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1. 下列说法错误的是（
A.$-\dfrac{3}{2}x^2y$的系数是$-\dfrac{3}{2}$
B.数字0也是单项式
C.$\dfrac{2}{3}π xy$的系数是$\dfrac{2}{3}$
D.$-π x$是一次单项式
C
）A.$-\dfrac{3}{2}x^2y$的系数是$-\dfrac{3}{2}$
B.数字0也是单项式
C.$\dfrac{2}{3}π xy$的系数是$\dfrac{2}{3}$
D.$-π x$是一次单项式
答案
1. C
解析
【分析】
本题考查单项式的相关概念，解题思路如下：首先回忆单项式的定义、单项式系数和次数的判定规则：①由数或字母的积组成的式子是单项式，单独的数或字母也属于单项式；②单项式的系数是指单项式中的数字因数，注意圆周率π是常数，不属于字母；③单项式的次数是所有字母的指数和。接下来用上述规则逐一判断每个选项的正误，最终选出错误选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：单项式$-\dfrac{3}{2}x^2y$的数字因数是$-\dfrac{3}{2}$，因此它的系数是$-\dfrac{3}{2}$，该说法正确，不符合题意；
B选项：根据单项式的定义，单独的一个数也是单项式，因此数字0是单项式，该说法正确，不符合题意；
C选项：$\dfrac{2}{3}π xy$中π是常数，因此这个单项式的数字因数是$\dfrac{2}{3}π$，即系数为$\dfrac{2}{3}π$，不是$\dfrac{2}{3}$，该说法错误，符合题意；
D选项：$-π x$中字母x的指数是1，因此它是一次单项式，该说法正确，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
单项式的定义；单项式的系数与次数
【点评】
本题属于基础概念题，解题的易错点是容易误将π当作字母，进而错误判断单项式的系数，只要熟练掌握单项式的相关定义，明确π是常数，就能轻松解答这类题目。
【难度系数】
0.7
本题考查单项式的相关概念，解题思路如下：首先回忆单项式的定义、单项式系数和次数的判定规则：①由数或字母的积组成的式子是单项式，单独的数或字母也属于单项式；②单项式的系数是指单项式中的数字因数，注意圆周率π是常数，不属于字母；③单项式的次数是所有字母的指数和。接下来用上述规则逐一判断每个选项的正误，最终选出错误选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：单项式$-\dfrac{3}{2}x^2y$的数字因数是$-\dfrac{3}{2}$，因此它的系数是$-\dfrac{3}{2}$，该说法正确，不符合题意；
B选项：根据单项式的定义，单独的一个数也是单项式，因此数字0是单项式，该说法正确，不符合题意；
C选项：$\dfrac{2}{3}π xy$中π是常数，因此这个单项式的数字因数是$\dfrac{2}{3}π$，即系数为$\dfrac{2}{3}π$，不是$\dfrac{2}{3}$，该说法错误，符合题意；
D选项：$-π x$中字母x的指数是1，因此它是一次单项式，该说法正确，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
单项式的定义；单项式的系数与次数
【点评】
本题属于基础概念题，解题的易错点是容易误将π当作字母，进而错误判断单项式的系数，只要熟练掌握单项式的相关定义，明确π是常数，就能轻松解答这类题目。
【难度系数】
0.7
2. 小明上学步行的速度为5 km/h，若小明到学校的路程为s km，则其上学来回路上共需走（
A.$\frac{s}{5}$ h
B.$5s$ h
C.$\frac{2s}{5}$ h
D.$10s$ h
C
）A.$\frac{s}{5}$ h
B.$5s$ h
C.$\frac{2s}{5}$ h
D.$10s$ h
答案
2. C
解析
【分析】
解题时首先回忆行程问题的基本数量关系：时间=路程÷速度。首先明确题干要求的是“来回路上”的总时间，因此需要先计算往返的总路程，再代入公式计算总时间即可。第一步先算总路程：去学校的路程是s km，放学回家路程同样是s km，总路程就是2s km；第二步将总路程和步行速度代入公式，就能得到总时间。
【解析】
根据行程问题公式：$\mathrm{时间}=\mathrm{路程}÷\mathrm{速度}$
首先计算来回的总路程：往返路程为$s + s = 2s$（km）
已知步行速度为5 km/h，代入公式可得总时间为：$2s÷5=\frac{2s}{5}$（h）
因此选C选项。
【答案】
C
【知识点】
1. 行程问题数量关系
2. 列代数式
【点评】
