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10.「2026江苏宿迁沭阳期中，★☆」如图，AB，AC分别是$\odot O$的直径和弦，$OD ⊥ AC$于点$D$，连接$BD$，$BC$，$BC // OD$。若$AB=10$，$AC=8$，则$BD$的长是（
A.$2\sqrt{5}$
B.$4$
C.$2\sqrt{13}$
D.$\frac{24}{5}$
C
）A.$2\sqrt{5}$
B.$4$
C.$2\sqrt{13}$
D.$\frac{24}{5}$
答案
10.C $\because OD ⊥ AC$,$BC // OD$,$\therefore ∠ ACB= ∠ ADO=90°$,
$\therefore BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$,
$\because OD ⊥ AC$,$AC=8$,$\therefore CD=\frac{1}{2}AC=4$,
$\therefore BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{6^2+4^2}=2\sqrt{13}$.故选C.
$\therefore BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$,
$\because OD ⊥ AC$,$AC=8$,$\therefore CD=\frac{1}{2}AC=4$,
$\therefore BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{6^2+4^2}=2\sqrt{13}$.故选C.
解析
【分析】
解题时首先结合已知条件推导直角：AB是⊙O的直径，可得直径所对圆周角∠ACB为直角，再结合OD⊥AC、BC//OD，也可验证∠ACB=90°。第一步先在Rt△ABC中用勾股定理求出BC的长度；第二步根据垂径定理，OD垂直于弦AC且过圆心，可得D是AC中点，求出CD的长度；最后在Rt△BCD中用勾股定理即可算出BD的长度。
【解析】
∵ OD⊥AC，BC//OD，
∴ ∠ACB=∠ADO=90°，
在Rt△ABC中，AB=10，AC=8，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$，
∵ OD⊥AC，OD过圆心O，由垂径定理得D是AC中点，
∴ $CD=\frac{1}{2}AC=4$，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$，
故选C。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆周角定理
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的基础题，解题的关键是利用平行和垂直关系得到直角三角形，结合垂径定理得到对应线段长度，属于常考题型，计算量较小，容易得分。
【难度系数】
0.75
解题时首先结合已知条件推导直角：AB是⊙O的直径，可得直径所对圆周角∠ACB为直角，再结合OD⊥AC、BC//OD，也可验证∠ACB=90°。第一步先在Rt△ABC中用勾股定理求出BC的长度；第二步根据垂径定理，OD垂直于弦AC且过圆心，可得D是AC中点，求出CD的长度；最后在Rt△BCD中用勾股定理即可算出BD的长度。
【解析】
∵ OD⊥AC，BC//OD，
∴ ∠ACB=∠ADO=90°，
在Rt△ABC中，AB=10，AC=8，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$，
∵ OD⊥AC，OD过圆心O，由垂径定理得D是AC中点，
∴ $CD=\frac{1}{2}AC=4$，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$，
故选C。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆周角定理
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的基础题，解题的关键是利用平行和垂直关系得到直角三角形，结合垂径定理得到对应线段长度，属于常考题型，计算量较小，容易得分。
【难度系数】
0.75
11.「2026湖北武汉汉阳期中，★☆」如图所示的是半径分别为5和$\sqrt{34}$的两个同心圆，大圆的弦AB交小圆于C,D两点，若CD=8，则AB的长为（
A.6
B.8
C.10
D.12
C
）A.6
B.8
C.10
D.12
答案
11.C 如图,连接OA,OC,过点O作$OE ⊥ AB$于点E,
则$CE=DE$,$AE=BE$,$∠ OEA=90°$,
由题意得$OC=5$,$OA=\sqrt{34}$.
$\because CD=8$,$\therefore CE=DE=\frac{1}{2}CD=4$,
$\therefore OE=\sqrt{OC^2-CE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$,
$\therefore AE=\sqrt{OA^2-OE^2}=\sqrt{(\sqrt{34})^2-3^2}=5$,
$\therefore AB=2AE=10$.故选C.
