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8. 下列各组所给出的两个三角形一定相似的是 （
A.两个直角三角形
B.两个等边三角形
C.两个等腰三角形
D.两个钝角三角形
B
）A.两个直角三角形
B.两个等边三角形
C.两个等腰三角形
D.两个钝角三角形
答案
8.B
解析
【分析】
解题时先回忆相似三角形的核心判定：两角分别相等的两个三角形相似，要判断两个三角形是否一定相似，就看同类型的任意两个三角形是否都能满足对应角相等的条件，我们可以通过举反例的方式逐一排除错误选项，最终确定正确答案。
【解析】
根据相似三角形的判定定理：两角分别对应相等的两个三角形相似，对各选项逐一分析：
A. 两个直角三角形仅直角对应相等，剩余两个锐角不一定对应相等，例如含30°角的直角三角形和等腰直角三角形内角不对应相等，不相似，故A不符合要求；
B. 等边三角形的三个内角均为60°，任意两个等边三角形的三个内角都对应相等，满足相似三角形的判定条件，一定相似，故B符合要求；
C. 两个等腰三角形的顶角、底角不一定对应相等，例如顶角为20°的等腰三角形和顶角为120°的等腰三角形内角不对应相等，不相似，故C不符合要求；
D. 两个钝角三角形的钝角不一定相等，其余两个锐角也不一定对应相等，无法保证内角对应相等，不一定相似，故D不符合要求。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 相似三角形的判定
2. 等边三角形的性质
【点评】
本题重点考查相似三角形的判定和常见三角形的内角特征，解题时要注意题干“一定相似”的要求，可通过举反例快速排除错误选项，是基础概念类的典型考题。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆相似三角形的核心判定：两角分别相等的两个三角形相似，要判断两个三角形是否一定相似，就看同类型的任意两个三角形是否都能满足对应角相等的条件，我们可以通过举反例的方式逐一排除错误选项，最终确定正确答案。
【解析】
根据相似三角形的判定定理：两角分别对应相等的两个三角形相似，对各选项逐一分析：
A. 两个直角三角形仅直角对应相等，剩余两个锐角不一定对应相等，例如含30°角的直角三角形和等腰直角三角形内角不对应相等，不相似，故A不符合要求；
B. 等边三角形的三个内角均为60°，任意两个等边三角形的三个内角都对应相等，满足相似三角形的判定条件，一定相似，故B符合要求；
C. 两个等腰三角形的顶角、底角不一定对应相等，例如顶角为20°的等腰三角形和顶角为120°的等腰三角形内角不对应相等，不相似，故C不符合要求；
D. 两个钝角三角形的钝角不一定相等，其余两个锐角也不一定对应相等，无法保证内角对应相等，不一定相似，故D不符合要求。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 相似三角形的判定
2. 等边三角形的性质
【点评】
本题重点考查相似三角形的判定和常见三角形的内角特征，解题时要注意题干“一定相似”的要求，可通过举反例快速排除错误选项，是基础概念类的典型考题。
【难度系数】
0.9
9. 如图，下列每组图形都有两个相似三角形，则x=
30
，y=$\frac{20}{3}$
，m=80
，n=55
.答案
9.30 $\frac{20}{3}$ 80 55
解析
【分析】
本题需结合相似三角形的性质和三角形内角和定理求解：①先处理图1：观察两个相似三角形的边长，先确定对应边，算出相似比，再根据相似三角形对应边成比例求解x；②再处理图2：先利用三角形内角和算出左图的未知角n，再根据相似三角形对应角相等求出m、n；最后确定两个三角形的边长相似比，根据对应边成比例求解y。解题时需注意准确匹配对应边和对应角，避免对应关系出错。
【解析】
1. 求x的值：
观察图1中两个相似三角形的边长，$\frac{22}{33}=\frac{30}{45}=\frac{2}{3}$，即两个三角形的相似比为$\frac{2}{3}$，x的对应边长度为45，根据相似三角形对应边成比例可得：
$\frac{x}{45}=\frac{2}{3}$，解得$x=45×\frac{2}{3}=30$。
2. 求n、m、y的值：
（1）求n：根据三角形内角和为180°，图2左图中$n=180°-45°-80°=55$。
（2）求m：两个三角形相似，对应角相等，两三角形均有45°角为对应角，左图的55°角对应右图的55°角，因此左图的80°角对应右图的m°角，得$m=80$。
（3）求y：两个三角形对应边的相似比为$\frac{3a}{2a}=\frac{3}{2}$，左图长度为10的边对应右图的y，根据对应边成比例可得：
$\frac{10}{y}=\frac{3}{2}$，解得$y=\frac{20}{3}$。
【答案】
$30$；$\frac{20}{3}$；$80$；$55$
【知识点】
相似三角形的性质；三角形内角和定理；比例的性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题的核心是准确找到相似三角形的对应边和对应角，掌握相似三角形对应边成比例、对应角相等的性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
