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1[2026重庆北碚区调研,中]若n为正整数，且$72×(\dfrac{3}{2})^n$为整数，则满足条件的n的值有（
A.2个
B.3个
C.4个
D.6个
B
）A.2个
B.3个
C.4个
D.6个
答案
B 【解析】要使$72×(\dfrac{3}{2})^n$为整数,则必须使$\dfrac{72}{2^n}$为整数. 因为$72=2×2×2×9$,所以$n=1,2,3$时,$\dfrac{72}{2^n}$为整数. 当$n=1$时,$72×(\dfrac{3}{2})^n=72×\dfrac{3}{2}=108$;当$n=2$时,$72×(\dfrac{3}{2})^n=72×\dfrac{9}{4}=162$;当$n=3$时,$72×(\dfrac{3}{2})^n=72×\dfrac{27}{8}=243$,所以满足条件的$n$的值有 3 个. 故选 B.
2[2026 浙江温州质检,中]若$n$为正整数，则$\dfrac{2× (-1)^n + 3× (-1)^{n+1}}{3}=$
$\pm\dfrac{1}{3}$
.答案
$\boldsymbol{\pm\dfrac{1}{3}}$ 【解析】根据题意分两种情况讨论:①当$n$ 为 奇 数 时,$\dfrac{2×(-1)^n+3×(-1)^{n+1}}{3} =\dfrac{2×(-1)+3×1}{3}=\dfrac{1}{3}$; ② 当 $n$ 为 偶 数 时,$\dfrac{2×(-1)^n+3×(-1)^{n+1}}{3}=\dfrac{2×1+3×(-1)}{3}=-\dfrac{1}{3}$.所以若$n$ 为正整数,则$\dfrac{2×(-1)^n+3×(-1)^{n+1}}{3}$的值为$\pm\dfrac{1}{3}$. 故答案为$\pm\dfrac{1}{3}$.
3[2025浙江金华期末,中]观察下列各式:$1-\frac{1}{2^2}=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}$,$1-\frac{1}{3^2}=\frac{2}{3}×\frac{4}{3}$,$1-\frac{1}{4^2}=\frac{3}{4}×\frac{5}{4}$,$···$,根据上面各式所反映的规律计算$(1-\frac{1}{2^2})×(1-\frac{1}{3^2})×(1-\frac{1}{4^2})×···×(1-\frac{1}{2025^2})=$
$\dfrac{1\ 013}{2\ 025}$
.答案
$\boldsymbol{\dfrac{1\ 013}{2\ 025}}$ 【解析】由已知等式可知,$1-\dfrac{1}{2^2}=\dfrac{1}{2}×\dfrac{3}{2}=\dfrac{2-1}{2}×\dfrac{2+1}{2}$,$1-\dfrac{1}{3^2}=\dfrac{2}{3}×\dfrac{4}{3}=\dfrac{3-1}{3}×\dfrac{3+1}{3}$,$1-\dfrac{1}{4^2}=\dfrac{3}{4}×\dfrac{5}{4}=\dfrac{4-1}{4}×\dfrac{4+1}{4}$,…,以此类推第$n$ 个等式为$1-\dfrac{1}{n^2}=\dfrac{n-1}{n}·\dfrac{n+1}{n}$,其中$n$ 为正整数,则$1-\dfrac{1}{2\ 025^2}=\dfrac{2\ 025-1}{2\ 025}×\dfrac{2\ 025+1}{2\ 025}=\dfrac{2\ 024}{2\ 025}×\dfrac{2\ 026}{2\ 025}$,所以$(1-\dfrac{1}{2^2})×(1-\dfrac{1}{3^2})×(1-\dfrac{1}{4^2})×\dots ×(1-\dfrac{1}{2\ 025^2})=\dfrac{1}{2}×\dfrac{3}{2}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{4}{3}×\dfrac{3}{4}×\dfrac{5}{4}×\dots ×\dfrac{2\ 024}{2\ 025}×\dfrac{2\ 026}{2\ 025}=\dfrac{1}{2}×\dfrac{2\ 026}{2\ 025}=\dfrac{1\ 013}{2\ 025}$,故答案为$\dfrac{1\ 013}{2\ 025}$.