解析
【分析】
要计算大圆弦AB的长度，我们可以利用垂径定理构造直角三角形求解：首先过圆心作弦AB的垂线，该垂线会同时平分AB和CD两条弦，将问题转化为直角三角形的边长计算。先利用小圆半径和CD的一半，通过勾股定理算出弦心距OE的长度，再用大圆半径和OE的长度算出AB的一半AE，最终得到AB的全长。
【解析】
解：如图，连接OA、OC，过点O作$OE ⊥ AB$于点E。
根据垂径定理可得：$CE=DE=\frac{1}{2}CD$，$AE=BE=\frac{1}{2}AB$，$∠ OEA=90°$。
由题意得：小圆半径$OC=5$，大圆半径$OA=\sqrt{34}$。
$\because CD=8$，$\therefore CE=\frac{1}{2}CD=4$。
在$\mathrm{Rt}△ OCE$中，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{OC^2-CE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
在$\mathrm{Rt}△ OAE$中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{OA^2-OE^2}=\sqrt{(\sqrt{34})^2-3^2}=5$。
$\therefore AB=2AE=2×5=10$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；勾股定理；弦长计算
【点评】
本题是圆中弦长计算的基础题型，核心解题方法是作弦心距构造直角三角形，结合垂径定理和勾股定理求解，掌握弦心距这一常用辅助线的作法，就能快速解决此类问题。
【难度系数】
0.7
要计算大圆弦AB的长度，我们可以利用垂径定理构造直角三角形求解：首先过圆心作弦AB的垂线，该垂线会同时平分AB和CD两条弦，将问题转化为直角三角形的边长计算。先利用小圆半径和CD的一半，通过勾股定理算出弦心距OE的长度，再用大圆半径和OE的长度算出AB的一半AE，最终得到AB的全长。
【解析】
解：如图，连接OA、OC，过点O作$OE ⊥ AB$于点E。
根据垂径定理可得：$CE=DE=\frac{1}{2}CD$，$AE=BE=\frac{1}{2}AB$，$∠ OEA=90°$。
由题意得：小圆半径$OC=5$，大圆半径$OA=\sqrt{34}$。
$\because CD=8$，$\therefore CE=\frac{1}{2}CD=4$。
在$\mathrm{Rt}△ OCE$中，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{OC^2-CE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
在$\mathrm{Rt}△ OAE$中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{OA^2-OE^2}=\sqrt{(\sqrt{34})^2-3^2}=5$。
$\therefore AB=2AE=2×5=10$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；勾股定理；弦长计算
【点评】
本题是圆中弦长计算的基础题型，核心解题方法是作弦心距构造直角三角形，结合垂径定理和勾股定理求解，掌握弦心距这一常用辅助线的作法，就能快速解决此类问题。
【难度系数】
0.7
12.「★☆」如图,在半圆ACB中,$AB=6$,将半圆ACB沿弦BC所在直线折叠,若弧BC恰好过圆心O,则BC的长是 (
A.$3\sqrt{3}$
B.$2π$
C.$3\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{6}$
A
)A.$3\sqrt{3}$
B.$2π$
C.$3\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{6}$
答案
12.A 如图,过点O作$OD ⊥ BC$,由折叠的性质可知$OD=\frac{1}{2}OB$,$\therefore OD=\frac{1}{4}AB=\frac{3}{2}$,在$\mathrm{Rt}△ OBD$中,$\because OD=\frac{1}{2}OB$,$\therefore ∠ OBD=30°$,$\therefore BD=\frac{3\sqrt{3}}{2}$,$\because OD ⊥ BC$,$OD$经过圆心,$\therefore BC=2BD=3\sqrt{3}$.故选A.