本题属于基础的代数式应用类题目，易错点是忽略“来回”的条件，直接用单次路程计算时间，只要认真审题，掌握行程问题的基本公式就能正确作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆行程问题的基本数量关系：时间=路程÷速度。首先明确题干要求的是“来回路上”的总时间，因此需要先计算往返的总路程，再代入公式计算总时间即可。第一步先算总路程：去学校的路程是s km，放学回家路程同样是s km，总路程就是2s km；第二步将总路程和步行速度代入公式，就能得到总时间。
【解析】
根据行程问题公式：$\mathrm{时间}=\mathrm{路程}÷\mathrm{速度}$
首先计算来回的总路程：往返路程为$s + s = 2s$（km）
已知步行速度为5 km/h，代入公式可得总时间为：$2s÷5=\frac{2s}{5}$（h）
因此选C选项。
【答案】
C
【知识点】
1. 行程问题数量关系
2. 列代数式
【点评】
本题属于基础的代数式应用类题目，易错点是忽略“来回”的条件，直接用单次路程计算时间，只要认真审题，掌握行程问题的基本公式就能正确作答。
【难度系数】
0.9
3. 如果$(a+3)xy^{|a|}$是关于x,y的一个四次单项式，那么a的值为 （
A.3
B.$-3$
C.$\pm3$
D.$\pm4$
A
）A.3
B.$-3$
C.$\pm3$
D.$\pm4$
答案
3. A
解析
【分析】
要解决这道题，需要抓住两个核心条件：一是单项式次数的定义，二是单项式的系数不能为0。首先，单项式的次数是所有字母的指数和，我们可以据此列出关于a的方程求出a的可能值；再根据系数不为0的限制排除不符合的取值，就能得到正确的a值。
【解析】
∵ $(a+3)xy^{|a|}$是关于x、y的四次单项式
∴ 首先满足次数条件：x的指数为1，y的指数为$|a|$，所有字母指数和为4
即 $1 + |a| = 4$
解得 $|a| = 3$，即 $a = 3$ 或 $a = -3$
其次，单项式的系数不能为0（若系数为0，整个式子为0，不是四次单项式）
即 $a + 3 ≠ 0$，解得 $a ≠ -3$
综上，a只能取3，故选A。
【答案】
A
【知识点】
单项式的次数；单项式的系数；绝对值的性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，易错点是容易忽略单项式系数不为0的隐含条件，直接根据绝对值结果误选C，解题时要注意结合单项式的定义全面考虑限制条件。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需要抓住两个核心条件：一是单项式次数的定义，二是单项式的系数不能为0。首先，单项式的次数是所有字母的指数和，我们可以据此列出关于a的方程求出a的可能值；再根据系数不为0的限制排除不符合的取值，就能得到正确的a值。
【解析】
∵ $(a+3)xy^{|a|}$是关于x、y的四次单项式
∴ 首先满足次数条件：x的指数为1，y的指数为$|a|$，所有字母指数和为4
即 $1 + |a| = 4$
解得 $|a| = 3$，即 $a = 3$ 或 $a = -3$
其次，单项式的系数不能为0（若系数为0，整个式子为0，不是四次单项式）
即 $a + 3 ≠ 0$，解得 $a ≠ -3$
综上，a只能取3，故选A。
【答案】
A
【知识点】
单项式的次数；单项式的系数；绝对值的性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，易错点是容易忽略单项式系数不为0的隐含条件，直接根据绝对值结果误选C，解题时要注意结合单项式的定义全面考虑限制条件。
【难度系数】
0.6
4. 系数为－5，只含有字母m，n的四次单项式只有
3
个，它们是$-5mn^3,-5m^2n^2,-5m^3n$
。答案
4. 3；$-5mn^3,-5m^2n^2,-5m^3n$
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确单项式系数和次数的定义，结合题目给出的3个限制条件推导：①系数固定为-5；②只含字母m、n，说明两个字母都必须存在，指数均为正整数；③是四次单项式，即m和n的指数之和为4。我们只需要找出所有满足“m的指数+n的指数=4，且两个指数都≥1的正整数组合”，就能得到对应的单项式，再统计个数即可。
【解析】
解：根据单项式的相关定义逐步推导：
1. 该单项式系数为-5，因此单项式的数字因数固定为-5；
2. 单项式只含字母m、n，说明m、n的指数都至少为1（若某字母指数为0，则该字母不存在，不符合题目要求）；
3. 该单项式是四次单项式，即m的指数与n的指数的和为4。
设m的指数为a，n的指数为b（a、b均为正整数），则有$a+b=4$，满足条件的正整数解有：