4[较难]已知$a,b,c,d,e$表示5个不同的正整数，满足$a+b^2+c^3+d^4+e^5=291$，其中$e＞1$，则$a+b+c+d+e$的最大值是
225
。答案
225 【解析】因为$a+b^2+c^3+d^4+e^5=291$,$a,b,c,d,e$表示 5 个不同的正整数,且$e＞1$,所以$e^5＜291$,$d^4＜291$,$c^3＜291$,$b^2＜291$,所以$e=2$或$3$,$1≤ d≤ 4$,$1≤ c≤ 6$,$1≤ b≤ 17$,所以要使$a+b+c+d+e$取最大值,则$b,c,d,e$要取最小值,所以$e=2$,$d=1$,$c=3$,$b=4$,则$a=291-(b^2+c^3+d^4+e^5)=291-(16+27+1+32)=215$,故$a+b+c+d+e$的最大值是$215+4+3+1+2=225$. 故答案为 225.
5[2025江苏扬州调研,较难]我们称$M_{(n)}$为“美好数”,记$M_{(1)}=-2,M_{(2)}=(-2)×(-2),M_{(3)}=(-2)×(-2)×(-2),···,M_{(n)}=\underbrace{(-2)×(-2)×(-2)×···×(-2)}_{n个-2相乘}$(其中n为正整数).
(1)求$M_{(3)}+M_{(4)}$的值.
(2)求$M_{(99)}+M_{(100)}$的值.
(3)猜想$2×M_{(2023)}$与$M_{(2024)}$的关系,并说明理由.
刷素养 走向重高
(1)求$M_{(3)}+M_{(4)}$的值.
(2)求$M_{(99)}+M_{(100)}$的值.
(3)猜想$2×M_{(2023)}$与$M_{(2024)}$的关系,并说明理由.
刷素养 走向重高
答案
【解】(1)$M_{(3)}+M_{(4)}= (-2)×(-2)×(-2)+ (-2)×(-2)×(-2)×(-2)=-8+16=8$.
(2)$M_{(99)}=\underbrace{(-2)×(-2)×(-2)×\dots ×(-2)}_{99个-2相乘}$,
$M_{(100)}=\underbrace{(-2)×(-2)×(-2)×\dots ×(-2)}_{100个-2相乘}$,
则$M_{(99)}+M_{(100)}= (-2)^{99} + (-2)^{100} = -2^{99} + 2^{100} = -2^{99} + 2×2^{99}=2^{99}$.
(3)$2×M_{(2023)}$与$M_{(2024)}$互为相反数. 理由如下:
$2×M_{(2023)}= 2×\underbrace{(-2)×(-2)×(-2)×\dots ×(-2)}_{2023个-2相乘}=2×(-2)^{2023}=-2^{2024}$,
$M_{(2024)} = \underbrace{(-2)×(-2)×(-2)×\dots ×(-2)}_{2024个-2相乘}= (-2)^{2024}=2^{2024}$,故$2×M_{(2023)}$与$M_{(2024)}$互为相反数.
(2)$M_{(99)}=\underbrace{(-2)×(-2)×(-2)×\dots ×(-2)}_{99个-2相乘}$,
$M_{(100)}=\underbrace{(-2)×(-2)×(-2)×\dots ×(-2)}_{100个-2相乘}$,
则$M_{(99)}+M_{(100)}= (-2)^{99} + (-2)^{100} = -2^{99} + 2^{100} = -2^{99} + 2×2^{99}=2^{99}$.
(3)$2×M_{(2023)}$与$M_{(2024)}$互为相反数. 理由如下:
$2×M_{(2023)}= 2×\underbrace{(-2)×(-2)×(-2)×\dots ×(-2)}_{2023个-2相乘}=2×(-2)^{2023}=-2^{2024}$,
$M_{(2024)} = \underbrace{(-2)×(-2)×(-2)×\dots ×(-2)}_{2024个-2相乘}= (-2)^{2024}=2^{2024}$,故$2×M_{(2023)}$与$M_{(2024)}$互为相反数.
