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1.学习了特殊的平行四边形的概念之后,我们懂得了平行四边形、菱形、正方形、矩形之间的关系.小颖同学用如图所示的方式表示了四边形与特殊四边形的关系,则图中的“M”和“N”分别表示 (
A.平行四边形、正方形
B.正方形、菱形
C.正方形、矩形
D.矩形、菱形
B
)A.平行四边形、正方形
B.正方形、菱形
C.正方形、矩形
D.矩形、菱形
答案
1.B
∵矩形和菱形是特殊的平行四边形,正方形既是菱形也是矩形,
∴M表示正方形,N表示菱形.
∵矩形和菱形是特殊的平行四边形,正方形既是菱形也是矩形,
∴M表示正方形,N表示菱形.
解析
【分析】
解题时可按以下思路思考：首先明确层级包含关系：四边形包含平行四边形，平行四边形包含矩形、菱形两类特殊分支；其次，正方形同时具备矩形（四个角为直角）和菱形（四条边相等）的特征，因此是矩形和菱形的公共交叉部分。观察题图，平行四边形内部有两个相交的椭圆，一个是矩形，交集为M，另一椭圆为N，由此可得交集M是正方形，另一个N就是菱形，对应正确选项。
【解析】
解：已知平行四边形包含矩形、菱形两类特殊的平行四边形，正方形既具有矩形的性质（四个内角均为直角），又具有菱形的性质（四条边长度相等），因此正方形是矩形和菱形的共同部分，即二者的交集。
结合题图，矩形与N的交集为M，因此M表示正方形，N表示菱形，故选B。
【答案】
B
【知识点】
特殊平行四边形的关系；正方形的定义；矩形与菱形的特征
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对各类特殊四边形从属关系、交叉关系的掌握，只有明确不同特殊四边形的特征，才能快速判断对应关系。
【难度系数】
0.8
解题时可按以下思路思考：首先明确层级包含关系：四边形包含平行四边形，平行四边形包含矩形、菱形两类特殊分支；其次，正方形同时具备矩形（四个角为直角）和菱形（四条边相等）的特征，因此是矩形和菱形的公共交叉部分。观察题图，平行四边形内部有两个相交的椭圆，一个是矩形，交集为M，另一椭圆为N，由此可得交集M是正方形，另一个N就是菱形，对应正确选项。
【解析】
解：已知平行四边形包含矩形、菱形两类特殊的平行四边形，正方形既具有矩形的性质（四个内角均为直角），又具有菱形的性质（四条边长度相等），因此正方形是矩形和菱形的共同部分，即二者的交集。
结合题图，矩形与N的交集为M，因此M表示正方形，N表示菱形，故选B。
【答案】
B
【知识点】
特殊平行四边形的关系；正方形的定义；矩形与菱形的特征
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对各类特殊四边形从属关系、交叉关系的掌握，只有明确不同特殊四边形的特征，才能快速判断对应关系。
【难度系数】
0.8
2.「2026河南省实验中学期中」小英在复习几种特殊平行四边形的关系时整理如图,(1)(2)(3)(4)处需要添加条件,则下列条件添加错误的是 (
A.(1)处可填$∠ B=90°$
B.(2)处可填$AB=BC$
C.(3)处可填$AB=BC$
D.(4)处可填$∠ A=∠ C$
D
)A.(1)处可填$∠ B=90°$
B.(2)处可填$AB=BC$
C.(3)处可填$AB=BC$
D.(4)处可填$∠ A=∠ C$
答案
2.D 选项A,根据矩形的定义,有一个角是直角的平行四边形是矩形,
∴(1)处可填∠B=90°,故该选项正确,不符合题意;选项B,根据正方形的定义,有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形,
∴(2)处可填AB=BC,故该选项正确,不符合题意;选项C,根据菱形的定义,有一组邻边相等的平行四边形是菱形,
∴(3)处可填AB=BC,故该选项正确,不符合题意;选项D,菱形是特殊的平行四边形,平行四边形的对角相等,
∴∠A=∠C,
∴由∠A=∠C无法判定菱形ABCD是正方形,故该选项符合题意.故选D.
∴(1)处可填∠B=90°,故该选项正确,不符合题意;选项B,根据正方形的定义,有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形,
∴(2)处可填AB=BC,故该选项正确,不符合题意;选项C,根据菱形的定义,有一组邻边相等的平行四边形是菱形,
∴(3)处可填AB=BC,故该选项正确,不符合题意;选项D,菱形是特殊的平行四边形,平行四边形的对角相等,
∴∠A=∠C,
∴由∠A=∠C无法判定菱形ABCD是正方形,故该选项符合题意.故选D.
