移项将所有项移到等号一侧，再提取公因式$(x-5)$，提取时注意括号前是负号，去括号要变号，最后令两个因式分别为0求解即可。
【解析】
(1) 等式的性质要求等式两边同时除以的数不能为0，小华直接将方程两边除以$(x-5)$，但未考虑$x-5$可能等于0的情况，此时除以0无意义，还会漏掉$x=5$这个根，因此小华解法错误。
(2) 小海提取公因式后去括号时符号出错，解法错误，正确解题过程如下：
移项，得$3(x-5)-(x-5)^2=0$，
提取公因式$(x-5)$，得$(x-5)[3-(x-5)]=0$，
去括号化简，得$(x-5)(8-x)=0$，
即$x-5=0$或$8-x=0$，
解得$x_1=5$，$x_2=8$。
【答案】
(1) $x-5$可能为0
(2) 错误
正确的解题过程如下：
$3(x-5)=(x-5)^2$,移项,得$3(x-5)-(x-5)^2=0$,
提取公因式,得$(x-5)(8-x)=0$,
即$x-5=0$或$8-x=0$,解得$x_1=5,x_2=8$.
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；等式的基本性质；去括号法则
【点评】
本题是一元二次方程求解的典型易错题，主要易错点有两个：一是忽略等式性质的适用条件，直接除以含未知数的整式导致漏根；二是提取公因式后去括号时符号处理错误，解题时要注意规避这两类问题，养成先移项再提公因式的解题习惯。
【难度系数】
0.7
7. [2026北京朝阳区期末]用配方法解方程$x^2 +6x +3=0$时，将方程化为$(x+m)^2 =n$的形式，则$n$的值为（
A.12
B.9
C.6
D.3
C
）A.12
B.9
C.6
D.3
答案
$x^2 +6x +3=0$,移项,得$x^2 +6x = -3$,配方,得$x^2 +6x +9 = -3 +9$,$\therefore (x+3)^2=6$,$\therefore n=6$.
解析
【分析】
要使用配方法将给定的一元二次方程化为$(x+m)^2=n$的形式，首先明确配方法的操作逻辑：第一步先把方程中的常数项移到等号右侧，本题二次项系数已经是1，因此直接在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，左侧即可凑成完全平方式，右侧合并后的常数就是所求的$n$。
【解析】
解：对原方程$x^2 +6x +3=0$按配方法步骤变形：
1. 移项，将常数项移到等号右侧，得：$x^2 +6x = -3$
2. 配方：一次项系数为6，其一半的平方为$(\frac{6}{2})^2=9$，给等号两边同时加9，得：$x^2 +6x +9 = -3 +9$
3. 整理得：$(x+3)^2=6$
因此$n=6$，对应选项C。
【答案】C
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题是配方法应用的基础题型，核心考查配方法的操作步骤，解题时需注意移项要变号，配方时等式两边要同时加上相同的数，避免只给左侧加常数导致等式不成立的错误。
【难度系数】
0.8
要使用配方法将给定的一元二次方程化为$(x+m)^2=n$的形式，首先明确配方法的操作逻辑：第一步先把方程中的常数项移到等号右侧，本题二次项系数已经是1，因此直接在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，左侧即可凑成完全平方式，右侧合并后的常数就是所求的$n$。
【解析】
解：对原方程$x^2 +6x +3=0$按配方法步骤变形：
1. 移项，将常数项移到等号右侧，得：$x^2 +6x = -3$
2. 配方：一次项系数为6，其一半的平方为$(\frac{6}{2})^2=9$，给等号两边同时加9，得：$x^2 +6x +9 = -3 +9$
3. 整理得：$(x+3)^2=6$
因此$n=6$，对应选项C。
【答案】C
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题是配方法应用的基础题型，核心考查配方法的操作步骤，解题时需注意移项要变号，配方时等式两边要同时加上相同的数，避免只给左侧加常数导致等式不成立的错误。
【难度系数】
0.8
8. [2025威海期末]若某个一元二次方程的根为$x =$ 
,则该一元二次方程为（
A.$3x^2 -2x -1=0$
B.$3x^2 +2x +1=0$
C.$-3x^2 -2x +1=0$
D.$-3x^2 +2x -1=0$
,则该一元二次方程为（A
）A.$3x^2 -2x -1=0$
B.$3x^2 +2x +1=0$
C.$-3x^2 -2x +1=0$
D.$-3x^2 +2x -1=0$
答案
根据$x=\frac{2\pm \sqrt{4-4× 3× (-1)}}{2× 3}$,可得该一元二次方程的二次项系数为3,一次项系数为-2(一次项系数的相反数为2),常数项为-1,故该一元二次方程为$3x^2 -2x -1=0$.
