22. 已知点 $O$ 为直线 $AB$ 上的一点，$∠ BOC = ∠ DOE = 90°$.
(1) 如图(1)，当射线 $OC$、射线 $OD$ 在直线 $AB$ 的两侧时，请回答结论并说明理由.
①$∠ COD$ 和 $∠ BOE$ 相等吗？
②$∠ BOD$ 和 $∠ COE$ 有什么关系？
(2) 如图(2)，当射线 $OC$、射线 $OD$ 在直线 $AB$ 的同侧时，请直接回答.
①$∠ COD$ 和 $∠ BOE$ 相等吗？
②第(1)题中的 $∠ BOD$ 和 $∠ COE$ 的关系还成立吗？

22.(1)①∠COD=∠BOE.理由如下：
∵∠BOC=∠DOE=90°,
∴∠BOC+∠BOD=∠DOE+∠BOD，
即∠COD=∠BOE。
②∠BOD+∠COE=180°.理由如下：
∵∠AOC+∠BOC=180°,∠BOC=90°，
∴∠AOC=180°-∠BOC=90°。
∵∠DOE=90°,∠AOE+∠DOE+∠BOD=∠AOB=180°，
∴∠BOD+∠AOE=180°-90°=90°，
∴∠BOD+∠COE=∠BOD+∠AOE+∠AOC=90°+90°=180°。
(2)①∠COD=∠BOE.理由如下：
∵∠COD+∠BOD=∠BOC=90°=∠DOE=∠BOD+∠BOE,
∴∠COD=∠BOE。
②∠BOD+∠COE=180°成立.理由如下：
∵∠DOE=∠BOC=90°，
∴∠COD+∠BOD=∠BOE+∠BOD=90°。
∴∠BOD+∠COE=∠BOD+∠COD+∠BOE+∠BOD=∠BOC+∠DOE=90°+90°=180°。
因此(1)中的∠BOD和∠COE的关系仍成立。

23. 分类讨论思想 (2025·扬州仪征期末)如图,点 C 为线段 AD 上一点,点 B 为 CD 的中点,且$AD=13.5\ \mathrm{cm},BC=3\ \mathrm{cm}.$
(1)图中共有条线段;
(2)求 AC 的长;
(3)若点 E 在直线 AD 上,且$EA=4\ \mathrm{cm}$,求BE 的长.

23.(1)6
[解析]题图中共有6条线段,分别是AC,AB,AD,CB,CD,BD。
(2)
∵点B为CD的中点,BC=3 cm，
∴CD=2BC=6(cm)。
∵AD=13.5 cm，
∴AC=AD-CD=13.5-6=7.5(cm)。
(3)分两种情况：
当点E在线段CA的延长线上时,如图(1)：

∵EA=4 cm,AC=7.5 cm,BC=3 cm，
∴BE=AE+AC+BC=14.5(cm)；
当点E在线段AC上时,如图(2)：

∵EA=4 cm,AC=7.5 cm，
∴CE=AC-AE=7.5-4=3.5(cm)。
∵BC=3 cm，
∴BE=CE+BC=3.5+3=6.5(cm)。
综上所述,BE的长为14.5 cm或6.5 cm。

24. 动角模型 中考新考法 新定义问题 如图(1)，射线$OP$在$∠ AOB$的内部($∠ AOB$的度数大于$0°$且小于$180°$)，图中共有三个角：$∠ AOP$，$∠ POB$，$∠ AOB$。若这三个角中有两个角的度数之比为$3:1$，则称射线$OP$为$∠ AOB$的“虚学线”。
(1)$∠ AOB$的平分线$∠ AOB$的“虚学线”，$∠ AOB$的一条三等分线$∠ AOB$的“虚学线”；(填“是”或“不是”)
(2)射线$OP$为$∠ AOB$的“虚学线”，若$∠ AOP=30°$，求$∠ AOB$的度数；
(3)已知$∠ AOB=160°$，射线$OC$从$OA$出发，绕$O$点以每秒$15°$按顺时针方向旋转，射线$OD$从$OB$出发，绕$O$点以每秒$10°$按逆时针方向旋转，两条射线同时旋转，当射线$OC$与$OB$重合时，旋转停止。设旋转时间为$t$秒，射线$OE$为$∠ COD$的平分线，射线$OA$，$OD$，$OE$中，若其中一条射线是另两条射线组成的角的“虚学线”，直接写出所有$t$的值。


