1. (2025·漳州期中)综合与实践
如图①,在一些建筑上可以看到多边形相互嵌套的图案.如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形,且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上,那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形.如图②是一个正方形.

【观察判断】(1)图③中可以称为正八边形内嵌于正方形的是.
【操作探究】正方形折纸折出正八边形的步骤如下.

(注:山峰线指向上折的凸痕;山谷线指向下折的凹痕)
(2)请按照折纸的思路在图②中作内嵌正八边形并证明.(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)

(1)根据正八边形内嵌于正方形的定义可得题图③中可以称为正八边形内嵌于正方形的是A.故答案为A.
(2)正八边形LGFIHKJE即为所求作.
证明如下:设AO=a,则AB=BC=CD=AD=√2 a.
∵ AE=AF=BG=BH=CI=CJ=DK=DL=AO=a,
∴ AL=AG=BF=BI=CH=CK=DJ=DE=√2 a-a,∠ALG=∠AGL=∠BFI=∠BIF=∠CHK=∠CKH=∠DJE=∠DEJ=45°,
∴ GL=FI=HK=EJ=2a-√2 a,∠GLE=∠LGF=∠GFI=∠FIH=∠IHK=∠HKJ=∠KJE=∠JEL=135°.
∵ LE=AD-AL-DE=√2 a-(√2 a-a)-(√2 a-a)=2a-√2 a,同理可得 GF=IH=KJ=2a-√2 a,
∴ GF=FI=IH=HK=KJ=JE=EL=LG,
∴ 八边形LGFIHKJE是正八边形.

2. 小明对教材“课题学习”中的“用一个正方形折出一个正八边形”的问题进行了认真的探索. 已知 AC 是正方形 ABCD 的对角线, 把∠BAC 对折, 使点 B 落在 AC 上,记为点 E. 再沿 CE 的垂直平分线折叠,得到折痕 PQ,如图①. 类似地,折出其余三条折痕 GH,IJ,KO,得到八边形 GHIJKOPQ,如图②.
(1)求证:△CPQ 是等腰直角三角形.
(2)若 AB=a,求 PQ 的长.(用含 a 的代数式表示)
(3)我们把八条边长相等,八个内角都相等的八边形叫作正八边形. 请说明八边形 GHIJKOPQ 是正八边形.

(1)
∵ 四边形ABCD 为正方形,
∴ ∠ACD=∠ACB=45°,由折叠的性质可知 PQ ⊥ CE,
∴ ∠CQP=∠CPQ=45°,
∴ △CPQ是等腰直角三角形.
(2)由折叠的性质可知 QE = QC, PE = PC, AE = AB = a.
∵ △CPQ是等腰直角三角形,
∴ QC = PC,
∴ QE = EP = PC = CQ.又∠QCP=90°,
∴ 四边形 QEPC 为正方形,
∴ PQ = CE,由勾股定理得 AC = √(AB²+BC²) = √2 a,
∴ CE = AC - AE = √2 a - a,
∴ PQ = √2 a - a.
(3)
∵ ∠CQP = 45°,
∴ ∠GQP = 135°,同理可得 ∠GQP = ∠QPO = ∠POK = ∠OKJ = ∠KJI = ∠JIH = ∠IHG = ∠HGQ = 135°,由(2)可知,当 AB = a 时, PQ = √2 a - a.
∵ △CPQ 是等腰直角三角形,
∴ CQ = (√2/2)PQ = a - (√2/2)a,同理可得 DG = a - (√2/2)a,
∴ GQ = a - (a - (√2/2)a)×2 = √2 a - a,
∴ GQ = QP,同理可得 PO = OK = KJ = JI = IH = HG = GQ = QP,
∴ 八边形 GHIJKOPQ 是正八边形.