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1.「2025辽宁中考」中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何.”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为x步，根据题意可列方程为（
A.$x(60-x)=864$
B.$x(x-60)=864$
C.$x(60+x)=864$
D.$2[x+(x+60)]=864$
A
）A.$x(60-x)=864$
B.$x(x-60)=864$
C.$x(60+x)=864$
D.$2[x+(x+60)]=864$
答案
1.A 利用矩形面积公式即可列出方程为 $x(60-x)=$864.故选 A.
解析
【分析】
解题时首先结合题干给出的未知数设定推导长的表达式：已知宽为x步，长与宽之和为60步，因此长为（60-x）步；再结合矩形面积的等量关系（面积=长×宽），将对应量代入即可列出方程。
【解析】
解：已知设矩形的宽为x步，
∵长与宽共60步，
∴矩形的长为(60 - x)步，
又
∵矩形田地的面积为864平方步，且矩形面积=长×宽，
∴代入得方程：$x(60 - x)=864$，
对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 矩形面积公式
【点评】
本题以中国古代数学典籍的内容为背景，考查实际问题中方程的列写，只需准确提取题干中的数量关系，结合基础几何公式即可求解，是方程与几何结合的基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合题干给出的未知数设定推导长的表达式：已知宽为x步，长与宽之和为60步，因此长为（60-x）步；再结合矩形面积的等量关系（面积=长×宽），将对应量代入即可列出方程。
【解析】
解：已知设矩形的宽为x步，
∵长与宽共60步，
∴矩形的长为(60 - x)步，
又
∵矩形田地的面积为864平方步，且矩形面积=长×宽，
∴代入得方程：$x(60 - x)=864$，
对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 矩形面积公式
【点评】
本题以中国古代数学典籍的内容为背景，考查实际问题中方程的列写，只需准确提取题干中的数量关系，结合基础几何公式即可求解，是方程与几何结合的基础题型。
【难度系数】
0.8
2.「2025江苏无锡中考」某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动.
【活动主题】测量物体的高度.
【测量工具】卷尺、标杆.
【活动过程】
活动1:测量校内旗杆的高度.
该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动(
).在点F处竖立标杆EF，直立在点Q处的小军从点P处看到标杆顶E、旗杆顶M在同一条直线上.已知旗杆底端N与F,Q在同一条直线上，$EF=2.8\ \mathrm{m}$，$PQ=1.4\ \mathrm{m}$，$QF=2\ \mathrm{m}$，$FN=16\ \mathrm{m}$.
(1)求旗杆MN的高度.
活动2:测量南禅寺妙光塔的高度.
南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一.该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度.他们到达妙光塔后，发现塔顶A和塔底中心B均无法到达.经研究，设计并实施了如下测量活动(
).在地面一条水平步道上的点F处竖立标杆EF，直立在点Q处的小军从点P处看到标杆顶E、塔顶A在同一条直线上.小军沿FQ的方向走到点Q'处，此时标杆竖立于F'处，从点P'处看到标杆顶E'、塔顶A在同一条直线上.已知AB，EF，PQ，E'F'和P'Q'在同一平面内，点B，F，Q，F'，Q'在同一条直线上，$EF=E'F'=2.8\ \mathrm{m}$，$PQ=P'Q'=1.4\ \mathrm{m}$，$FQ=1.2\ \mathrm{m}$，$F'Q'=2.2\ \mathrm{m}$，$QQ'=30\ \mathrm{m}$.
(2)求妙光塔AB的高度.
【活动主题】测量物体的高度.
【测量工具】卷尺、标杆.
【活动过程】
活动1:测量校内旗杆的高度.
该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动(
).在点F处竖立标杆EF，直立在点Q处的小军从点P处看到标杆顶E、旗杆顶M在同一条直线上.已知旗杆底端N与F,Q在同一条直线上，$EF=2.8\ \mathrm{m}$，$PQ=1.4\ \mathrm{m}$，$QF=2\ \mathrm{m}$，$FN=16\ \mathrm{m}$.(1)求旗杆MN的高度.