①当$a=1,b=3$时，对应单项式为$-5mn^3$；
②当$a=2,b=2$时，对应单项式为$-5m^2n^2$；
③当$a=3,b=1$时，对应单项式为$-5m^3n$。
综上，符合条件的单项式共有3个。
【答案】
3；$-5mn^3,-5m^2n^2,-5m^3n$
【知识点】
单项式的系数；单项式的次数
【点评】
本题考查对单项式基本概念的理解，解题的关键是抓住“只含有m、n”的隐含要求，即两个字母都要出现，避免把仅含单个字母的$-5m^4$、$-5n^4$算入导致多解，也不要漏记符合指数和要求的组合。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要明确单项式系数和次数的定义，结合题目给出的3个限制条件推导：①系数固定为-5；②只含字母m、n，说明两个字母都必须存在，指数均为正整数；③是四次单项式，即m和n的指数之和为4。我们只需要找出所有满足“m的指数+n的指数=4，且两个指数都≥1的正整数组合”，就能得到对应的单项式，再统计个数即可。
【解析】
解：根据单项式的相关定义逐步推导：
1. 该单项式系数为-5，因此单项式的数字因数固定为-5；
2. 单项式只含字母m、n，说明m、n的指数都至少为1（若某字母指数为0，则该字母不存在，不符合题目要求）；
3. 该单项式是四次单项式，即m的指数与n的指数的和为4。
设m的指数为a，n的指数为b（a、b均为正整数），则有$a+b=4$，满足条件的正整数解有：
①当$a=1,b=3$时，对应单项式为$-5mn^3$；
②当$a=2,b=2$时，对应单项式为$-5m^2n^2$；
③当$a=3,b=1$时，对应单项式为$-5m^3n$。
综上，符合条件的单项式共有3个。
【答案】
3；$-5mn^3,-5m^2n^2,-5m^3n$
【知识点】
单项式的系数；单项式的次数
【点评】
本题考查对单项式基本概念的理解，解题的关键是抓住“只含有m、n”的隐含要求，即两个字母都要出现，避免把仅含单个字母的$-5m^4$、$-5n^4$算入导致多解，也不要漏记符合指数和要求的组合。
【难度系数】
0.7
5. 若单项式$-\dfrac{1}{3}π^2 y^{2n-1}$的次数是3，求当$y=3$时此单项式的值.
答案
5. $-9π^2$
解析
【分析】
解题分两步进行：第一步先明确单项式次数的定义：单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，注意π是常数，不属于字母，因此本题单项式的次数仅由y的指数决定，结合题目给出的次数为3的条件，可确定y的指数是3，得到单项式的完整形式；第二步将y=3代入单项式，按照有理数运算规则计算出结果即可。
【解析】
解：
∵ 单项式的次数是所有字母的指数和，π是常数，
∴ 该单项式的次数就是y的指数，即$2n-1=3$，可知单项式为$-\dfrac{1}{3}π^2 y^3$。
将$y=3$代入单项式得：
$\begin{aligned}原式&=-\dfrac{1}{3}π^2 × 3^3\\&=-\dfrac{1}{3}π^2 × 27\\&=-9π^2\end{aligned}$
【答案】
$-9π^2$
【知识点】
单项式的次数，代数式求值
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是明确π为常数，不要误将其当作字母计算单项式的次数，掌握单项式次数的定义即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
解题分两步进行：第一步先明确单项式次数的定义：单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，注意π是常数，不属于字母，因此本题单项式的次数仅由y的指数决定，结合题目给出的次数为3的条件，可确定y的指数是3，得到单项式的完整形式；第二步将y=3代入单项式，按照有理数运算规则计算出结果即可。
【解析】
解：
∵ 单项式的次数是所有字母的指数和，π是常数，
∴ 该单项式的次数就是y的指数，即$2n-1=3$，可知单项式为$-\dfrac{1}{3}π^2 y^3$。
将$y=3$代入单项式得：
$\begin{aligned}原式&=-\dfrac{1}{3}π^2 × 3^3\\&=-\dfrac{1}{3}π^2 × 27\\&=-9π^2\end{aligned}$
【答案】
$-9π^2$
【知识点】
单项式的次数，代数式求值
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是明确π为常数，不要误将其当作字母计算单项式的次数，掌握单项式次数的定义即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