解析
【分析】
解题时首先要明确各类特殊平行四边形的转化逻辑：平行四边形添加角为直角的条件可转化为矩形，添加邻边相等的条件可转化为菱形；矩形添加邻边相等的条件可转化为正方形，菱形添加角为直角的条件可转化为正方形。接下来逐个验证四个选项中的条件是否符合对应转化的判定要求，找出添加错误的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：根据矩形的判定定理，有一个角是直角的平行四边形是矩形，(1)处是平行四边形转化为矩形，填$∠ B=90°$满足判定要求，该选项正确，不符合题意。
B选项：正方形的判定中，有一组邻边相等的矩形是正方形，(2)处是矩形转化为正方形，$AB=BC$是邻边相等，满足判定要求，该选项正确，不符合题意。
C选项：根据菱形的判定定理，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，(3)处是平行四边形转化为菱形，填$AB=BC$满足判定要求，该选项正确，不符合题意。
D选项：菱形本身是特殊的平行四边形，平行四边形的对角相等，因此$∠ A=∠ C$是菱形固有的性质，添加这个条件无法判定菱形是正方形，该选项错误，符合题意。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定
【点评】
本题考查特殊平行四边形之间的转化条件，解题关键是准确区分各类特殊平行四边形的共性和特有性质，牢记对应判定定理，避免将图形本身具备的共性当作判定特殊图形的条件。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确各类特殊平行四边形的转化逻辑：平行四边形添加角为直角的条件可转化为矩形，添加邻边相等的条件可转化为菱形；矩形添加邻边相等的条件可转化为正方形，菱形添加角为直角的条件可转化为正方形。接下来逐个验证四个选项中的条件是否符合对应转化的判定要求，找出添加错误的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：根据矩形的判定定理，有一个角是直角的平行四边形是矩形，(1)处是平行四边形转化为矩形，填$∠ B=90°$满足判定要求，该选项正确，不符合题意。
B选项：正方形的判定中，有一组邻边相等的矩形是正方形，(2)处是矩形转化为正方形，$AB=BC$是邻边相等，满足判定要求，该选项正确，不符合题意。
C选项：根据菱形的判定定理，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，(3)处是平行四边形转化为菱形，填$AB=BC$满足判定要求，该选项正确，不符合题意。
D选项：菱形本身是特殊的平行四边形，平行四边形的对角相等，因此$∠ A=∠ C$是菱形固有的性质，添加这个条件无法判定菱形是正方形，该选项错误，符合题意。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定
【点评】
本题考查特殊平行四边形之间的转化条件，解题关键是准确区分各类特殊平行四边形的共性和特有性质，牢记对应判定定理，避免将图形本身具备的共性当作判定特殊图形的条件。
【难度系数】
0.7
3.下列图形:①菱形;②等边三角形;③矩形;④平行四边形;⑤线段.其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是
①③⑤
(填写序号).答案
3.答案 ①③⑤
解析 根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义,知菱形、矩形、线段既是中心对称图形又是轴对称图形;等边三角形是轴对称图形,但不是中心对称图形;平行四边形是中心对称图形,但不一定是轴对称图形.故答案为①③⑤.
解析 根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义,知菱形、矩形、线段既是中心对称图形又是轴对称图形;等边三角形是轴对称图形,但不是中心对称图形;平行四边形是中心对称图形,但不一定是轴对称图形.故答案为①③⑤.
