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1. 根据以下素材,探索完成任务.
| | 探索果园土地规划和销售利润问题 | |
| --- | --- | --- |
| 素材1 | 某农户承包了一块长方形果园$ABCD$,图①是果园的平面图,其中$AB=200$米,$BC=300$米.准备在它的四周铺设道路,上下两条横向道路的宽度都为$2x$米,左右两条纵向道路的宽度都为$x$米,中间部分种植水果.出于货车通行等因素的考虑,道路宽度$x$不超过12米,且不小于5米. |
|
| 素材2 | 该农户发现某一种草莓销售前景不错,经市场调查,草莓培育一年可产果,若每平方米的草莓销售平均利润为100元,每月可销售5000平方米的草莓;受天气原因,农户为了快速将草莓出手,决定若每平方米草莓平均利润下调5元,每月可多销售500平方米草莓.果园每月的承包费为2万元. |
|
| | 问题解决 | |
| 任务1 | 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响. | (1)请直接写出纵向道路宽度$x$的取值范围.
(2)若中间种植的面积是44800平方米,则路面设置的宽度是否符合要求? |
| 任务2 | 解决果园种植的预期利润问题.
(总利润$=$销售利润$-$承包费) | (3)若农户预期一个月的总利润为52万元,则从购买草莓客户的角度考虑,每平方米草莓的平均利润应该下调多少元? |
2. 根据以下素材,探索完成任务.
| | 如何估算游客人数和门票收入? | | | |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 素材1 | 某市接待的游客人数逐月增加,据统计,游玩某景区的游客人数1月份为4万,3月份为5.76万. | | | |
| 素材2 | 若该景区仅有$A,B$两个景点,售票处出示的三种购票方式如表所示.
据预测,5月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别为2万,3万和2万,并且当甲、乙两种门票价格不变时,丙种门票价格每下降1元,将有原计划购买甲种门票的600人和原计划购买乙种门票的400人改为购买丙种门票. | 购票方式 | 甲 | 乙 | 丙 |
| | | 可游玩景点 | $A$ | $B$ | $A$和$B$ |
| | | 门票价格 | 100元/人 | 80元/人 | 160元/人 |
| | 问题解决 | | | |
| 任务1 | 确定增长率 | 求2月和3月这两个月中,该景区游客人数平均每月增长率. | | |
| 任务2 | 预计门票收入 | 若丙种门票价格下降10元,求景区5月份的门票总收入. | | |
| 任务3 | 拟定价格方案 | 将丙种门票价格下降多少元时,景区5月份的门票总收入有816万元? | | |
| | 探索果园土地规划和销售利润问题 | |
| --- | --- | --- |
| 素材1 | 某农户承包了一块长方形果园$ABCD$,图①是果园的平面图,其中$AB=200$米,$BC=300$米.准备在它的四周铺设道路,上下两条横向道路的宽度都为$2x$米,左右两条纵向道路的宽度都为$x$米,中间部分种植水果.出于货车通行等因素的考虑,道路宽度$x$不超过12米,且不小于5米. |
|| 素材2 | 该农户发现某一种草莓销售前景不错,经市场调查,草莓培育一年可产果,若每平方米的草莓销售平均利润为100元,每月可销售5000平方米的草莓;受天气原因,农户为了快速将草莓出手,决定若每平方米草莓平均利润下调5元,每月可多销售500平方米草莓.果园每月的承包费为2万元. |
|| | 问题解决 | |
| 任务1 | 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响. | (1)请直接写出纵向道路宽度$x$的取值范围.
(2)若中间种植的面积是44800平方米,则路面设置的宽度是否符合要求? |
| 任务2 | 解决果园种植的预期利润问题.