解析
【分析】
遇到圆的折叠问题，首先结合折叠的对称性质分析边或角的等量关系：折叠后弧BC经过圆心O，说明圆心O到弦BC的距离等于半径的$\frac{1}{2}$。接下来作辅助线$OD⊥BC$，先根据直径AB的长度求出半径OB的长度，再在直角三角形OBD中利用直角三角形的边角关系求出BD的长度，最后根据垂径定理“垂直于弦的直径平分弦”，即可求出BC的长度。
【解析】
过点O作$OD ⊥ BC$于点D。
由折叠的性质可得，O到BC的距离$OD=\frac{1}{2}OB$。
∵AB是半圆的直径，$AB=6$，
∴半径$OB=\frac{1}{2}AB=3$，则$OD=\frac{3}{2}$。
在$\mathrm{Rt}△ OBD$中，$OD=\frac{1}{2}OB$，
∴$∠OBD=30°$，
由勾股定理得$BD=\sqrt{OB^2-OD^2}=\sqrt{3^2-(\frac{3}{2})^2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。
∵OD过圆心，且$OD⊥BC$，根据垂径定理，OD平分BC，
∴$BC=2BD=2×\frac{3\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
折叠的性质，垂径定理，含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，核心是利用折叠的性质得到圆心到弦的距离与半径的关系，再结合垂径定理和直角三角形的性质求解，侧重考查基础几何定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
遇到圆的折叠问题，首先结合折叠的对称性质分析边或角的等量关系：折叠后弧BC经过圆心O，说明圆心O到弦BC的距离等于半径的$\frac{1}{2}$。接下来作辅助线$OD⊥BC$，先根据直径AB的长度求出半径OB的长度，再在直角三角形OBD中利用直角三角形的边角关系求出BD的长度，最后根据垂径定理“垂直于弦的直径平分弦”，即可求出BC的长度。
【解析】
过点O作$OD ⊥ BC$于点D。
由折叠的性质可得，O到BC的距离$OD=\frac{1}{2}OB$。
∵AB是半圆的直径，$AB=6$，
∴半径$OB=\frac{1}{2}AB=3$，则$OD=\frac{3}{2}$。
在$\mathrm{Rt}△ OBD$中，$OD=\frac{1}{2}OB$，
∴$∠OBD=30°$，
由勾股定理得$BD=\sqrt{OB^2-OD^2}=\sqrt{3^2-(\frac{3}{2})^2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。
∵OD过圆心，且$OD⊥BC$，根据垂径定理，OD平分BC，
∴$BC=2BD=2×\frac{3\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
折叠的性质，垂径定理，含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，核心是利用折叠的性质得到圆心到弦的距离与半径的关系，再结合垂径定理和直角三角形的性质求解，侧重考查基础几何定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
13.「2026浙江杭州月考，★☆」如图，$\odot O$的直径为20，弦$AB=16$，P是弦AB上一动点，则OP长的取值范围是
6≤OP≤10
。答案
13.答案 $6 ≤ OP ≤ 10$
解析 如图,连接OA,过点O作$OM ⊥ AB$于M.
$\because \odot O$的直径为20,$\therefore OA=10$,$\therefore OP$长的最大值为10.$\because OM ⊥ AB$,$AB=16$,$\therefore AM=8$.在$\mathrm{Rt}△ AOM$中,$OM=\sqrt{10^2-8^2}=6$,$\therefore OP$长的最小值为6,$\therefore OP$长的取值范围为$6 ≤ OP ≤ 10$.
解析
【分析】
要确定OP的取值范围，需先找到OP的最大值和最小值：①当P与弦AB的端点A（或B）重合时，OP等于圆的半径，此时OP最长；②根据垂线段最短的性质，当OP垂直于AB时，OP的长度最短。因此解题时先求圆的半径得到OP的最大值，再作圆心到弦AB的垂线，结合垂径定理、勾股定理求出垂线段的长度即OP的最小值，最终得到OP的取值范围。
【解析】
如图，连接OA，过点O作$OM ⊥ AB$于M。
$\because \odot O$的直径为20，$\therefore$ 半径$OA=10$，当点P与A（或B）重合时，OP取得最大值，最大值为10。
$\because OM ⊥ AB$，$AB=16$，由垂径定理可得$AM=\frac{1}{2}AB=8$。