解析
【分析】
解决本题的思路非常清晰：首先要牢记轴对称图形和中心对称图形的判定定义，再将题干给出的5种图形逐个验证，判断是否同时满足两类图形的判定条件，最终筛选出符合要求的序号即可。两类图形的判定核心分别是：轴对称图形沿对称轴对折后两侧完全重合，中心对称图形绕对称中心旋转180°后与自身重合。
【解析】
先明确两个核心定义：
1. 轴对称图形：沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；
2. 中心对称图形：在平面内绕某一定点旋转180°，旋转后的图形能与原图形完全重合的图形。
逐一判断各图形：
①菱形：有两条对称轴（两条对角线所在直线），是轴对称图形；绕对角线交点旋转180°后与原图形重合，是中心对称图形，符合要求；
②等边三角形：是轴对称图形（有3条对称轴），但旋转180°后无法与原图形重合，不是中心对称图形，不符合要求；
③矩形：有两条对称轴（两组对边中点连线所在直线），是轴对称图形；绕对角线交点旋转180°后与原图形重合，是中心对称图形，符合要求；
④平行四边形：是中心对称图形，但普通平行四边形没有对称轴，不属于轴对称图形，不符合要求；
⑤线段：有两条对称轴（线段的垂直平分线、线段本身所在直线），是轴对称图形；绕中点旋转180°后与原图形重合，是中心对称图形，符合要求。
因此符合要求的序号为①③⑤。
【答案】
①③⑤
【知识点】
轴对称图形判定，中心对称图形判定，特殊平行四边形性质
【点评】
本题是基础概念考查题，主要考查常见平面图形的对称性，易错点是容易混淆普通平行四边形和特殊平行四边形的轴对称属性，日常学习中要注意区分一般图形和特殊图形的性质差异。
【难度系数】
0.75
解决本题的思路非常清晰：首先要牢记轴对称图形和中心对称图形的判定定义，再将题干给出的5种图形逐个验证，判断是否同时满足两类图形的判定条件，最终筛选出符合要求的序号即可。两类图形的判定核心分别是：轴对称图形沿对称轴对折后两侧完全重合，中心对称图形绕对称中心旋转180°后与自身重合。
【解析】
先明确两个核心定义：
1. 轴对称图形：沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；
2. 中心对称图形：在平面内绕某一定点旋转180°，旋转后的图形能与原图形完全重合的图形。
逐一判断各图形：
①菱形：有两条对称轴（两条对角线所在直线），是轴对称图形；绕对角线交点旋转180°后与原图形重合，是中心对称图形，符合要求；
②等边三角形：是轴对称图形（有3条对称轴），但旋转180°后无法与原图形重合，不是中心对称图形，不符合要求；
③矩形：有两条对称轴（两组对边中点连线所在直线），是轴对称图形；绕对角线交点旋转180°后与原图形重合，是中心对称图形，符合要求；
④平行四边形：是中心对称图形，但普通平行四边形没有对称轴，不属于轴对称图形，不符合要求；
⑤线段：有两条对称轴（线段的垂直平分线、线段本身所在直线），是轴对称图形；绕中点旋转180°后与原图形重合，是中心对称图形，符合要求。
因此符合要求的序号为①③⑤。
【答案】
①③⑤
【知识点】
轴对称图形判定，中心对称图形判定，特殊平行四边形性质
【点评】
本题是基础概念考查题，主要考查常见平面图形的对称性，易错点是容易混淆普通平行四边形和特殊平行四边形的轴对称属性，日常学习中要注意区分一般图形和特殊图形的性质差异。
【难度系数】
0.75
4.「2026福建福州期末节选，★☆」如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，F为AD边上的点，且AB=AF，连接BF，EF。求证：四边形ABEF是菱形.
答案
4.证明
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC,
∴∠FAE=∠BEA，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，
∴∠FAE=∠BAE,
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=EB，
∵AB=AF,
∴AF=EB，
又AF//BE,
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=AF,
∴四边形ABEF是菱形.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC,
∴∠FAE=∠BEA，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，
∴∠FAE=∠BAE,
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=EB，
∵AB=AF,
∴AF=EB，
又AF//BE,
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=AF,
∴四边形ABEF是菱形.
解析
【分析】
要证明四边形ABEF是菱形，可采用“先证平行四边形，再证一组邻边相等”的判定思路：首先利用平行四边形ABCD的对边平行，得到AD//BC，即AF//BE；再结合角平分线的性质与平行线的内错角相等，推导得到∠BAE=∠BEA，由等角对等边得AB=BE；结合已知AB=AF，即可得到AF与BE平行且相等，先判定四边形ABEF是平行四边形，最后结合邻边AB=AF的条件，即可判定其为菱形。
【解析】
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠FAE=∠BEA，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，
∴∠FAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=EB，
∵AB=AF，
∴AF=EB，
又
∵AF//BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
又
∵AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形。
【答案】
证明过程如上，四边形ABEF是菱形得证。
【知识点】
平行四边形的性质、等腰三角形的判定、菱形的判定
【点评】
本题属于特殊四边形判定的基础题型，综合了角平分线、平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形、菱形的判定定理，梳理清楚边角的逻辑关系即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
要证明四边形ABEF是菱形，可采用“先证平行四边形，再证一组邻边相等”的判定思路：首先利用平行四边形ABCD的对边平行，得到AD//BC，即AF//BE；再结合角平分线的性质与平行线的内错角相等，推导得到∠BAE=∠BEA，由等角对等边得AB=BE；结合已知AB=AF，即可得到AF与BE平行且相等，先判定四边形ABEF是平行四边形，最后结合邻边AB=AF的条件，即可判定其为菱形。
【解析】
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠FAE=∠BEA，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，
∴∠FAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=EB，
∵AB=AF，
∴AF=EB，
又
∵AF//BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
又
∵AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形。
【答案】
证明过程如上，四边形ABEF是菱形得证。
【知识点】
平行四边形的性质、等腰三角形的判定、菱形的判定
【点评】
本题属于特殊四边形判定的基础题型，综合了角平分线、平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形、菱形的判定定理，梳理清楚边角的逻辑关系即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
5.「2026 广东深圳月考改编，★☆」如图，在$△ ABC$中，点$D,E,F$分别在$BC,AB,AC$边上，且$DE// AC,DF// AB$，连接$AD$(填入最精准的结论).