备用图
精题详解

24.(1)不是 是
(2)由一个角的“虚学线”的定义可知,当$∠ AOP=\dfrac{1}{3}∠ AOB$或$∠ AOP=\dfrac{2}{3}∠ AOB$或$∠ AOP=\dfrac{1}{3}∠ BOP$或$∠ AOP=3∠ BOP$时,射线OP是∠AOB的“虚学线”。
当$∠ AOP=\dfrac{1}{3}∠ AOB$时,由∠AOP=30°,得∠AOB=3×30°=90°；
当$∠ AOP=\dfrac{2}{3}∠ AOB$时,由∠AOP=30°,得$∠ AOB=\dfrac{3}{2}×30°=45°$；
当$∠ AOP=\dfrac{1}{3}∠ BOP$时，
由∠AOP=30°,得∠BOP=3×30°=90°，
∴∠AOB=30°+90°=120°；
当∠AOP=3∠BOP时,得∠BOP=10°，
∴∠AOB=30°+10°=40°。
综上所述,∠AOB的度数为45°或90°或120°或40°。
(3)由题意,得∠AOC=15t°,∠BOD=10t°，
当OC与OD重合前,旋转的时间t秒的取值范围为$0≤ t＜\dfrac{160}{15+10}$,即$0≤ t＜6.4$,如图(1)。
∵OE平分∠COD，
∴$∠ COE=∠ DOE=\dfrac{1}{2}∠ COD=\dfrac{1}{2}(160-10t-15t)°=(\dfrac{160-25t}{2})°$。由于∠AOE＞∠DOE，
则当∠AOE=2∠DOE或∠AOE=3∠DOE时,射线OE是∠AOD的“虚学线”,即$15t+\dfrac{160-25t}{2}=\dfrac{160-25t}{2}×2$或$15t+\dfrac{160-25t}{2}=\dfrac{160-25t}{2}×3$，
解得$t=\dfrac{32}{11}$或t=4；

当OC与OD重合后,旋转的时间t秒的取值范围为$6.4＜ t≤\dfrac{160}{15}$,即$6.4＜ t≤\dfrac{32}{3}$,如图(2)。
∵OE平分∠COD，
∴$∠ COE=∠ DOE=\dfrac{1}{2}∠ COD=\dfrac{1}{2}(10t+15t-160)°=(\dfrac{25t-160}{2})°$。
当∠AOD=2∠DOE或∠AOD=3∠DOE时，
射线OD是∠AOE的“虚学线”,即$160-10t=2×\dfrac{25t-160}{2}$或$160-10t=3×\dfrac{25t-160}{2}$，
解得$t=\dfrac{64}{7}$或$t=\dfrac{160}{19}$；
当2∠AOD=∠DOE或3∠AOD=∠DOE时，
射线OD是∠AOE的“虚学线”,即$2(160-10t)=\dfrac{25t-160}{2}$或$3(160-10t)=\dfrac{25t-160}{2}$，
解得$t=\dfrac{160}{13}＞\dfrac{160}{15}$(舍去)或$t=\dfrac{224}{17}＞\dfrac{160}{15}$(舍去)。
综上所述,当射线OA,OD,OE中的一条射线是另两条射线组成的角的“虚学线”时,t的值为$\dfrac{32}{11}$或4或$\dfrac{64}{7}$或$\dfrac{160}{19}$。