在$\mathrm{Rt}△ AOM$中，根据勾股定理：$OM=\sqrt{OA^2-AM^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$，即OP的最小值为6。
因此OP长的取值范围是$6 \le OP \le 10$。
【答案】
$6 \le OP \le 10$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；垂线段最短
【点评】
本题属于圆的基础性质应用题，解题的核心是明确动点线段的最值对应的位置，结合圆的性质和直角三角形的计算即可得到结果，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
要确定OP的取值范围，需先找到OP的最大值和最小值：①当P与弦AB的端点A（或B）重合时，OP等于圆的半径，此时OP最长；②根据垂线段最短的性质，当OP垂直于AB时，OP的长度最短。因此解题时先求圆的半径得到OP的最大值，再作圆心到弦AB的垂线，结合垂径定理、勾股定理求出垂线段的长度即OP的最小值，最终得到OP的取值范围。
【解析】
如图，连接OA，过点O作$OM ⊥ AB$于M。
$\because \odot O$的直径为20，$\therefore$ 半径$OA=10$，当点P与A（或B）重合时，OP取得最大值，最大值为10。
$\because OM ⊥ AB$，$AB=16$，由垂径定理可得$AM=\frac{1}{2}AB=8$。
在$\mathrm{Rt}△ AOM$中，根据勾股定理：$OM=\sqrt{OA^2-AM^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$，即OP的最小值为6。
因此OP长的取值范围是$6 \le OP \le 10$。
【答案】
$6 \le OP \le 10$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；垂线段最短
【点评】
本题属于圆的基础性质应用题，解题的核心是明确动点线段的最值对应的位置，结合圆的性质和直角三角形的计算即可得到结果，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
14.「2026 江苏镇江京口期中，★☆」如图，$\odot O$的直径为10，A，B，C，D是$\odot O$上四个动点，且$AB=6$，$CD=8$，若点E，F分别是弦AB，CD的中点，则线段EF的长度的取值范围是
1≤EF≤7
。答案
14.答案 $1 ≤ EF ≤ 7$
解析 如图,连接OE,OF,OA,OC,
$\because \odot O$的直径为10,$\therefore OA=OC=5$,
$\because$点E,F分别是弦AB,CD的中点,$AB=6$,$CD=8$,$\therefore OE ⊥ AB$,$OF ⊥ CD$,$AE=\frac{1}{2}AB=3$,$CF=\frac{1}{2}CD=4$,$\therefore OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$,$OF=\sqrt{OC^2-CF^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$.
当$AB // CD$时,E,O,F三点共线,当AB,CD位于点O的同侧时,线段EF的长度最短,最短为$OE-OF=1$,当AB,CD位于点O的异侧时,线段EF的长度最长,最长为$OE+OF=7$,$\therefore$线段EF的长度的取值范围是$1 ≤ EF ≤ 7$.
解析
【分析】
本题是圆中动态线段的取值范围问题，解题思路如下：第一步，看到弦的中点，联想到垂径定理，因此连接圆心O与E、F以及半径OA、OC，构造直角三角形；第二步，利用垂径定理得到OE垂直AB、OF垂直CD，结合已知的弦长和半径，用勾股定理求出OE、OF的长度，发现二者是定值；第三步，分析E、F的运动规律：E、F分别绕点O运动，根据三点共线的情况求最值：当E、O、F三点共线且O在E、F同侧时EF最短，当O在E、F之间时EF最长，即可得到EF的取值范围。
【解析】
如图，连接OE，OF，OA，OC，
$\because \odot O$的直径为10，$\therefore$半径$OA=OC=5$，
$\because$点E是AB的中点，根据垂径定理可得$OE ⊥ AB$，$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2} × 6=3$，
在$Rt△ OAE$中，由勾股定理得：$OE=\sqrt{OA^2 - AE^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=4$，