(总利润$=$销售利润$-$承包费) | (3)若农户预期一个月的总利润为52万元,则从购买草莓客户的角度考虑,每平方米草莓的平均利润应该下调多少元? |
2. 根据以下素材,探索完成任务.
| | 如何估算游客人数和门票收入? | | | |
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| 素材1 | 某市接待的游客人数逐月增加,据统计,游玩某景区的游客人数1月份为4万,3月份为5.76万. | | | |
| 素材2 | 若该景区仅有$A,B$两个景点,售票处出示的三种购票方式如表所示.
据预测,5月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别为2万,3万和2万,并且当甲、乙两种门票价格不变时,丙种门票价格每下降1元,将有原计划购买甲种门票的600人和原计划购买乙种门票的400人改为购买丙种门票. | 购票方式 | 甲 | 乙 | 丙 |
| | | 可游玩景点 | $A$ | $B$ | $A$和$B$ |
| | | 门票价格 | 100元/人 | 80元/人 | 160元/人 |
| | 问题解决 | | | |
| 任务1 | 确定增长率 | 求2月和3月这两个月中,该景区游客人数平均每月增长率. | | |
| 任务2 | 预计门票收入 | 若丙种门票价格下降10元,求景区5月份的门票总收入. | | |
| 任务3 | 拟定价格方案 | 将丙种门票价格下降多少元时,景区5月份的门票总收入有816万元? | | |
答案
1. 解:(1)根据题意,得$5 ≤ x ≤ 12$.
(2)根据题意,得$(300-2x)(200-2 × 2x)=44800$,
整理,得$x^2-200x+1900=0$,
解得$x_1=10$,$x_2=190$(不符合题意,舍去).
$\because 5 ≤ 10 ≤ 12$,
$\therefore$ 路面设置的宽度符合要求.
(3)设每平方米草莓平均利润下调$y$元,则每平方米草莓平均利润为$(100-y)$元,每月可售出$5000+\frac{y}{5} × 500=(5000+100y)$平方米草莓,
根据题意,得$(100-y)(5000+100y)-20000=520000$,
整理,得$y^2-50y+400=0$,
解得$y_1=10$,$y_2=40$.
又$\because$ 要从购买草莓客户的角度考虑,$\therefore y=40$.
答:每平方米草莓的平均利润应该下调40元.
2. 解:任务1:设2月和3月这两个月中,该景区游客人数平均每月增长率为$x$,
根据题意,得$4(1+x)^2=5.76$,
解得$x_1=0.2=20\%$,$x_2=-2.2$(不合题意,舍去).
答:2月和3月这两个月中,该景区游客人数平均每月增长率为$20\%$.
任务2:根据题意,得$100 × (20000-600 × 10)+80 × (30000-400 × 10)+(160-10) × (20000+600 × 10+400 × 10)=7980000$(元),$7980000$元$=798$万元.
答:景区5月份的门票总收入为798万元.
任务3:设丙种门票价格下降$y$元时,景区5月份的门票总收入有816万元,
根据题意,得$100 × (20000-600y)+80 × (30000-400y)+(160-y) × (20000+600y+400y)=8160000$,
整理,得$y^2-48y+560=0$,
解得$y_1=20$,$y_2=28$.
答:丙种门票价格下降20元或28元时,景区5月份的门票总收入有816万元.
(2)根据题意,得$(300-2x)(200-2 × 2x)=44800$,
整理,得$x^2-200x+1900=0$,
解得$x_1=10$,$x_2=190$(不符合题意,舍去).
$\because 5 ≤ 10 ≤ 12$,
$\therefore$ 路面设置的宽度符合要求.
(3)设每平方米草莓平均利润下调$y$元,则每平方米草莓平均利润为$(100-y)$元,每月可售出$5000+\frac{y}{5} × 500=(5000+100y)$平方米草莓,
根据题意,得$(100-y)(5000+100y)-20000=520000$,
整理,得$y^2-50y+400=0$,
解得$y_1=10$,$y_2=40$.
又$\because$ 要从购买草莓客户的角度考虑,$\therefore y=40$.
答:每平方米草莓的平均利润应该下调40元.
