1. 如果关于 $ x $ 的不等式组 $\begin{cases}9x - a ≥ 0,\\8x - b ＜ 0\end{cases}$ 的整数解仅为 $ x = 1,2,3 $，那么适合这个不等式组的整数 $ a,b $ 的有序数对 $(a,b)$ 共有( )

A.17 对
B.64 对
C.72 对
D.81 对

1. C 解析：解不等式 $ 9x - a ≥ 0 $，得 $ x ≥ \frac{a}{9} $；解不等式 $ 8x - b ＜ 0 $，得 $ x ＜ \frac{b}{8} $。因为原不等式组的整数解仅
为 $ x = 1,2,3 $，所以 $ 0 ＜ \frac{a}{9} ≤ 1 $，$ 3 ＜ \frac{b}{8} ≤ 4 $，解得 $ 0 ＜ a ≤ 9 $，$ 24 ＜ b ≤ 32 $，所以整数 $ a $ 可取的值有 $ 9 $ 个，整数 $ b $ 可取的值有 $ 8 $ 个，所以有序数对 $ (a,b) $ 共有 $ 9 × 8 = 72 $（对）。

2. 若关于 $ x $ 的不等式组 $\begin{cases}\dfrac{x + 1}{3} ＜ \dfrac{x}{2} - 1,\\x ＜ 4m\end{cases}$ 无解，求 $ m $ 的取值范围.

2. 解不等式 $ \frac{x + 1}{3} ＜ \frac{x}{2} - 1 $，得 $ x ＞ 8 $。因为原不等式组无解，所以 $ 4m ≤ 8 $，解得 $ m ≤ 2 $。故 $ m $ 的取值范围是 $ m ≤ 2 $。

3. （2025·江苏苏州期末）若关于 $ x $ 的不等式组 $\begin{cases}x + a ＜ b,\\x - a ＞ b\end{cases}$ 的解集为 $ -1 ＜ x ＜ 3 $，求关于 $ x $ 的不等式 $ ax + b ＜ 0 $ 的解集.

3. $ \begin{cases} x + a ＜ b ①, \\ x - a ＞ b ②. \end{cases} $ 解不等式 ①，得 $ x ＜ b - a $；解不等式 ②，得 $ x ＞ b + a $。因为原不等式组的解集为 $ -1 ＜ x ＜ 3 $，所以 $ \begin{cases} b - a = 3, \\ b + a = -1, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} a = -2, \\ b = 1. \end{cases} $ 把 $ \begin{cases} a = -2, \\ b = 1 \end{cases} $ 代入不等式 $ ax + b ＜ 0 $，得 $ -2x + 1 ＜ 0 $，解得 $ x ＞ \frac{1}{2} $。故关于 $ x $ 的不等式 $ ax + b ＜ 0 $ 的解集为 $ x ＞ \frac{1}{2} $。

4. 已知 $ a,b,c $ 是三个非负数，并且满足 $ 3a + 2b + c = 5,2a + b - 3c = 1 $. 设 $ m = 3a + b - 7c $. 若 $ x $ 为 $ m $ 的最大值，$ y $ 为 $ m $ 的最小值，求 $ xy $ 的值.

4. 由题意，得 $ \begin{cases} 3a + 2b = 5 - c, \\ 2a + b = 1 + 3c, \end{cases} $ 所以 $ \begin{cases} a = 7c - 3, \\ b = 7 - 11c. \end{cases} $ 把 $ \begin{cases} a = 7c - 3, \\ b = 7 - 11c \end{cases} $ 代入 $ m = 3a + b - 7c $，得 $ m = 3c - 2 $。由题意，得 $ \begin{cases} a ≥ 0, \\ b ≥ 0, \\ c ≥ 0, \end{cases} $ 即 $ \begin{cases} 7c - 3 ≥ 0, \\ 7 - 11c ≥ 0, \\ c ≥ 0, \end{cases} $ 解得 $ \frac{3}{7} ≤ c ≤ \frac{7}{11} $，所以 $ 3 × \frac{3}{7} - 2 ≤ 3c - 2 ≤ 3 × \frac{7}{11} - 2 $，即 $ -\frac{5}{7} ≤ 3c - 2 ≤ -\frac{1}{11} $，所以 $ m $ 的取值范围为 $ -\frac{5}{7} ≤ m ≤ -\frac{1}{11} $。因为 $ x $ 为 $ m $ 的最大值，$ y $ 为 $ m $ 的最小值，所以 $ x = -\frac{1}{11} $，$ y = -\frac{5}{7} $，所以 $ xy = -\frac{1}{11} × (-\frac{5}{7}) = \frac{5}{77} $。