同理，点F是CD的中点，根据垂径定理可得$OF ⊥ CD$，$CF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2} × 8=4$，
在$Rt△ OCF$中，由勾股定理得：$OF=\sqrt{OC^2 - CF^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=3$，
当AB和CD平行，E、O、F三点共线时：
①若AB、CD位于点O的同侧，此时EF长度最短，最短为$OE - OF=4 - 3=1$；
②若AB、CD位于点O的异侧，此时EF长度最长，最长为$OE + OF=4 + 3=7$；
因此线段EF的长度的取值范围是$1 ≤ EF ≤ 7$。
【答案】
$1 ≤ EF ≤ 7$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，动态线段最值
【点评】
本题是圆中常见的动态范围类题型，解题的核心是通过垂径定理将已知弦长转化为圆心到弦的定长距离，再结合三点共线的特殊情况确定最值，能很好地考查辅助线构造能力和动态分析能力。
【难度系数】
0.7
本题是圆中动态线段的取值范围问题，解题思路如下：第一步，看到弦的中点，联想到垂径定理，因此连接圆心O与E、F以及半径OA、OC，构造直角三角形；第二步，利用垂径定理得到OE垂直AB、OF垂直CD，结合已知的弦长和半径，用勾股定理求出OE、OF的长度，发现二者是定值；第三步，分析E、F的运动规律：E、F分别绕点O运动，根据三点共线的情况求最值：当E、O、F三点共线且O在E、F同侧时EF最短，当O在E、F之间时EF最长，即可得到EF的取值范围。
【解析】
如图，连接OE，OF，OA，OC，
$\because \odot O$的直径为10，$\therefore$半径$OA=OC=5$，
$\because$点E是AB的中点，根据垂径定理可得$OE ⊥ AB$，$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2} × 6=3$，
在$Rt△ OAE$中，由勾股定理得：$OE=\sqrt{OA^2 - AE^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=4$，
同理，点F是CD的中点，根据垂径定理可得$OF ⊥ CD$，$CF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2} × 8=4$，
在$Rt△ OCF$中，由勾股定理得：$OF=\sqrt{OC^2 - CF^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=3$，
当AB和CD平行，E、O、F三点共线时：
①若AB、CD位于点O的同侧，此时EF长度最短，最短为$OE - OF=4 - 3=1$；
②若AB、CD位于点O的异侧，此时EF长度最长，最长为$OE + OF=4 + 3=7$；
因此线段EF的长度的取值范围是$1 ≤ EF ≤ 7$。
【答案】
$1 ≤ EF ≤ 7$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，动态线段最值
【点评】
本题是圆中常见的动态范围类题型，解题的核心是通过垂径定理将已知弦长转化为圆心到弦的定长距离，再结合三点共线的特殊情况确定最值，能很好地考查辅助线构造能力和动态分析能力。
【难度系数】
0.7
15. 情境 科学技术 磁悬浮「2026北京西城期中，★☆」如图所示的是一款轴对称“磁悬浮地漏”无水时的示意图，它由一个圆弧形密封盖MN与两个磁体组成（下侧磁体固定不动），连接杆EF与地面BD垂直，排水口$CD=24\sqrt{3}$ mm，密封盖最高点E到地面的距离为6 mm，密封盖被磁体顶起将排水口密封，则圆弧MN所在圆的半径为
39
mm.答案
15.答案 39
解析 如图,设圆弧MN所在圆的圆心为O,连接OD,CD,CD交OE于点H,设$OH=x\ \mathrm{mm}$,
由题意得$EH=6\ \mathrm{mm}$,
$\therefore OE=(6+x)\ \mathrm{mm}$,
$\because OE=OD$,$\therefore OD=(6+x)\ \mathrm{mm}$,
$\because CD=24\sqrt{3}\ \mathrm{mm}$,$\therefore DH=12\sqrt{3}\ \mathrm{mm}$,
在$\mathrm{Rt}△ OHD$中,$OD^2=OH^2+DH^2$,即$(6+x)^2=x^2+(12\sqrt{3})^2$,解得$x=33$,
$\therefore OE=39\ \mathrm{mm}$.
$\therefore$圆弧MN所在圆的半径为39 mm.
解析
【分析】