活动2:测量南禅寺妙光塔的高度.
南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一.该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度.他们到达妙光塔后，发现塔顶A和塔底中心B均无法到达.经研究，设计并实施了如下测量活动(
).在地面一条水平步道上的点F处竖立标杆EF，直立在点Q处的小军从点P处看到标杆顶E、塔顶A在同一条直线上.小军沿FQ的方向走到点Q'处，此时标杆竖立于F'处，从点P'处看到标杆顶E'、塔顶A在同一条直线上.已知AB，EF，PQ，E'F'和P'Q'在同一平面内，点B，F，Q，F'，Q'在同一条直线上，$EF=E'F'=2.8\ \mathrm{m}$，$PQ=P'Q'=1.4\ \mathrm{m}$，$FQ=1.2\ \mathrm{m}$，$F'Q'=2.2\ \mathrm{m}$，$QQ'=30\ \mathrm{m}$.(2)求妙光塔AB的高度.
答案
解析 (1)过点 P 作 $PH ⊥ MN$ 于点 H,交 EF 于点 K，
则四边形 HKFN,四边形 PQNH,四边形 PQFK 为矩形，
$\therefore PQ=KF=HN=1.4\ \mathrm{m},HK=FN=16\ \mathrm{m},PK=QF=2\ \mathrm{m}$,
$\therefore EK=EF-KF=1.4\ \mathrm{m},PH=PK+HK=18\ \mathrm{m}$,
$\because EF// MN,\therefore △ PEK ∽ △ PMH$,
$\therefore \frac{PK}{PH}=\frac{EK}{MH},\therefore \frac{2}{18}=\frac{1.4}{MH}$,
$\therefore MH=12.6\ \mathrm{m},\therefore MN=MH+HN=14(\mathrm{m})$.
答:旗杆 MN 的高度为 14 m.
(2)连接 E'E 并延长交 AB 于点 M,连接 P'P 并延长交AB 于点 N,交 EF 于点 H,交 E'F' 于点 K，
则四边形 BMEF,四边形 BNPQ,四边形 P'Q'BN,四边形 $BNKF'$,四边形 $PQQ'P'$ 为矩形，
$\therefore BM=EF=E'F'=2.8\ \mathrm{m},HF=KF'=BN=PQ=P'Q'=1.4\ \mathrm{m},HP=FQ=1.2\ \mathrm{m},QQ'=PP'=30\ \mathrm{m},P'K=F'Q'=2.2\ \mathrm{m}$,
$\therefore MN=HE=KE'=EF-HF=1.4\ \mathrm{m}$,
设 $HN=x\ \mathrm{m},AM=y\ \mathrm{m}$,
则 $PN=HN+HP=(1.2+x)\ \mathrm{m},AN=AM+MN=(1.4+y)\ \mathrm{m}$,
$\therefore P'N=PP'+PN=(31.2+x)\ \mathrm{m}$,
$\because EF// AB,\therefore △ PEH ∽ △ PAN$,
$\therefore \frac{PH}{PN}=\frac{HE}{AN},\therefore \frac{1.2}{1.2+x}=\frac{1.4}{y+1.4}$.
$\because E'F'// AB,\therefore △ P'E'K ∽ △ P'AN$,
$\therefore \frac{P'K}{P'N}=\frac{E'K}{AN},\therefore \frac{2.2}{31.2+x}=\frac{1.4}{y+1.4}$,
$\therefore \frac{1.2}{1.2+x}=\frac{2.2}{31.2+x},\therefore x=34.8$.
$\therefore \frac{1.2}{1.2+34.8}=\frac{1.4}{y+1.4},\therefore y=40.6$.
$\therefore AB=AM+BM=43.4(\mathrm{m})$.
答:妙光塔 AB 的高度为 43.4 m.