5. 新素养 应用意识 甲、乙两商场以相同的价格出售同样的电器，但是各自推出的优惠方案不同. 甲商场规定：凡购买超过 1 000 元的电器，超出的金额按 $ 90\% $ 实收；乙商场规定：凡购买超过 500 元的电器，超出的金额按 $ 95\% $ 实收. 顾客怎样选择商场购买电器才能获得最大的优惠？

5. 设购买电器的金额为 $ x $ 元，甲商场的实收金额为 $ y_{甲} $ 元，乙商场的实收金额为 $ y_{乙} $ 元。由题意，得 $ y_{甲} = \begin{cases} x, 0 ＜ x ≤ 1000, \\ 1000 + (x - 1000) × 0.9, x ＞ 1000, \end{cases} $ $ y_{乙} = \begin{cases} x, 0 ＜ x ≤ 500, \\ 500 + (x - 500) × 0.95, x ＞ 500. \end{cases} $ 分类讨论如下：① 当 $ 0 ＜ x ≤ 500 $ 时，两家商场均不优惠，所以任选一家；② 当 $ 500 ＜ x ≤ 1000 $ 时，乙商场有优惠而甲商场没有，所以选择乙商场；③ 当 $ x ＞ 1000 $ 时，若 $ y_{甲} = y_{乙} $，则 $ 1000 + (x - 1000) × 0.9 = 500 + (x - 500) × 0.95 $，解得 $ x = 1500 $；若 $ y_{甲} ＞ y_{乙} $，则 $ 1000 + (x - 1000) × 0.9 ＞ 500 + (x - 500) × 0.95 $，解得 $ x ＜ 1500 $；若 $ y_{甲} ＜ y_{乙} $，则 $ 1000 + (x - 1000) × 0.9 ＜ 500 + (x - 500) × 0.95 $，解得 $ x ＞ 1500 $。综上所述，顾客对商场的选择可参考如下：当购买电器的金额不超过 $ 500 $ 元或恰好为 $ 1500 $ 元时，可任选一家；当购买电器的金额超过 $ 500 $ 元但少于 $ 1500 $ 元时，可选择乙商场；当购买电器的金额超过 $ 1500 $ 元时，可选择甲商场。

6. 学校为学生安排住宿，现有房间若干间. 若每间住 5 人，则还有 14 人安排不下；若每间住 7 人，则最后一间房间里还余一些床位. 学校可能有几间房间可以安排学生住宿？住宿的学生可能有多少人？

6. 设房间有 $ x $ 间，则住宿的学生有 $ (5x + 14) $ 人。由题意，得 $ 1 ≤ 7x - (5x + 14) ≤ 6 $，解得 $ 7.5 ≤ x ≤ 10 $。因为 $ x $ 是自然数，所以 $ x $ 可取 $ 8,9,10 $。当 $ x = 8 $ 时，$ 5x + 14 = 5 × 8 + 14 = 54 $；当 $ x = 9 $ 时，$ 5x + 14 = 5 × 9 + 14 = 59 $；当 $ x = 10 $ 时，$ 5x + 14 = 5 × 10 + 14 = 64 $。故房间数与住宿的学生人数有 $ 3 $ 种可能的情况：① 房间 $ 8 $ 间，学生 $ 54 $ 人；② 房间 $ 9 $ 间，学生 $ 59 $ 人；③ 房间 $ 10 $ 间，学生 $ 64 $ 人。