本题是垂径定理在实际问题中的应用，解题思路如下：首先根据轴对称性可知圆弧所在圆的圆心在对称轴EF上，我们可以通过构造直角三角形结合勾股定理求解半径。第一步设出圆心和未知数，利用垂径定理得到弦CD的一半长度，第二步将圆的半径用含未知数的式子表示，第三步在直角三角形中利用勾股定理列方程求解，最后算出半径长度。
【解析】
设圆弧MN所在圆的圆心为O，连接OD，设CD与OE交于点H，设$OH=x\ \mathrm{mm}$。
由题意可知$EH=6\ \mathrm{mm}$，因此圆的半径$OE=OD=(x+6)\ \mathrm{mm}$。
根据垂径定理，OE垂直平分CD，已知$CD=24\sqrt{3}\ \mathrm{mm}$，因此$DH=\frac{1}{2}CD=12\sqrt{3}\ \mathrm{mm}$。
在$\mathrm{Rt}△OHD$中，由勾股定理得$OD^2=OH^2+DH^2$，代入得：
$(x+6)^2=x^2+(12\sqrt{3})^2$
展开计算：$x^2+12x+36=x^2+432$，
化简得$12x=396$，解得$x=33$。
因此圆弧MN所在圆的半径$OE=33+6=39\ \mathrm{mm}$。
【答案】
39
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题结合磁悬浮地漏的生活情境考查圆的相关计算，解题的核心是利用垂径定理构造直角三角形，通过方程思想求解未知量，难度不大，熟练掌握垂径定理是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
本题是垂径定理在实际问题中的应用，解题思路如下：首先根据轴对称性可知圆弧所在圆的圆心在对称轴EF上，我们可以通过构造直角三角形结合勾股定理求解半径。第一步设出圆心和未知数，利用垂径定理得到弦CD的一半长度，第二步将圆的半径用含未知数的式子表示，第三步在直角三角形中利用勾股定理列方程求解，最后算出半径长度。
【解析】
设圆弧MN所在圆的圆心为O，连接OD，设CD与OE交于点H，设$OH=x\ \mathrm{mm}$。
由题意可知$EH=6\ \mathrm{mm}$，因此圆的半径$OE=OD=(x+6)\ \mathrm{mm}$。
根据垂径定理，OE垂直平分CD，已知$CD=24\sqrt{3}\ \mathrm{mm}$，因此$DH=\frac{1}{2}CD=12\sqrt{3}\ \mathrm{mm}$。
在$\mathrm{Rt}△OHD$中，由勾股定理得$OD^2=OH^2+DH^2$，代入得：
$(x+6)^2=x^2+(12\sqrt{3})^2$
展开计算：$x^2+12x+36=x^2+432$，
化简得$12x=396$，解得$x=33$。
因此圆弧MN所在圆的半径$OE=33+6=39\ \mathrm{mm}$。
【答案】
39
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题结合磁悬浮地漏的生活情境考查圆的相关计算，解题的核心是利用垂径定理构造直角三角形，通过方程思想求解未知量，难度不大，熟练掌握垂径定理是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
16. 核心素养 推理能力「2026浙江宁波海曙开学考试」如图，已知点A,C,D在$\odot O$上，点B在$\odot O$内，$∠ B$和$∠ C$均为直角，$AB=2$，$BC=6$，$CD=4$，则$\odot O$的半径为（
A.5
B.$3\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{5}$
D.$\sqrt{21}$
C
）A.5
B.$3\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{5}$
D.$\sqrt{21}$
答案
16.C 如图,过点O作$OE ⊥ CD$于点E,延长AB,EO交于点F,连接OA,OC,
易证四边形BCEF是矩形,
$\therefore ∠ F=90°$,$BC=EF$,$BF=CE$,
$\because BC=6$,$CD=4$,$\therefore EF=6$,$BF=CE=\frac{1}{2}CD=2$,又$\because AB=2$,
$\therefore AF=AB+BF=4$,
设$OF=x$,则$OE=6-x$,
$\because OA=OC$,$\therefore OA^2=OC^2$,即$AF^2+OF^2=CE^2+OE^2$,
$\therefore 4^2+x^2=2^2+(6-x)^2$,解得$x=2$,
$\therefore OA=\sqrt{AF^2+OF^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$,
即$\odot O$的半径为$2\sqrt{5}$.故选C.