6 核心素养抽象能力 [2025 山东青岛质检,较难]
【概念学习】规定:求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫作除方.
例如:$2÷2÷2$,记作$2^{③}$,读作“2 的圈3次方”；$(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)$,记作$(-3)^{④}$,读作“-3 的圈4次方”.
一般地,把$\underbrace{a÷a÷a÷…÷a}_{n个a}(a≠0,n$为大于等于2的整数)记作$a^{ⓝ}$,读作“a 的圈n次方”.
【初步探究】(1)直接写出计算结果:$3^{③}=$
(2)关于除方,下列说法错误的是
A. 任何非零数的圈2次方都等于1
B. 对于任意大于等于2的整数$m,1^{ⓜ}=1$
C. $8^{⑨}=9^{⑧}$
D. 负数的圈奇数次方结果是负数,负数的圈偶数次方结果是正数
【深入思考】
我们知道,有理数的减法运算可以转化为加法运算,除法运算可以转化为乘法运算,有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢? 除方→$2^{④}=2÷2÷2÷2=2×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=(\frac{1}{2})^{2}$→乘方幂的形式.
(3)仿照上面的算式,将下列运算结果直接写成幂的形式:$(-5)^{⑥}=$
(4)将一个非零有理数$a$的圈$n$次方写成幂的形式.
【概念学习】规定:求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫作除方.
例如:$2÷2÷2$,记作$2^{③}$,读作“2 的圈3次方”；$(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)$,记作$(-3)^{④}$,读作“-3 的圈4次方”.
一般地,把$\underbrace{a÷a÷a÷…÷a}_{n个a}(a≠0,n$为大于等于2的整数)记作$a^{ⓝ}$,读作“a 的圈n次方”.
【初步探究】(1)直接写出计算结果:$3^{③}=$
$\dfrac{1}{3}$
,$(-\frac{1}{4})^{⑤}=$-64
.(2)关于除方,下列说法错误的是
C
.(填选项)A. 任何非零数的圈2次方都等于1
B. 对于任意大于等于2的整数$m,1^{ⓜ}=1$
C. $8^{⑨}=9^{⑧}$
D. 负数的圈奇数次方结果是负数,负数的圈偶数次方结果是正数
【深入思考】
我们知道,有理数的减法运算可以转化为加法运算,除法运算可以转化为乘法运算,有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢? 除方→$2^{④}=2÷2÷2÷2=2×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=(\frac{1}{2})^{2}$→乘方幂的形式.
(3)仿照上面的算式,将下列运算结果直接写成幂的形式:$(-5)^{⑥}=$
$(-\dfrac{1}{5})^4$
,$(\frac{1}{2})^{⑧}=$$2^6$
.(4)将一个非零有理数$a$的圈$n$次方写成幂的形式.
答案
【解】(1)$3^{③}=3÷3÷3=1÷3=\dfrac{1}{3}$,$(-\dfrac{1}{4})^{⑤} =(-\dfrac{1}{4})÷(-\dfrac{1}{4})÷(-\dfrac{1}{4})÷(-\dfrac{1}{4})÷(-\dfrac{1}{4}) = -64$,故答案为$\dfrac{1}{3}$,$-64$.
(2)A 选项,$a÷a=1$($a≠0$),即任何非零数的圈2 次方都等于 1,故该选项正确;B 选项,$1^{\overset{m个1}{\overbrace{=1÷1÷1\dots ÷1}}}=\underbrace{1×1×1×\dots ×1}_{m个1}=1$,故该选项正确;C 选项,$8^{⑨}=\underbrace{8÷8÷8÷\dots ÷8}_{9个8}=8×\dfrac{1}{8}×\dfrac{1}{8}×\dots ×\dfrac{1}{8}=(\dfrac{1}{8})^7$,$9^{⑧}=\underbrace{9÷9÷9÷\dots ÷9}_{8个9}=9×\dfrac{1}{9}×\dfrac{1}{9}×\dots ×\dfrac{1}{9}=(\dfrac{1}{9})^6$,所以$8^{⑨}≠9^{⑧}$,故该选项错误;D 选项,负数的圈奇数次方结果是负数,负数的圈偶数次方结果是正数,故该选项正确. 故答案为 C.