(1)如果$∠ BAC = 90°$, 那么四边形$AEDF$是
(2)如果$AD$是$△ ABC$的角平分线, 那么四边形$AEDF$是
(3)如果$∠ BAC=90°,AD$是$△ ABC$的角平分线, 那么四边形$AEDF$是
(1)如果$∠ BAC = 90°$, 那么四边形$AEDF$是
矩
形.(2)如果$AD$是$△ ABC$的角平分线, 那么四边形$AEDF$是
菱
形.(3)如果$∠ BAC=90°,AD$是$△ ABC$的角平分线, 那么四边形$AEDF$是
正方
形,证明你的结论.(仅需证明第(3)问的结论)答案
5.解析 (1)矩.
(2)菱.
(3)正方.
证明如下:
∵DE//AC,DF//AB,
∴四边形AEDF是平行四边形,∠ADE=∠DAF,
∵AD是△ABC的角平分线,
∴∠DAE=∠DAF,
∴∠ADE=∠DAE,
∴AE=DE,
又
∵∠BAC=90°,
∴四边形AEDF是正方形.
(2)菱.
(3)正方.
证明如下:
∵DE//AC,DF//AB,
∴四边形AEDF是平行四边形,∠ADE=∠DAF,
∵AD是△ABC的角平分线,
∴∠DAE=∠DAF,
∴∠ADE=∠DAE,
∴AE=DE,
又
∵∠BAC=90°,
∴四边形AEDF是正方形.
解析
【分析】
首先由DE//AC、DF//AB可判定四边形AEDF是平行四边形，再结合各小问的附加条件，对应特殊平行四边形的判定定理推导即可：(1)平行四边形有一个内角为直角则为矩形；(2)平行四边形有一组邻边相等则为菱形；(3)同时满足有一个直角、一组邻边相等的平行四边形为正方形，证明时先证平行四边形，再依次推导邻边相等、内角为直角即可。
【解析】
(1)
∵DE//AC，DF//AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，又
∵∠BAC=90°，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可知四边形AEDF是矩形。
(2)
∵DE//AC，DF//AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，且∠ADE=∠DAF。
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠DAE=∠DAF，
∴∠ADE=∠DAE，
∴AE=DE，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可知四边形AEDF是菱形。
(3) 证明：
∵DE//AC，DF//AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，∠ADE=∠DAF（两直线平行，内错角相等），
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠DAE=∠DAF，
∴∠ADE=∠DAE，
∴AE=DE（等角对等边），
又
∵∠BAC=90°，
∴平行四边形AEDF是正方形。
【答案】
(1)矩；(2)菱；(3)正方
【知识点】
平行四边形的判定与性质；特殊平行四边形的判定；角平分线的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查不同特殊平行四边形的判定方法，需要熟练掌握各特殊四边形的判定定理，结合已知条件逐步推导即可。
【难度系数】
0.8
首先由DE//AC、DF//AB可判定四边形AEDF是平行四边形，再结合各小问的附加条件，对应特殊平行四边形的判定定理推导即可：(1)平行四边形有一个内角为直角则为矩形；(2)平行四边形有一组邻边相等则为菱形；(3)同时满足有一个直角、一组邻边相等的平行四边形为正方形，证明时先证平行四边形，再依次推导邻边相等、内角为直角即可。
【解析】
(1)
∵DE//AC，DF//AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，又
∵∠BAC=90°，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可知四边形AEDF是矩形。
(2)
∵DE//AC，DF//AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，且∠ADE=∠DAF。
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠DAE=∠DAF，
∴∠ADE=∠DAE，
∴AE=DE，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可知四边形AEDF是菱形。
(3) 证明：
∵DE//AC，DF//AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，∠ADE=∠DAF（两直线平行，内错角相等），
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠DAE=∠DAF，
∴∠ADE=∠DAE，
∴AE=DE（等角对等边），
又
∵∠BAC=90°，
∴平行四边形AEDF是正方形。
【答案】
(1)矩；(2)菱；(3)正方
【知识点】
平行四边形的判定与性质；特殊平行四边形的判定；角平分线的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查不同特殊平行四边形的判定方法，需要熟练掌握各特殊四边形的判定定理，结合已知条件逐步推导即可。
【难度系数】
0.8
