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1 [2025 广西中考]因式分解:$a^2 -1 = ( )$
A.$(a+1)(a-1)$
B.$a(a+1)$
C.$(a+1)^2$
D.$(a-1)^2$
A.$(a+1)(a-1)$
B.$a(a+1)$
C.$(a+1)^2$
D.$(a-1)^2$
答案
1. A 【解析】$a^2 -1 = a^2 -1^2 = (a+1)(a-1)$,故选 A.
2[2025 江苏镇江中考]分解因式：$x^2 + 5x =$
x(x+5)
.答案
2. $x(x+5)$ 【解析】$x^2 +5x = x(x+5)$.
3[2025 江苏常州中考]分解因式：$x^2 - 9y^2 =$
(x-3y)(x+3y)
.答案
3. $(x-3y)(x+3y)$ 【解析】原式$=(x-3y)(x+3y)$.故答案为$(x-3y)(x+3y)$.
4[2024内蒙古赤峰中考]因式分解:$3ax^2 - 3a =$
3a(x+1)(x-1)
.答案
4. $3a(x+1)(x-1)$ 【解析】$3ax^2 -3a = 3a(x^2 -1) = 3a(x+1)(x-1)$.故答案为 $3a(x+1)(x-1)$.
5[2024山东威海中考]因式分解:(x+2)(x+4)+1=
$(x+3)^2$
.答案
5. $(x+3)^2$ 【解析】原式$=x^2 +4x +2x +8 +1 = x^2 +6x +9 = (x+3)^2$.故答案为$(x+3)^2$.
6[2024江苏徐州中考]若$mn=2$，$m-n=1$，则代数式$m^2n - mn^2$的值等于
2
。答案
6. 2 【解析】$\because mn=2,m-n=1,\therefore m^2n - mn^2 = mn(m-n) = 2×1=2$,故答案为 2.
7[2025四川内江中考]已知实数a,b满足a+b=2,则$a^2 - b^2 + 4b =$
4
.答案
7. 4 【解析】$\because a+b=2,\therefore a^2 -b^2 +4b = (a+b)(a-b) +4b = 2(a-b) +4b = 2a -2b +4b = 2a +2b = 2(a+b) = 2×2=4$,故答案为 4.
8 新考向开放性试题 [2025 四川成都中考]多项式$4x^2+1$加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是
4x(答案不唯一)
（填一个即可）。答案
8. $4x$(答案不唯一) 【解析】$\because 4x^2 +4x +1 = (2x+1)^2$,$\therefore$ 加上的单项式可以是 $4x$,故答案为 $4x$(答案不唯一).
9[2024安徽中考]数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为$x^2 - y^2$（x，y均为自然数）”的问题.
（1）指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（n为正整数）：
（2）兴趣小组还猜测：像2，6，10，14，…这些形如$4n-2$（n为正整数）的正整数N不能表示为$x^2 - y^2$（x，y均为自然数）.师生一起研讨，分析过程如下：
假设$4n-2 =x^2 - y^2$，其中x，y均为自然数.
分下列三种情形分析：
①若x，y均为偶数，设$x=2k$，$y=2m$，其中k，m均为自然数，则$x^2 - y^2=(2k)^2 -(2m)^2=4(k^2 -m^2)$为4的倍数.而$4n-2$不是4的倍数，矛盾.故x，y不可能均为偶数.
②若x，y均为奇数，设$x=2k+1$，$y=2m+1$，其中k，m均为自然数，则$x^2 - y^2=(2k+1)^2 -(2m+1)^2=\_\_\_\_\_\_$为4的倍数.而$4n-2$不是4的倍数，矛盾.故x，y不可能均为奇数.
③若x，y一个是奇数一个是偶数，则$x^2 - y^2$为奇数.而$4n-2$是偶数，矛盾.故x，y不可能一个是奇数一个是偶数.
由①②③可知，猜测正确.
阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所缺内容.
