例 怎么简便怎么算。
(1)$4×5\frac{3}{4}+5×6\frac{4}{5}+6×7\frac{5}{6}+7×8\frac{6}{7}$
(2)$51\frac{2}{3}÷\frac{5}{3}+71\frac{3}{4}÷\frac{7}{4}+91\frac{4}{5}÷\frac{9}{5}$
解析
(1)算式为乘加形式，可以考虑利用乘法分配律进行巧算，观察可以发现乘法中第二个乘数是带分数，且带分数的分数部分的分母和第一个乘数可以进行约分，所以可以对带分数进行拆分，转化为整数加真分数的形式，利用乘法分配律进行巧算，如$4×5\frac{3}{4}=4×(5+\frac{3}{4})=4×5+4×\frac{3}{4}$，以此类推。
(2)观察发现被除数都是带分数，且被除数的分母和除数的分母相同，可以进行约分，所以可以对带分数进行拆分，但注意$1\frac{2}{3}=\frac{5}{3}$，利用除法的运算性质进行巧算，如：$51\frac{2}{3}÷\frac{5}{3}=(50+1\frac{2}{3})÷\frac{5}{3}=50÷\frac{5}{3}+1\frac{2}{3}÷\frac{5}{3}$，以此类推。
答案：(1)$4×5\frac{3}{4}+5×6\frac{4}{5}+6×7\frac{5}{6}+7×8\frac{6}{7}$
$=4×(5+\frac{3}{4})+5×(6+\frac{4}{5})+6×(7+\frac{5}{6})+7×(8+\frac{6}{7})$
$=4×5+4×\frac{3}{4}+5×6+5×\frac{4}{5}+6×7+6×\frac{5}{6}+7×8+7×\frac{6}{7}$
$=20+3+30+4+42+5+56+6$
$=166$
(2)$51\frac{2}{3}÷\frac{5}{3}+71\frac{3}{4}÷\frac{7}{4}+91\frac{4}{5}÷\frac{9}{5}$
$=(50+\frac{5}{3})×\frac{3}{5}+(70+\frac{7}{4})×\frac{4}{7}+(90+\frac{9}{5})×\frac{5}{9}$
$=50×\frac{3}{5}+\frac{5}{3}×\frac{3}{5}+70×\frac{4}{7}+\frac{7}{4}×\frac{4}{7}+90×\frac{5}{9}+\frac{9}{5}×\frac{5}{9}$
$=30+1+40+1+50+1$
$=123$
小结
在乘除速算和巧算的过程中，当出现乘加或乘减形式，可考虑用乘法分配律进行巧算；当出现除加或除减形式，可考虑用除法的运算性质进行巧算。

(1)$4×5\frac{3}{4}+5×6\frac{4}{5}+6×7\frac{5}{6}+7×8\frac{6}{7}$
$=4×(5+\frac{3}{4})+5×(6+\frac{4}{5})+6×(7+\frac{5}{6})+7×(8+\frac{6}{7})$
$=4×5+4×\frac{3}{4}+5×6+5×\frac{4}{5}+6×7+6×\frac{5}{6}+7×8+7×\frac{6}{7}$
$=20+3+30+4+42+5+56+6$
$=166$
(2)$51\frac{2}{3}÷\frac{5}{3}+71\frac{3}{4}÷\frac{7}{4}+91\frac{4}{5}÷\frac{9}{5}$
$=(50+\frac{5}{3})×\frac{3}{5}+(70+\frac{7}{4})×\frac{4}{7}+(90+\frac{9}{5})×\frac{5}{9}$
$=50×\frac{3}{5}+\frac{5}{3}×\frac{3}{5}+70×\frac{4}{7}+\frac{7}{4}×\frac{4}{7}+90×\frac{5}{9}+\frac{9}{5}×\frac{5}{9}$
$=30+1+40+1+50+1$
$=123$
小结
在乘除速算和巧算的过程中，当出现乘加或乘减形式，可考虑用乘法分配律进行巧算；当出现除加或除减形式，可考虑用除法的运算性质进行巧算。

1.巧算:$139×\frac{137}{138}+137×1\frac{1}{138}$

$139×\frac{137}{138}+137×1\frac{1}{138}$
$=(138+1)×\frac{137}{138}+137×(1+\frac{1}{138})$
$=138×\frac{137}{138}+\frac{137}{138}+137+137×\frac{1}{138}$
$=137+\frac{137}{138}+137+\frac{137}{138}$
$=137×2+2×(1-\frac{1}{138})$
$=276-2×\frac{1}{138}$
$=275\frac{68}{69}$
【解析】139 可以拆成 138+1,再利用乘法分配律可以与分母 138 约分;$1\frac{1}{138}$是带分数,可以对带分数进行拆分,转化为整数加真分数的形式,即 $1+\frac{1}{138}$,再利用乘法分配律进行计算。

2. 巧算：$31\dfrac{1}{2}÷\dfrac{3}{2}+41\dfrac{1}{3}÷\dfrac{4}{3}+51\dfrac{1}{4}÷\dfrac{5}{4}$

$31\frac{1}{2}÷\frac{3}{2}+41\frac{1}{3}÷\frac{4}{3}+51\frac{1}{4}÷\frac{5}{4}$
$=(30+1\frac{1}{2})÷\frac{3}{2}+(40+1\frac{1}{3})÷\frac{4}{3}+(50+1\frac{1}{4})÷\frac{5}{4}$
$=30÷\frac{3}{2}+1+40÷\frac{4}{3}+1+50÷\frac{5}{4}+1$
$=20+1+30+1+40+1$
$=93$
【解析】观察发现,如果将 $31\frac{1}{2}$ 分拆成 30 与 $1\frac{1}{2}$,那么 30 与除数 $\frac{3}{2}$ 的倒数 $\frac{2}{3}$ 的分母 3 可以约分,$1\frac{1}{2}$恰好与除数 $\frac{3}{2}$ 相等,即 $(30+1\frac{1}{2})÷\frac{3}{2}=30÷\frac{3}{2}+1\frac{1}{2}÷\frac{3}{2}=20+1=21$,以此类推,可进行简便计算。

3.巧算: $76×(\dfrac{1}{23}-\dfrac{1}{53})+23×(\dfrac{1}{53}+\dfrac{1}{76})-53×(\dfrac{1}{23}-\dfrac{1}{76})$

$76×(\frac{1}{23}-\frac{1}{53})+23×(\frac{1}{53}+\frac{1}{76})-53×(\frac{1}{23}-\frac{1}{76})$
$=76×\frac{1}{23}-76×\frac{1}{53}+23×\frac{1}{53}+23×\frac{1}{76}-53×\frac{1}{23}+53×\frac{1}{76}$
$=\frac{1}{23}×(76-53)-\frac{1}{53}×(76-23)+\frac{1}{76}×(23+53)$
$=\frac{1}{23}×23-\frac{1}{53}×53+\frac{1}{76}×76$
$=1-1+1$
$=1$
【解析】分子都是1,分母有重复,可以先利用乘法分配律拆开计算,再按相同分母分组巧算。
思路引导
拆分与重组
通过乘法分配律先进行拆分,再将同分母分数重新组合进行简算。