解析
【分析】
要求$\odot O$的半径，可结合垂径定理、勾股定理求解：首先过圆心作弦$CD$的垂线，利用垂径定理得到$CD$一半的长度；再延长$AB$交上述垂线于点$F$，可证四边形$BCEF$是矩形，将已知的$AB、BC、CD$的长度转化到含半径的两个直角三角形$△ OAF$和$△ OCE$中，利用半径相等的性质，结合勾股定理列方程求解，即可得到半径长度。
【解析】
解：过点$O$作$OE ⊥ CD$于点$E$，延长$AB$、$EO$交于点$F$，连接$OA、OC$。
根据垂径定理，$OE⊥CD$可得$CE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×4=2$。
$\because ∠B=∠C=∠OEC=90°$，$\therefore$四边形$BCEF$是矩形，
$\therefore ∠F=90°$，$EF=BC=6$，$BF=CE=2$。
$\because AB=2$，$\therefore AF=AB+BF=2+2=4$。
设$OF=x$，则$OE=EF-OF=6-x$。
$\because OA、OC$都是$\odot O$的半径，$\therefore OA=OC$，
由勾股定理得$OA^2=AF^2+OF^2$，$OC^2=CE^2+OE^2$，
$\therefore 4^2+x^2=2^2+(6-x)^2$，
解得$x=2$。
$\therefore OA=\sqrt{AF^2+OF^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$，即$\odot O$的半径为$2\sqrt{5}$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，矩形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了垂径定理、勾股定理和矩形的性质，解题的关键是合理构造辅助线，得到含半径的直角三角形，结合方程思想求解，能有效锻炼几何推理能力和数形结合能力。
【难度系数】
0.6
要求$\odot O$的半径，可结合垂径定理、勾股定理求解：首先过圆心作弦$CD$的垂线，利用垂径定理得到$CD$一半的长度；再延长$AB$交上述垂线于点$F$，可证四边形$BCEF$是矩形，将已知的$AB、BC、CD$的长度转化到含半径的两个直角三角形$△ OAF$和$△ OCE$中，利用半径相等的性质，结合勾股定理列方程求解，即可得到半径长度。
【解析】
解：过点$O$作$OE ⊥ CD$于点$E$，延长$AB$、$EO$交于点$F$，连接$OA、OC$。
根据垂径定理，$OE⊥CD$可得$CE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×4=2$。
$\because ∠B=∠C=∠OEC=90°$，$\therefore$四边形$BCEF$是矩形，
$\therefore ∠F=90°$，$EF=BC=6$，$BF=CE=2$。
$\because AB=2$，$\therefore AF=AB+BF=2+2=4$。
设$OF=x$，则$OE=EF-OF=6-x$。
$\because OA、OC$都是$\odot O$的半径，$\therefore OA=OC$，
由勾股定理得$OA^2=AF^2+OF^2$，$OC^2=CE^2+OE^2$，
$\therefore 4^2+x^2=2^2+(6-x)^2$，
解得$x=2$。
$\therefore OA=\sqrt{AF^2+OF^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$，即$\odot O$的半径为$2\sqrt{5}$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，矩形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了垂径定理、勾股定理和矩形的性质，解题的关键是合理构造辅助线，得到含半径的直角三角形，结合方程思想求解，能有效锻炼几何推理能力和数形结合能力。
【难度系数】
0.6
17. 核心素养推理能力「2026江苏盐城建湖期中」如图，$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=8$，$BC=6$，$D$是$AC$上一点，$E$是$BC$上一点，$DE=6.4$，若以$DE$为直径的圆交$AB$于$M$，$N$两点，则$MN$长的最大值为
$\frac{16\sqrt{3}}{5}$
。答案
17.答案 $\frac{16\sqrt{3}}{5}$
解析 如图,取DE中点O,连接OC,OM,过点O作$OG ⊥ MN$于G,$\therefore MG=GN$.
过点C作$CH ⊥ MN$于H,则$OC+OG ≥ CH$,
$\because ∠ ACB=90°$,$AC=8$,$BC=6$,$\therefore AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$,$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × 6 × 8=\frac{1}{2} × 10CH$,$\therefore CH=4.8$.
在$\mathrm{Rt}△ DCE$中,O为DE的中点,$\therefore OC=OD=OE=3.2$,
$\therefore OM=3.2$,$3.2+OG ≥ 4.8$,$\therefore OG ≥ 1.6$,
由勾股定理得$MG=\sqrt{OM^2-OG^2}$,
$\because OM$的长为定值,$\therefore$当OG的长取最小值时,MG的长有最大值,即MN的长有最大值,
$\therefore$当$OG=1.6$时,MG的长有最大值,最大值为$\sqrt{3.2^2-1.6^2}=\frac{8\sqrt{3}}{5}$,$\therefore MN$长的最大值为$\frac{16\sqrt{3}}{5}$.