解析
【分析】
本题是相似三角形在实际测量中的应用问题：
(1) 解题时先过点P作MN的垂线，构造出两个相似三角形，利用矩形对边相等的性质得到相似三角形的对应边长度，再根据相似三角形对应边成比例的性质列算式，求出MH的长度后加上HN的长度即可得到旗杆高度。
(2) 因为塔底B无法直接到达，我们需要通过两次观测构造两组相似三角形，设HN=x m、AM=y m，分别根据两组相似三角形的比例关系列出方程，联立方程先求出x的值，再代入求出y的值，最后加上BM的长度即可得到妙光塔的高度。
【解析】
(1)过点 P 作 $PH ⊥ MN$ 于点 H,交 EF 于点 K，
则四边形 HKFN,四边形 PQNH,四边形 PQFK 为矩形，
$\therefore PQ=KF=HN=1.4\ \mathrm{m},HK=FN=16\ \mathrm{m},PK=QF=2\ \mathrm{m}$,
$\therefore EK=EF-KF=1.4\ \mathrm{m},PH=PK+HK=18\ \mathrm{m}$,
$\because EF// MN,\therefore △ PEK ∽ △ PMH$,
$\therefore \frac{PK}{PH}=\frac{EK}{MH},\therefore \frac{2}{18}=\frac{1.4}{MH}$,
$\therefore MH=12.6\ \mathrm{m},\therefore MN=MH+HN=14(\mathrm{m})$.
答:旗杆 MN 的高度为 14 m.
(2)连接 E'E 并延长交 AB 于点 M,连接 P'P 并延长交AB 于点 N,交 EF 于点 H,交 E'F' 于点 K，
则四边形 BMEF,四边形 BNPQ,四边形 P'Q'BN,四边形 $BNKF'$,四边形 $PQQ'P'$ 为矩形，
$\therefore BM=EF=E'F'=2.8\ \mathrm{m},HF=KF'=BN=PQ=P'Q'=1.4\ \mathrm{m},HP=FQ=1.2\ \mathrm{m},QQ'=PP'=30\ \mathrm{m},P'K=F'Q'=2.2\ \mathrm{m}$,
$\therefore MN=HE=KE'=EF-HF=1.4\ \mathrm{m}$,
设 $HN=x\ \mathrm{m},AM=y\ \mathrm{m}$,
则 $PN=HN+HP=(1.2+x)\ \mathrm{m},AN=AM+MN=(1.4+y)\ \mathrm{m}$,
$\therefore P'N=PP'+PN=(31.2+x)\ \mathrm{m}$,
$\because EF// AB,\therefore △ PEH ∽ △ PAN$,
$\therefore \frac{PH}{PN}=\frac{HE}{AN},\therefore \frac{1.2}{1.2+x}=\frac{1.4}{y+1.4}$.
$\because E'F'// AB,\therefore △ P'E'K ∽ △ P'AN$,
$\therefore \frac{P'K}{P'N}=\frac{E'K}{AN},\therefore \frac{2.2}{31.2+x}=\frac{1.4}{y+1.4}$,
$\therefore \frac{1.2}{1.2+x}=\frac{2.2}{31.2+x},\therefore x=34.8$.
$\therefore \frac{1.2}{1.2+34.8}=\frac{1.4}{y+1.4},\therefore y=40.6$.
$\therefore AB=AM+BM=43.4(\mathrm{m})$.
答:妙光塔 AB 的高度为 43.4 m.