(3)$(-5)^{⑥}= (-5) ÷ (-5) ÷ (-5) ÷ (-5) ÷ (-5) ÷ (-5) = (-5) × (-\dfrac{1}{5}) × (-\dfrac{1}{5}) × (-\dfrac{1}{5}) × (-\dfrac{1}{5}) × (-\dfrac{1}{5}) =(-\dfrac{1}{5})^4$,$(\dfrac{1}{2})^{⑧} = \dfrac{1}{2} ÷ \dfrac{1}{2} ÷ \dfrac{1}{2} ÷ \dfrac{1}{2} ÷ \dfrac{1}{2} ÷ \dfrac{1}{2} ÷ \dfrac{1}{2} ÷ \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2^6$,故答案为$(-\dfrac{1}{5})^4$,$2^6$.
(4)将一个非零有理数$a$的圈$n$次方写成幂的形式为$a^{\overset{\frown}{n}}=\underbrace{a÷a÷a÷\dots ÷a}_{n个a}=a×\underbrace{\dfrac{1}{a}×\dfrac{1}{a}×\dots ×\dfrac{1}{a}×\dfrac{1}{a}}_{n个a}=\underbrace{(a×\dfrac{1}{a})×\dfrac{1}{a}×\dots ×\dfrac{1}{a}×\dfrac{1}{a}}_{(n-2)个}=(\dfrac{1}{a})^{n-2}$.
(2)A 选项,$a÷a=1$($a≠0$),即任何非零数的圈2 次方都等于 1,故该选项正确;B 选项,$1^{\overset{m个1}{\overbrace{=1÷1÷1\dots ÷1}}}=\underbrace{1×1×1×\dots ×1}_{m个1}=1$,故该选项正确;C 选项,$8^{⑨}=\underbrace{8÷8÷8÷\dots ÷8}_{9个8}=8×\dfrac{1}{8}×\dfrac{1}{8}×\dots ×\dfrac{1}{8}=(\dfrac{1}{8})^7$,$9^{⑧}=\underbrace{9÷9÷9÷\dots ÷9}_{8个9}=9×\dfrac{1}{9}×\dfrac{1}{9}×\dots ×\dfrac{1}{9}=(\dfrac{1}{9})^6$,所以$8^{⑨}≠9^{⑧}$,故该选项错误;D 选项,负数的圈奇数次方结果是负数,负数的圈偶数次方结果是正数,故该选项正确. 故答案为 C.
(3)$(-5)^{⑥}= (-5) ÷ (-5) ÷ (-5) ÷ (-5) ÷ (-5) ÷ (-5) = (-5) × (-\dfrac{1}{5}) × (-\dfrac{1}{5}) × (-\dfrac{1}{5}) × (-\dfrac{1}{5}) × (-\dfrac{1}{5}) =(-\dfrac{1}{5})^4$,$(\dfrac{1}{2})^{⑧} = \dfrac{1}{2} ÷ \dfrac{1}{2} ÷ \dfrac{1}{2} ÷ \dfrac{1}{2} ÷ \dfrac{1}{2} ÷ \dfrac{1}{2} ÷ \dfrac{1}{2} ÷ \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2^6$,故答案为$(-\dfrac{1}{5})^4$,$2^6$.
(4)将一个非零有理数$a$的圈$n$次方写成幂的形式为$a^{\overset{\frown}{n}}=\underbrace{a÷a÷a÷\dots ÷a}_{n个a}=a×\underbrace{\dfrac{1}{a}×\dfrac{1}{a}×\dots ×\dfrac{1}{a}×\dfrac{1}{a}}_{n个a}=\underbrace{(a×\dfrac{1}{a})×\dfrac{1}{a}×\dots ×\dfrac{1}{a}×\dfrac{1}{a}}_{(n-2)个}=(\dfrac{1}{a})^{n-2}$.