本题需结合相似三角形的性质和三角形内角和定理求解：①先处理图1：观察两个相似三角形的边长，先确定对应边，算出相似比，再根据相似三角形对应边成比例求解x；②再处理图2：先利用三角形内角和算出左图的未知角n，再根据相似三角形对应角相等求出m、n；最后确定两个三角形的边长相似比，根据对应边成比例求解y。解题时需注意准确匹配对应边和对应角，避免对应关系出错。
【解析】
1. 求x的值：
观察图1中两个相似三角形的边长，$\frac{22}{33}=\frac{30}{45}=\frac{2}{3}$，即两个三角形的相似比为$\frac{2}{3}$，x的对应边长度为45，根据相似三角形对应边成比例可得：
$\frac{x}{45}=\frac{2}{3}$，解得$x=45×\frac{2}{3}=30$。
2. 求n、m、y的值：
（1）求n：根据三角形内角和为180°，图2左图中$n=180°-45°-80°=55$。
（2）求m：两个三角形相似，对应角相等，两三角形均有45°角为对应角，左图的55°角对应右图的55°角，因此左图的80°角对应右图的m°角，得$m=80$。
（3）求y：两个三角形对应边的相似比为$\frac{3a}{2a}=\frac{3}{2}$，左图长度为10的边对应右图的y，根据对应边成比例可得：
$\frac{10}{y}=\frac{3}{2}$，解得$y=\frac{20}{3}$。
【答案】
$30$；$\frac{20}{3}$；$80$；$55$
【知识点】
相似三角形的性质；三角形内角和定理；比例的性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题的核心是准确找到相似三角形的对应边和对应角，掌握相似三角形对应边成比例、对应角相等的性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
10.如图，$AD=2$，$AC=4$，$BC=6$，$∠ B=36°$，$∠ D=107°$，$△ ABC ∽ △ DAC$.
求:(1)$AB$，$CD$的长.(2)$∠ BAD$的度数.
求:(1)$AB$，$CD$的长.(2)$∠ BAD$的度数.
答案
10.(1)$AB=3,CD=\frac{8}{3}$ (2)$143°$
解析
【分析】
本题可利用相似三角形的性质求解：①求边长时，先根据相似三角形的书写顺序确定对应边，列出比例式后代入已知边长计算即可得到AB、CD的长度；②求角度时，先根据相似三角形对应角相等得到∠BAC和∠DAC的度数，结合图形可知∠BAD为两个角的和，相加即可得到结果。
【解析】
(1)
∵ $△ ABC ∽ △ DAC$，根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{AB}{DA} = \frac{BC}{AC} = \frac{AC}{DC}$
已知$AD=2$，$AC=4$，$BC=6$，
将已知值代入$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{AC}$：
$\frac{AB}{2} = \frac{6}{4}$，解得 $AB = \frac{6×2}{4}=3$
将已知值代入$\frac{BC}{AC}=\frac{AC}{CD}$：
$\frac{6}{4} = \frac{4}{CD}$，解得 $CD = \frac{4×4}{6}=\frac{8}{3}$
(2)
∵ $△ ABC ∽ △ DAC$，根据相似三角形对应角相等，可得：
$∠ BAC = ∠ D = 107°$，$∠ DAC = ∠ B = 36°$
由图可知$∠ BAD = ∠ BAC + ∠ DAC$，
∴ $∠ BAD = 107° + 36° = 143°$
【答案】
(1) $AB=3$，$CD=\frac{8}{3}$；(2) $∠ BAD=143°$
【知识点】
相似三角形的性质，比例计算，角度和差运算
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题的核心是准确根据相似三角形的书写顺序确定对应边、对应角，避免因对应关系混淆出现错误。
【难度系数】
0.7
本题可利用相似三角形的性质求解：①求边长时，先根据相似三角形的书写顺序确定对应边，列出比例式后代入已知边长计算即可得到AB、CD的长度；②求角度时，先根据相似三角形对应角相等得到∠BAC和∠DAC的度数，结合图形可知∠BAD为两个角的和，相加即可得到结果。
【解析】
(1)
∵ $△ ABC ∽ △ DAC$，根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{AB}{DA} = \frac{BC}{AC} = \frac{AC}{DC}$
已知$AD=2$，$AC=4$，$BC=6$，
将已知值代入$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{AC}$：
$\frac{AB}{2} = \frac{6}{4}$，解得 $AB = \frac{6×2}{4}=3$
将已知值代入$\frac{BC}{AC}=\frac{AC}{CD}$：