【答案】
(1) $\boldsymbol{14\ \mathrm{m}}$
(2) $\boldsymbol{43.4\ \mathrm{m}}$
【知识点】
相似三角形的应用，矩形的性质，方程思想
【点评】
本题以实际测量物体高度为背景，贴合生活实践，既考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质等核心知识点，又要求学生具备构建几何模型、列方程求解的能力，能够有效提升学生运用数学知识解决实际问题的素养。
【难度系数】
0.7
本题是相似三角形在实际测量中的应用问题：
(1) 解题时先过点P作MN的垂线，构造出两个相似三角形，利用矩形对边相等的性质得到相似三角形的对应边长度，再根据相似三角形对应边成比例的性质列算式，求出MH的长度后加上HN的长度即可得到旗杆高度。
(2) 因为塔底B无法直接到达，我们需要通过两次观测构造两组相似三角形，设HN=x m、AM=y m，分别根据两组相似三角形的比例关系列出方程，联立方程先求出x的值，再代入求出y的值，最后加上BM的长度即可得到妙光塔的高度。
【解析】
(1)过点 P 作 $PH ⊥ MN$ 于点 H,交 EF 于点 K，
则四边形 HKFN,四边形 PQNH,四边形 PQFK 为矩形，
$\therefore PQ=KF=HN=1.4\ \mathrm{m},HK=FN=16\ \mathrm{m},PK=QF=2\ \mathrm{m}$,
$\therefore EK=EF-KF=1.4\ \mathrm{m},PH=PK+HK=18\ \mathrm{m}$,
$\because EF// MN,\therefore △ PEK ∽ △ PMH$,
$\therefore \frac{PK}{PH}=\frac{EK}{MH},\therefore \frac{2}{18}=\frac{1.4}{MH}$,
$\therefore MH=12.6\ \mathrm{m},\therefore MN=MH+HN=14(\mathrm{m})$.
答:旗杆 MN 的高度为 14 m.
(2)连接 E'E 并延长交 AB 于点 M,连接 P'P 并延长交AB 于点 N,交 EF 于点 H,交 E'F' 于点 K，
则四边形 BMEF,四边形 BNPQ,四边形 P'Q'BN,四边形 $BNKF'$,四边形 $PQQ'P'$ 为矩形，
$\therefore BM=EF=E'F'=2.8\ \mathrm{m},HF=KF'=BN=PQ=P'Q'=1.4\ \mathrm{m},HP=FQ=1.2\ \mathrm{m},QQ'=PP'=30\ \mathrm{m},P'K=F'Q'=2.2\ \mathrm{m}$,
$\therefore MN=HE=KE'=EF-HF=1.4\ \mathrm{m}$,
设 $HN=x\ \mathrm{m},AM=y\ \mathrm{m}$,
则 $PN=HN+HP=(1.2+x)\ \mathrm{m},AN=AM+MN=(1.4+y)\ \mathrm{m}$,
$\therefore P'N=PP'+PN=(31.2+x)\ \mathrm{m}$,
$\because EF// AB,\therefore △ PEH ∽ △ PAN$,
$\therefore \frac{PH}{PN}=\frac{HE}{AN},\therefore \frac{1.2}{1.2+x}=\frac{1.4}{y+1.4}$.
$\because E'F'// AB,\therefore △ P'E'K ∽ △ P'AN$,
$\therefore \frac{P'K}{P'N}=\frac{E'K}{AN},\therefore \frac{2.2}{31.2+x}=\frac{1.4}{y+1.4}$,
$\therefore \frac{1.2}{1.2+x}=\frac{2.2}{31.2+x},\therefore x=34.8$.
$\therefore \frac{1.2}{1.2+34.8}=\frac{1.4}{y+1.4},\therefore y=40.6$.
$\therefore AB=AM+BM=43.4(\mathrm{m})$.
答:妙光塔 AB 的高度为 43.4 m.
【答案】
(1) $\boldsymbol{14\ \mathrm{m}}$
(2) $\boldsymbol{43.4\ \mathrm{m}}$
【知识点】
相似三角形的应用，矩形的性质，方程思想
【点评】
本题以实际测量物体高度为背景，贴合生活实践，既考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质等核心知识点，又要求学生具备构建几何模型、列方程求解的能力，能够有效提升学生运用数学知识解决实际问题的素养。
【难度系数】
0.7