解析
【分析】
要解决MN的最大值问题，首先结合垂径定理可知：垂直于弦的直径平分弦，因此弦长$MN=2MG$，$MG$由圆的半径$OM$和圆心$O$到弦$MN$的距离$OG$决定，满足勾股定理$MG=\sqrt{OM^2-OG^2}$。已知$DE$为定值，因此圆的半径$OM=OC=\frac{1}{2}DE$是固定值，要使$MN$最大，只需$OG$最小。接下来过$C$作$CH⊥ AB$于$H$，$CH$可通过面积法求出为定值，根据两点之间线段最短可得$OC+OG≥ CH$，代入定值即可求出$OG$的最小值，最终算出$MN$的最大值。
【解析】
解：取$DE$的中点$O$（即该圆的圆心），连接$OC$、$OM$，过点$O$作$OG⊥ MN$于$G$，根据垂径定理得$MG=GN$，即$MN=2MG$。
过点$C$作$CH⊥ AB$于$H$。
1. 求$AB$和$CH$的长度：
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=8$，$BC=6$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$。
由三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}× AB× CH$，代入数值：
$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10× CH$，解得$CH=4.8$。
2. 求$OC$、$OM$的长度：
在$Rt△ DCE$中，$O$是斜边$DE$的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得：
$OC=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}×6.4=3.2$。
$OM$为圆的半径，因此$OM=OC=3.2$。
3. 求$OG$的最小值：
根据两点之间线段最短，$OC+OG≥ CH$，代入数值：
$3.2+OG≥4.8$，解得$OG≥1.6$，即$OG$的最小值为$1.6$。
4. 求$MN$的最大值：
在$Rt△ OMG$中，由勾股定理得$MG=\sqrt{OM^2-OG^2}$，$OM$为定值，因此$OG$取最小值$1.6$时，$MG$最大：
$MG_{max}=\sqrt{3.2^2-1.6^2}=\frac{8\sqrt{3}}{5}$，
因此$MN_{max}=2MG_{max}=2×\frac{8\sqrt{3}}{5}=\frac{16\sqrt{3}}{5}$。
【答案】
$\frac{16\sqrt{3}}{5}$
【知识点】
垂径定理；直角三角形斜边中线性质；勾股定理
【点评】
本题综合考查圆的性质与直角三角形的性质，解题核心是将弦长最值问题转化为圆心到弦的距离的最值问题，需要灵活运用垂径定理、面积法求高和不等式求最值，对综合推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
要解决MN的最大值问题，首先结合垂径定理可知：垂直于弦的直径平分弦，因此弦长$MN=2MG$，$MG$由圆的半径$OM$和圆心$O$到弦$MN$的距离$OG$决定，满足勾股定理$MG=\sqrt{OM^2-OG^2}$。已知$DE$为定值，因此圆的半径$OM=OC=\frac{1}{2}DE$是固定值，要使$MN$最大，只需$OG$最小。接下来过$C$作$CH⊥ AB$于$H$，$CH$可通过面积法求出为定值，根据两点之间线段最短可得$OC+OG≥ CH$，代入定值即可求出$OG$的最小值，最终算出$MN$的最大值。
【解析】
解：取$DE$的中点$O$（即该圆的圆心），连接$OC$、$OM$，过点$O$作$OG⊥ MN$于$G$，根据垂径定理得$MG=GN$，即$MN=2MG$。
过点$C$作$CH⊥ AB$于$H$。
1. 求$AB$和$CH$的长度：
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=8$，$BC=6$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$。
由三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}× AB× CH$，代入数值：
$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10× CH$，解得$CH=4.8$。
2. 求$OC$、$OM$的长度：
在$Rt△ DCE$中，$O$是斜边$DE$的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得：
$OC=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}×6.4=3.2$。
$OM$为圆的半径，因此$OM=OC=3.2$。
3. 求$OG$的最小值：
根据两点之间线段最短，$OC+OG≥ CH$，代入数值：
$3.2+OG≥4.8$，解得$OG≥1.6$，即$OG$的最小值为$1.6$。
4. 求$MN$的最大值：
在$Rt△ OMG$中，由勾股定理得$MG=\sqrt{OM^2-OG^2}$，$OM$为定值，因此$OG$取最小值$1.6$时，$MG$最大：
$MG_{max}=\sqrt{3.2^2-1.6^2}=\frac{8\sqrt{3}}{5}$，
因此$MN_{max}=2MG_{max}=2×\frac{8\sqrt{3}}{5}=\frac{16\sqrt{3}}{5}$。
【答案】
$\frac{16\sqrt{3}}{5}$
【知识点】
垂径定理；直角三角形斜边中线性质；勾股定理
【点评】
本题综合考查圆的性质与直角三角形的性质，解题核心是将弦长最值问题转化为圆心到弦的距离的最值问题，需要灵活运用垂径定理、面积法求高和不等式求最值，对综合推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
