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23.（7分）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角”.此图揭示了$(a+b)^n$（$n$为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题：
(1)图中括号内的数为
(2)利用上面的规律计算：$3^5 -5×3^4 +10×3^3 -10×3^2 +5×3 -1$；
(3)假如今天是星期五，那么再过$6^n$天会是星期几，请直接写出所有答案
(1)图中括号内的数为
6
；(2)利用上面的规律计算：$3^5 -5×3^4 +10×3^3 -10×3^2 +5×3 -1$；
(3)假如今天是星期五，那么再过$6^n$天会是星期几，请直接写出所有答案
星期四、星期六
.（$n$为正整数）答案
【点拨】本题考查完全平方公式的延伸,数字的变化规律,罗列分析出规律是解题的关键.
【解析】(1)题图中括号内的数为$3 + 3 = 6$. 故答案为 6.
(2)因为$(a + b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5$,所以当$a = 3$,$b = -1$时,$(3 - 1)^5 = 3^5 - 5×3^4 + 10×3^3 - 10×3^2 + 5×3 - 1$,所以$3^5 - 5×3^4 + 10×3^3 - 10×3^2 + 5×3 - 1 = 2^5 = 32$.
(3)今天是星期五:
当$n = 1$时,过6天为星期四,
当$n = 2$时,过36天,$36 ÷ 7 = 5······1$,为星期六,
当$n = 3$时,过$6^3 = 216$天,$216 ÷ 7 = 30······6$,为星期四,
当$n = 4$时,过$6^4 = 1\ 296$天,$1\ 296 ÷ 7 = 185······1$,为星期六,
故当$n$为奇数时结果为星期四,偶数时结果为星期六. 故答案为星期四、星期六.
【解析】(1)题图中括号内的数为$3 + 3 = 6$. 故答案为 6.
(2)因为$(a + b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5$,所以当$a = 3$,$b = -1$时,$(3 - 1)^5 = 3^5 - 5×3^4 + 10×3^3 - 10×3^2 + 5×3 - 1$,所以$3^5 - 5×3^4 + 10×3^3 - 10×3^2 + 5×3 - 1 = 2^5 = 32$.
(3)今天是星期五:
当$n = 1$时,过6天为星期四,
当$n = 2$时,过36天,$36 ÷ 7 = 5······1$,为星期六,
当$n = 3$时,过$6^3 = 216$天,$216 ÷ 7 = 30······6$,为星期四,
当$n = 4$时,过$6^4 = 1\ 296$天,$1\ 296 ÷ 7 = 185······1$,为星期六,
故当$n$为奇数时结果为星期四,偶数时结果为星期六. 故答案为星期四、星期六.
