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一、选择题
1. 若 $ a ＜ b ＜ 0 $，则不等式 $ ax ＜ b $ 的解集是(
A.$ x ＜ \frac{b}{a} $
B.$ x ＜ -\frac{b}{a} $
C.$ x ＞ \frac{b}{a} $
D.$ x ＞ -\frac{b}{a} $
1. 若 $ a ＜ b ＜ 0 $，则不等式 $ ax ＜ b $ 的解集是(
C
).A.$ x ＜ \frac{b}{a} $
B.$ x ＜ -\frac{b}{a} $
C.$ x ＞ \frac{b}{a} $
D.$ x ＞ -\frac{b}{a} $
答案
1. C
2. 若实数 $ a ＞ 1 $，则实数 $ M = a $，$ N = \frac{a + 2}{3} $，$ P = \frac{2a + 1}{3} $ 的大小关系是(
A.$ P ＞ N ＞ M $
B.$ M ＞ N ＞ P $
C.$ N ＞ P ＞ M $
D.$ M ＞ P ＞ N $
D
).A.$ P ＞ N ＞ M $
B.$ M ＞ N ＞ P $
C.$ N ＞ P ＞ M $
D.$ M ＞ P ＞ N $
答案
2. D
解析
解：
因为 $ a ＞ 1 $，
比较 $ M $ 与 $ P $：$ M - P = a - \frac{2a + 1}{3} = \frac{3a - 2a - 1}{3} = \frac{a - 1}{3} $，
由于 $ a ＞ 1 $，则 $ \frac{a - 1}{3} ＞ 0 $，所以 $ M ＞ P $；
比较 $ P $ 与 $ N $：$ P - N = \frac{2a + 1}{3} - \frac{a + 2}{3} = \frac{2a + 1 - a - 2}{3} = \frac{a - 1}{3} $，
由于 $ a ＞ 1 $，则 $ \frac{a - 1}{3} ＞ 0 $，所以 $ P ＞ N $；
综上，$ M ＞ P ＞ N $。
D
因为 $ a ＞ 1 $，
比较 $ M $ 与 $ P $：$ M - P = a - \frac{2a + 1}{3} = \frac{3a - 2a - 1}{3} = \frac{a - 1}{3} $，
由于 $ a ＞ 1 $，则 $ \frac{a - 1}{3} ＞ 0 $，所以 $ M ＞ P $；
比较 $ P $ 与 $ N $：$ P - N = \frac{2a + 1}{3} - \frac{a + 2}{3} = \frac{2a + 1 - a - 2}{3} = \frac{a - 1}{3} $，
由于 $ a ＞ 1 $，则 $ \frac{a - 1}{3} ＞ 0 $，所以 $ P ＞ N $；
综上，$ M ＞ P ＞ N $。
D
3. 小华家距书店的路程是 $ 8 \mathrm{km} $.他骑自行车前往书店购书，上午 $ 8:30 $ 出发，先以 $ 15 \mathrm{km} / \mathrm{h} $ 的速度骑行了 $ x \mathrm{h} $，随后以 $ 18 \mathrm{km} / \mathrm{h} $ 的速度骑行，结果他在 $ 9:00 $ 之前赶到了书店.根据题意列出的不等式为(
A.$ \frac{8 - 15x}{18} ＜ \frac{1}{2} + x $
B.$ \frac{8 - 15x}{18} + x ＜ \frac{1}{2} $
C.$ \frac{15x - 8}{18} ＜ \frac{1}{2} + x $
D.$ \frac{15x - 8}{18} + x ＜ \frac{1}{2} $
B
).A.$ \frac{8 - 15x}{18} ＜ \frac{1}{2} + x $
B.$ \frac{8 - 15x}{18} + x ＜ \frac{1}{2} $
C.$ \frac{15x - 8}{18} ＜ \frac{1}{2} + x $
D.$ \frac{15x - 8}{18} + x ＜ \frac{1}{2} $
答案
3. B
解析
解：小华从上午8:30到9:00之前，所用时间小于$\frac{1}{2}$小时。
先以$15\mathrm{km/h}$的速度骑行$x\mathrm{h}$，行驶路程为$15x\mathrm{km}$，剩余路程为$(8 - 15x)\mathrm{km}$。
随后以$18\mathrm{km/h}$的速度骑行，所用时间为$\frac{8 - 15x}{18}\mathrm{h}$。
总时间为$x + \frac{8 - 15x}{18}$，根据题意可列不等式：$\frac{8 - 15x}{18} + x ＜ \frac{1}{2}$。
答案：B