$\frac{6}{4} = \frac{4}{CD}$，解得 $CD = \frac{4×4}{6}=\frac{8}{3}$
(2)
∵ $△ ABC ∽ △ DAC$，根据相似三角形对应角相等，可得：
$∠ BAC = ∠ D = 107°$，$∠ DAC = ∠ B = 36°$
由图可知$∠ BAD = ∠ BAC + ∠ DAC$，
∴ $∠ BAD = 107° + 36° = 143°$
【答案】
(1) $AB=3$，$CD=\frac{8}{3}$；(2) $∠ BAD=143°$
【知识点】
相似三角形的性质，比例计算，角度和差运算
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题的核心是准确根据相似三角形的书写顺序确定对应边、对应角，避免因对应关系混淆出现错误。
【难度系数】
0.7
▲11. 如图，E是AD上的一点，$△ ABE ∽ △ ADB$，且$\frac{BE}{DB}=\frac{3}{5}$，$∠ AEB=110°$，$∠ A=40°$。
(1)求$∠ ABD$与$∠ D$的度数。
(2)写出$△ ABE$与$△ ADB$的对应边成比例的比例式，并求出相似比。
(1)求$∠ ABD$与$∠ D$的度数。
(2)写出$△ ABE$与$△ ADB$的对应边成比例的比例式，并求出相似比。
答案
11.(1)$∠ABD=110°$ $∠D=30°$ (2)$\frac{AE}{AB}=\frac{AB}{AD}=\frac{BE}{BD}=\frac{3}{5}$
解析
【分析】
本题可根据相似三角形的性质结合三角形内角和定理求解：
1. 求解角度时，首先根据相似三角形对应角相等的性质，结合相似三角形的书写顺序找准对应角，先得到∠ABD的度数，再利用三角形内角和为180°计算∠D的度数；
2. 写比例式求相似比时，同样根据相似三角形的顶点对应关系确定对应边，写出对应边成比例的式子，再结合已知的对应边比值得到相似比。
【解析】
(1)
∵△ABE ∽ △ADB，根据相似三角形对应角相等，
∴∠ABD = ∠AEB = 110°，
在△ADB中，根据三角形内角和为180°，
∴∠D = 180° - ∠A - ∠ABD = 180° - 40° - 110° = 30°。
(2)
∵△ABE ∽ △ADB，根据相似三角形对应边成比例，对应边的比值为相似比，
∴对应边成比例的比例式为：$\frac{AE}{AB}=\frac{AB}{AD}=\frac{BE}{BD}$，
已知$\frac{BE}{DB}=\frac{3}{5}$，因此两个三角形的相似比为$\frac{3}{5}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠ABD=110°}$，$\boldsymbol{∠D=30°}$；
(2) 比例式为$\boldsymbol{\frac{AE}{AB}=\frac{AB}{AD}=\frac{BE}{BD}=\frac{3}{5}}$
【知识点】
相似三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是准确把握相似三角形书写顺序中隐含的顶点对应关系，从而快速找准对应角、对应边，只要熟练掌握相似三角形的基本性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
本题可根据相似三角形的性质结合三角形内角和定理求解：
1. 求解角度时，首先根据相似三角形对应角相等的性质，结合相似三角形的书写顺序找准对应角，先得到∠ABD的度数，再利用三角形内角和为180°计算∠D的度数；
2. 写比例式求相似比时，同样根据相似三角形的顶点对应关系确定对应边，写出对应边成比例的式子，再结合已知的对应边比值得到相似比。
【解析】
(1)
∵△ABE ∽ △ADB，根据相似三角形对应角相等，
∴∠ABD = ∠AEB = 110°，
在△ADB中，根据三角形内角和为180°，
∴∠D = 180° - ∠A - ∠ABD = 180° - 40° - 110° = 30°。
(2)
∵△ABE ∽ △ADB，根据相似三角形对应边成比例，对应边的比值为相似比，
∴对应边成比例的比例式为：$\frac{AE}{AB}=\frac{AB}{AD}=\frac{BE}{BD}$，
已知$\frac{BE}{DB}=\frac{3}{5}$，因此两个三角形的相似比为$\frac{3}{5}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠ABD=110°}$，$\boldsymbol{∠D=30°}$；
(2) 比例式为$\boldsymbol{\frac{AE}{AB}=\frac{AB}{AD}=\frac{BE}{BD}=\frac{3}{5}}$
【知识点】
相似三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是准确把握相似三角形书写顺序中隐含的顶点对应关系，从而快速找准对应角、对应边，只要熟练掌握相似三角形的基本性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