6. 观察下列单项式的特点：$xy, -2x^2y, 4x^3y, -8x^4y, 16x^5y, \dots$
（1）写出第2019项和2020项；
（2）写出第n个单项式。
（1）写出第2019项和2020项；
（2）写出第n个单项式。
答案
6. (1) $2^{2018}x^{2019}y$，$-2^{2019}x^{2020}y$
(2) $(-2)^{n-1}x^n y$
(2) $(-2)^{n-1}x^n y$
解析
【分析】
解决这类单项式规律题，我们可以把每个单项式拆分为符号、系数绝对值、x的次数、y的次数四个部分分别找规律：①先看符号：奇数项为正，偶数项为负；②再看系数绝对值：第1项是$1=2^0$，第2项是$2=2^1$，第3项是$4=2^2$，可得第k项的系数绝对值为$2^{k-1}$；③x的次数：第1项是1次，第2项是2次，可得第k项x的次数为k；④y的次数所有项都是1次，保持不变。再根据找到的规律分别求解两问即可。
【解析】
我们先将已知单项式按序号对应拆分各部分特征：
第1项：$xy$，符号为正，系数绝对值$1=2^{0}$，$x$的次数为1，含$y$
第2项：$-2x^2y$，符号为负，系数绝对值$2=2^{1}$，$x$的次数为2，含$y$
第3项：$4x^3y$，符号为正，系数绝对值$4=2^{2}$，$x$的次数为3，含$y$
第4项：$-8x^4y$，符号为负，系数绝对值$8=2^{3}$，$x$的次数为4，含$y$
……
由此可得规律：
（1）第2019项是奇数项，符号为正，系数绝对值为$2^{2019-1}=2^{2018}$，$x$的次数为2019，带$y$，即$2^{2018}x^{2019}y$；
第2020项是偶数项，符号为负，系数绝对值为$2^{2020-1}=2^{2019}$，$x$的次数为2020，带$y$，即$-2^{2019}x^{2020}y$。
（2）第$n$个单项式的符号和系数可以合并表示为$(-2)^{n-1}$，字母部分为$x^ny$，因此第$n$个单项式为$(-2)^{n-1}x^ny$。
【答案】
(1) 第2019项为$2^{2018}x^{2019}y$，第2020项为$-2^{2019}x^{2020}y$；
(2) 第$n$个单项式为$(-2)^{n-1}x^ny$
【知识点】
单项式；规律探究；整式
【点评】
本题属于规律探究类题目，解题的核心是将单项式拆解为多个独立部分分别归纳规律，再整合得到整体的通项公式，对观察能力和归纳能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
解决这类单项式规律题，我们可以把每个单项式拆分为符号、系数绝对值、x的次数、y的次数四个部分分别找规律：①先看符号：奇数项为正，偶数项为负；②再看系数绝对值：第1项是$1=2^0$，第2项是$2=2^1$，第3项是$4=2^2$，可得第k项的系数绝对值为$2^{k-1}$；③x的次数：第1项是1次，第2项是2次，可得第k项x的次数为k；④y的次数所有项都是1次，保持不变。再根据找到的规律分别求解两问即可。
【解析】
我们先将已知单项式按序号对应拆分各部分特征：
第1项：$xy$，符号为正，系数绝对值$1=2^{0}$，$x$的次数为1，含$y$
第2项：$-2x^2y$，符号为负，系数绝对值$2=2^{1}$，$x$的次数为2，含$y$
第3项：$4x^3y$，符号为正，系数绝对值$4=2^{2}$，$x$的次数为3，含$y$
第4项：$-8x^4y$，符号为负，系数绝对值$8=2^{3}$，$x$的次数为4，含$y$
……
由此可得规律：
（1）第2019项是奇数项，符号为正，系数绝对值为$2^{2019-1}=2^{2018}$，$x$的次数为2019，带$y$，即$2^{2018}x^{2019}y$；
第2020项是偶数项，符号为负，系数绝对值为$2^{2020-1}=2^{2019}$，$x$的次数为2020，带$y$，即$-2^{2019}x^{2020}y$。
（2）第$n$个单项式的符号和系数可以合并表示为$(-2)^{n-1}$，字母部分为$x^ny$，因此第$n$个单项式为$(-2)^{n-1}x^ny$。
【答案】
(1) 第2019项为$2^{2018}x^{2019}y$，第2020项为$-2^{2019}x^{2020}y$；
(2) 第$n$个单项式为$(-2)^{n-1}x^ny$
【知识点】
单项式；规律探究；整式
【点评】
本题属于规律探究类题目，解题的核心是将单项式拆解为多个独立部分分别归纳规律，再整合得到整体的通项公式，对观察能力和归纳能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
7. 已知$-mx^{n}y^{2}$是关于$x,y$的一个单项式，且系数为1，次数为4.