先以$15\mathrm{km/h}$的速度骑行$x\mathrm{h}$，行驶路程为$15x\mathrm{km}$，剩余路程为$(8 - 15x)\mathrm{km}$。
随后以$18\mathrm{km/h}$的速度骑行，所用时间为$\frac{8 - 15x}{18}\mathrm{h}$。
总时间为$x + \frac{8 - 15x}{18}$，根据题意可列不等式：$\frac{8 - 15x}{18} + x ＜ \frac{1}{2}$。
答案：B
二、填空题
4. 三个连续正整数的和小于 $ 10 $，这样的正整数组有
4. 三个连续正整数的和小于 $ 10 $，这样的正整数组有
2
组.答案
4. 2
解析
设三个连续正整数分别为$n$，$n+1$，$n+2$（$n$为正整数）。
由题意得：$n+(n+1)+(n+2) ＜ 10$，
化简得：$3n + 3 ＜ 10$，
$3n ＜ 7$，
$n ＜ \frac{7}{3}$。
因为$n$为正整数，所以$n=1$或$n=2$。
当$n=1$时，三个数为$1$，$2$，$3$；
当$n=2$时，三个数为$2$，$3$，$4$。
共$2$组。
2
由题意得：$n+(n+1)+(n+2) ＜ 10$，
化简得：$3n + 3 ＜ 10$，
$3n ＜ 7$，
$n ＜ \frac{7}{3}$。
因为$n$为正整数，所以$n=1$或$n=2$。
当$n=1$时，三个数为$1$，$2$，$3$；
当$n=2$时，三个数为$2$，$3$，$4$。
共$2$组。
2
5. 若不等式 $ mx - 2 ＜ 3x + 4 $ 的解集是 $ x ＞ \frac{6}{m - 3} $，则 $ m $ 的取值范围是
$ m ＜ 3 $
.答案
5. $ m ＜ 3 $
解析
解：$mx - 2 ＜ 3x + 4$
移项得：$mx - 3x ＜ 4 + 2$
合并同类项得：$(m - 3)x ＜ 6$
因为不等式的解集是$x ＞ \frac{6}{m - 3}$，不等号方向改变，所以$m - 3 ＜ 0$
解得：$m ＜ 3$
$m ＜ 3$
移项得：$mx - 3x ＜ 4 + 2$
合并同类项得：$(m - 3)x ＜ 6$
因为不等式的解集是$x ＞ \frac{6}{m - 3}$，不等号方向改变，所以$m - 3 ＜ 0$
解得：$m ＜ 3$
$m ＜ 3$
6. 对任意的 $ x ≥ 1 $，都有 $ x - a - 5 ＞ 0 $，则 $ a $ 的取值范围是
$ a ＜ - 4 $
.答案
6. $ a ＜ - 4 $
解析
解：由题意得，对任意的 $ x ≥ 1 $，$ x - a - 5 ＞ 0 $恒成立，即 $ a ＜ x - 5 $恒成立。
因为 $ x ≥ 1 $，所以 $ x - 5 ≥ 1 - 5 = -4 $，要使 $ a ＜ x - 5 $恒成立，则 $ a $需小于 $ x - 5 $的最小值，即 $ a ＜ -4 $。
$ a ＜ -4 $
因为 $ x ≥ 1 $，所以 $ x - 5 ≥ 1 - 5 = -4 $，要使 $ a ＜ x - 5 $恒成立，则 $ a $需小于 $ x - 5 $的最小值，即 $ a ＜ -4 $。
$ a ＜ -4 $
三、解答题
7. 解下列不等式，并把它的解集在数轴上表示出来：
(1) $ \frac{x}{3} - \frac{x - 1}{6} ＜ 1 $；
(2) $ 1 + \frac{x}{3} ≤ 5 - \frac{x - 2}{2} $.
7. 解下列不等式，并把它的解集在数轴上表示出来：
(1) $ \frac{x}{3} - \frac{x - 1}{6} ＜ 1 $；
(2) $ 1 + \frac{x}{3} ≤ 5 - \frac{x - 2}{2} $.
答案
7. (1) $ x ＜ $ 5 (2) $ x ≤ 6 $ (数轴略)
解析
(1) 解：去分母，得 $2x - (x - 1) ＜ 6$
去括号，得 $2x - x + 1 ＜ 6$
移项，得 $2x - x ＜ 6 - 1$
合并同类项，得 $x ＜ 5$
(2) 解：去分母，得 $6 + 2x ≤ 30 - 3(x - 2)$
去括号，得 $6 + 2x ≤ 30 - 3x + 6$
移项，得 $2x + 3x ≤ 30 + 6 - 6$
合并同类项，得 $5x ≤ 30$
系数化为1，得 $x ≤ 6$
去括号，得 $2x - x + 1 ＜ 6$
移项，得 $2x - x ＜ 6 - 1$
合并同类项，得 $x ＜ 5$
(2) 解：去分母，得 $6 + 2x ≤ 30 - 3(x - 2)$
去括号，得 $6 + 2x ≤ 30 - 3x + 6$
移项，得 $2x + 3x ≤ 30 + 6 - 6$
合并同类项，得 $5x ≤ 30$
系数化为1，得 $x ≤ 6$