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要利用一元二次方程的求根公式与题目给出的根的表达式对应求解。首先回忆一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}(b^2-4ac≥0)$，解题时只需将题目给出的根的式子和求根公式的各部分一一对应，分别求出二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，就能得到对应的一元二次方程，再匹配选项即可。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，对应的求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}(b^2-4ac≥0)$。
将题目给出的根的表达式$x=\frac{2\pm\sqrt{4-4×3×(-1)}}{2×3}$与求根公式逐项对比：
1. 对比分母：$2a=2×3$，解得$a=3$；
2. 对比分子的一次项部分：$-b=2$，解得$b=-2$；
3. 对比根号内的判别式部分：$b^2-4ac=4-4×3×(-1)$，其中$b^2=(-2)^2=4$，代入$a=3$可得$c=-1$。
将$a=3、b=-2、c=-1$代入一般形式，得方程$3x^2-2x-1=0$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程求根公式；一元二次方程的一般形式
【点评】
本题重点考查对一元二次方程求根公式结构的理解，解题的关键是准确匹配求根公式各部分的对应关系，尤其要注意一次项系数的符号，避免因符号判断错误丢分，也可通过将选项逐一代入求根公式计算验证的方法求解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们需要利用一元二次方程的求根公式与题目给出的根的表达式对应求解。首先回忆一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}(b^2-4ac≥0)$，解题时只需将题目给出的根的式子和求根公式的各部分一一对应，分别求出二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，就能得到对应的一元二次方程，再匹配选项即可。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，对应的求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}(b^2-4ac≥0)$。
将题目给出的根的表达式$x=\frac{2\pm\sqrt{4-4×3×(-1)}}{2×3}$与求根公式逐项对比：
1. 对比分母：$2a=2×3$，解得$a=3$；
2. 对比分子的一次项部分：$-b=2$，解得$b=-2$；
3. 对比根号内的判别式部分：$b^2-4ac=4-4×3×(-1)$，其中$b^2=(-2)^2=4$，代入$a=3$可得$c=-1$。
将$a=3、b=-2、c=-1$代入一般形式，得方程$3x^2-2x-1=0$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程求根公式；一元二次方程的一般形式
【点评】
本题重点考查对一元二次方程求根公式结构的理解，解题的关键是准确匹配求根公式各部分的对应关系，尤其要注意一次项系数的符号，避免因符号判断错误丢分，也可通过将选项逐一代入求根公式计算验证的方法求解。
【难度系数】
0.7
9. [2025 漯河三中期中] 已知关于x的方程$x^2 - (2m - 1)x + m^2 = 0$的两实数根为$x_1, x_2$，若$(x_1 + 1)(x_2 + 1) = 3$，则m的值为
-3
。答案
根据题意,得$x_1 + x_2 = 2m -1$,$x_1x_2 = m^2$. $\because (x_1 + 1)(x_2 + 1) = x_1x_2 + x_1 + x_2 + 1 = 3$,$\therefore m^2 + 2m -1 +1 =3$,解得$m_1=1$,$m_2=-3$. $\because$ 方程有两实数根,$\therefore \Delta=[-(2m-1)]^2 -4m^2 \ge 0$,$\therefore m \le \frac{1}{4}$,$\therefore m=1$不合题意,$\therefore m=-3$.
解析
【分析】
本题求解参数m的思路可分为三步：第一步，结合题目给出的一元二次方程及两根的关系条件，优先回忆一元二次方程根与系数的关系，写出两根之和、两根之积的表达式；第二步，将$(x_1+1)(x_2+1)=3$展开，代入两根和、两根积的表达式，得到关于m的方程，解出m的初步取值；第三步，注意题干明确说明方程有两个实数根，因此需要结合根的判别式$\Delta \ge 0$求出m的取值范围，舍去不符合要求的m值，最终得到正确结果。
【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系，方程$x^2 - (2m - 1)x + m^2 = 0$的两根$x_1,x_2$满足：
$x_1 + x_2 = 2m - 1$，$x_1x_2 = m^2$
将$(x_1 + 1)(x_2 + 1) = 3$展开得：
$x_1x_2 + x_1 + x_2 + 1 = 3$
代入$x_1+x_2$、$x_1x_2$的表达式得：
$m^2 + 2m - 1 + 1 = 3$
整理得$m^2 + 2m - 3 = 0$，解得$m_1=1$，$m_2=-3$
由于方程有两个实数根，因此判别式$\Delta \ge 0$：
$\Delta = [-(2m-1)]^2 - 4m^2 = -4m + 1 \ge 0$
解得$m \le \frac{1}{4}$，因此$m=1$不符合要求，舍去，最终$m=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程参数求解的典型易错题型，易错点为求解出m的两个初步值后，忽略“方程有两个实数根”的隐含条件，忘记用判别式验证参数取值范围，导致出现多解错误，解题时需注意挖掘题干隐含条件。
【难度系数】
0.6
本题求解参数m的思路可分为三步：第一步，结合题目给出的一元二次方程及两根的关系条件，优先回忆一元二次方程根与系数的关系，写出两根之和、两根之积的表达式；第二步，将$(x_1+1)(x_2+1)=3$展开，代入两根和、两根积的表达式，得到关于m的方程，解出m的初步取值；第三步，注意题干明确说明方程有两个实数根，因此需要结合根的判别式$\Delta \ge 0$求出m的取值范围，舍去不符合要求的m值，最终得到正确结果。
【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系，方程$x^2 - (2m - 1)x + m^2 = 0$的两根$x_1,x_2$满足：
$x_1 + x_2 = 2m - 1$，$x_1x_2 = m^2$
将$(x_1 + 1)(x_2 + 1) = 3$展开得：
$x_1x_2 + x_1 + x_2 + 1 = 3$
代入$x_1+x_2$、$x_1x_2$的表达式得：
$m^2 + 2m - 1 + 1 = 3$
整理得$m^2 + 2m - 3 = 0$，解得$m_1=1$，$m_2=-3$
由于方程有两个实数根，因此判别式$\Delta \ge 0$：
$\Delta = [-(2m-1)]^2 - 4m^2 = -4m + 1 \ge 0$
解得$m \le \frac{1}{4}$，因此$m=1$不符合要求，舍去，最终$m=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程参数求解的典型易错题型，易错点为求解出m的两个初步值后，忽略“方程有两个实数根”的隐含条件，忘记用判别式验证参数取值范围，导致出现多解错误，解题时需注意挖掘题干隐含条件。
【难度系数】
0.6