按上表规律，完成下列问题：
（i）$24=(\_\_\_\_\_\_)^2 - (\_\_\_\_\_\_)^2$；
（ii）$4n=\_\_\_\_\_\_$；
（1）指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（n为正整数）：
（2）兴趣小组还猜测：像2，6，10，14，…这些形如$4n-2$（n为正整数）的正整数N不能表示为$x^2 - y^2$（x，y均为自然数）.师生一起研讨，分析过程如下：
假设$4n-2 =x^2 - y^2$，其中x，y均为自然数.
分下列三种情形分析：
①若x，y均为偶数，设$x=2k$，$y=2m$，其中k，m均为自然数，则$x^2 - y^2=(2k)^2 -(2m)^2=4(k^2 -m^2)$为4的倍数.而$4n-2$不是4的倍数，矛盾.故x，y不可能均为偶数.
②若x，y均为奇数，设$x=2k+1$，$y=2m+1$，其中k，m均为自然数，则$x^2 - y^2=(2k+1)^2 -(2m+1)^2=\_\_\_\_\_\_$为4的倍数.而$4n-2$不是4的倍数，矛盾.故x，y不可能均为奇数.
③若x，y一个是奇数一个是偶数，则$x^2 - y^2$为奇数.而$4n-2$是偶数，矛盾.故x，y不可能一个是奇数一个是偶数.
由①②③可知，猜测正确.
阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所缺内容.
按上表规律，完成下列问题：
（i）$24=(\_\_\_\_\_\_)^2 - (\_\_\_\_\_\_)^2$；
（ii）$4n=\_\_\_\_\_\_$；
答案
9.【解】(1)(i)$4=4×1=(1+1)^2-(1-1)^2$,$8=4×2=(2+1)^2-(2-1)^2$,
$12=4×3=(3+1)^2-(3-1)^2$,$16=4×4=(4+1)^2-(4-1)^2$,$20=4×5=(5+1)^2-(5-1)^2$,
$24=4×6=(6+1)^2-(6-1)^2=7^2-5^2$.
故答案为7,5.
(ii)由(i)推导的规律可知 $4n=4· n=(n+1)^2-(n-1)^2$.
(2)$(2k+1)^2-(2m+1)^2=(2k+1+2m+1)·(2k+1-2m-1)=4(k^2-m^2+k-m)$.
故答案为$4(k^2-m^2+k-m)$.
$12=4×3=(3+1)^2-(3-1)^2$,$16=4×4=(4+1)^2-(4-1)^2$,$20=4×5=(5+1)^2-(5-1)^2$,
$24=4×6=(6+1)^2-(6-1)^2=7^2-5^2$.
故答案为7,5.
(ii)由(i)推导的规律可知 $4n=4· n=(n+1)^2-(n-1)^2$.
(2)$(2k+1)^2-(2m+1)^2=(2k+1+2m+1)·(2k+1-2m-1)=4(k^2-m^2+k-m)$.
故答案为$4(k^2-m^2+k-m)$.
10[浙江嘉兴中考]观察下面的等式：$3^2 - 1^2 = 8×1,5^2 - 3^2 = 8×2,7^2 - 5^2 = 8×3,9^2 - 7^2 = 8×4,···$
(1)写出$19^2 -17^2$的结果；
(2)按上面的规律归纳出一个一般的结论(用含n的等式表示，n为正整数)；
(3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的。
(1)写出$19^2 -17^2$的结果；
(2)按上面的规律归纳出一个一般的结论(用含n的等式表示，n为正整数)；
(3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的。
答案
10.【解】(1)$19^2-17^2=8×9$.
(2)由题意可得,$(2n+1)^2-(2n-1)^2=8n$.
(3)$\because (2n+1)^2-(2n-1)^2=[(2n+1)+(2n-1)][(2n+1)-(2n-1)]=(2n+1+2n-1)·(2n+1-2n+1)=4n×2=8n$,$\therefore (2n+1)^2-(2n-1)^2=8n$ 正确.
(2)由题意可得,$(2n+1)^2-(2n-1)^2=8n$.
(3)$\because (2n+1)^2-(2n-1)^2=[(2n+1)+(2n-1)][(2n+1)-(2n-1)]=(2n+1+2n-1)·(2n+1-2n+1)=4n×2=8n$,$\therefore (2n+1)^2-(2n-1)^2=8n$ 正确.