（1）求$m,n$的值；
（2）求$-10(m+n)^{2023}$的值.
（1）求$m,n$的值；
（2）求$-10(m+n)^{2023}$的值.
答案
7. (1) 由题意，得$m=-1,n=2$.
(2) 因为$m+n=1$，所以原式$=-10$.
(2) 因为$m+n=1$，所以原式$=-10$.
解析
【分析】
要解决本题，首先要明确单项式的两个核心定义：①单项式的系数是指单项式中的数字因数；②单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和。第（1）问可根据题目给出的系数为1、次数为4的条件，分别列出关于m、n的等式，求解即可得到m、n的值；第（2）问只需将第（1）问求出的m、n的值代入待求式，按照有理数运算规则计算即可得到结果。
【解析】
（1）根据单项式系数和次数的定义求解：
已知$-mx^{n}y^{2}$的系数为1，单项式的系数是数字因数，因此可得：
$-m=1$，解得$m=-1$；
已知$-mx^{n}y^{2}$的次数为4，单项式的次数是所有字母的指数和，因此可得：
$n+2=4$，解得$n=2$。
（2）将$m=-1$，$n=2$代入$-10(m+n)^{2023}$计算：
先计算括号内的和：$m+n=-1+2=1$；
再计算乘方：$1^{2023}=1$；
最后计算乘法：原式$=-10×1=-10$。
【答案】
（1）$m=-1$，$n=2$；（2）$-10$
【知识点】
单项式的系数与次数，代数式求值，有理数乘方运算
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查单项式相关定义的应用，解题时要注意单项式的系数包含其前面的符号，避免符号计算出错，代入求值时按照运算顺序逐步计算即可。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先要明确单项式的两个核心定义：①单项式的系数是指单项式中的数字因数；②单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和。第（1）问可根据题目给出的系数为1、次数为4的条件，分别列出关于m、n的等式，求解即可得到m、n的值；第（2）问只需将第（1）问求出的m、n的值代入待求式，按照有理数运算规则计算即可得到结果。
【解析】
（1）根据单项式系数和次数的定义求解：
已知$-mx^{n}y^{2}$的系数为1，单项式的系数是数字因数，因此可得：
$-m=1$，解得$m=-1$；
已知$-mx^{n}y^{2}$的次数为4，单项式的次数是所有字母的指数和，因此可得：
$n+2=4$，解得$n=2$。
（2）将$m=-1$，$n=2$代入$-10(m+n)^{2023}$计算：
先计算括号内的和：$m+n=-1+2=1$；
再计算乘方：$1^{2023}=1$；
最后计算乘法：原式$=-10×1=-10$。
【答案】
（1）$m=-1$，$n=2$；（2）$-10$
【知识点】
单项式的系数与次数，代数式求值，有理数乘方运算
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查单项式相关定义的应用，解题时要注意单项式的系数包含其前面的符号，避免符号计算出错，代入求值时按照运算顺序逐步计算即可。
【难度系数】
0.8