2. 解:任务1:设2月和3月这两个月中,该景区游客人数平均每月增长率为$x$,
根据题意,得$4(1+x)^2=5.76$,
解得$x_1=0.2=20\%$,$x_2=-2.2$(不合题意,舍去).
答:2月和3月这两个月中,该景区游客人数平均每月增长率为$20\%$.
任务2:根据题意,得$100 × (20000-600 × 10)+80 × (30000-400 × 10)+(160-10) × (20000+600 × 10+400 × 10)=7980000$(元),$7980000$元$=798$万元.
答:景区5月份的门票总收入为798万元.
任务3:设丙种门票价格下降$y$元时,景区5月份的门票总收入有816万元,
根据题意,得$100 × (20000-600y)+80 × (30000-400y)+(160-y) × (20000+600y+400y)=8160000$,
整理,得$y^2-48y+560=0$,
解得$y_1=20$,$y_2=28$.
答:丙种门票价格下降20元或28元时,景区5月份的门票总收入有816万元.
解析
【分析】
这道题是结合果园经营、景区运营两个实际场景的一元二次方程应用综合题，解题思路可以分模块梳理：
1. 果园模块任务1：
(1) 题干素材1直接明确给出了x的取值边界，直接提取信息就能得到范围；
(2) 先根据道路宽度表示出中间种植区域的长和宽，二者乘积就是种植面积，代入已知的44800列出一元二次方程，求解后把根和给定的x范围比对，判断是否符合要求，舍去明显不符合实际的大根。
(3) 从客户角度出发，要让每平方米草莓的购买成本尽可能低，也就是利润下调幅度尽可能大。先设下调y元，表示出调整后每平的利润和月销量，再根据“总利润=单平利润×总销量-固定承包费”的等量关系列方程，解出两个正根后选择更大的y值即可。
2. 景区模块任务：
(1) 平均增长率问题，已知1月游客4万，两个月后3月游客5.76万，代入增长率公式a(1+x)²=b列方程求解，舍去负根得到增长率。
(2) 丙降价10元时，分别计算调整后购买甲、乙、丙三类门票的人数，再分别乘以对应票价求和，就能得到总门票收入。
(3) 设丙降价y元，类比任务2的人数计算逻辑，列出总收入的等量关系得到一元二次方程，求解后两个正根都符合实际意义，全部保留即可。
【解析】
1. 果园相关问题解答：
(1) 由素材1直接可得纵向道路宽度x的取值范围为$5 ≤ x ≤ 12$。
(2) 根据题意列方程：
$(300-2x)(200-4x)=44800$
展开整理得：
$x^2 - 200x + 1900 = 0$
解得$x_1=10$，$x_2=190$，其中x=190不符合果园实际尺寸，舍去。
因为$5 ≤ 10 ≤ 12$，所以路面设置的宽度符合要求。
(3) 设每平方米草莓平均利润下调y元，则调整后每平利润为$(100-y)$元，月销量为$5000+\frac{y}{5}×500=5000+100y$ 平方米。
根据总利润等量关系列方程：
$(100-y)(5000+100y)-20000=520000$
整理得：
$y^2 -50y +400=0$
解得$y_1=10$，$y_2=40$。站在客户角度要尽可能降低购买成本，因此选择更大的下调幅度y=40。
2. 景区相关问题解答：
任务1：设2月和3月游客人数的月平均增长率为x，根据题意列方程：
$4(1+x)^2=5.76$
解得$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$，负增长率不符合实际，舍去。
任务2：丙降价10元后：
购买甲门票的人数为$20000 - 600×10=14000$人，
购买乙门票的人数为$30000 - 400×10=26000$人，
购买丙门票的人数为$20000 + 600×10 +400×10=30000$人，
总门票收入为：
$100×14000 +80×26000 +150×30000=7980000元=798万元$
任务3：设丙种门票价格下降y元时，总收入为816万元，列方程：
$100×(20000-600y)+80×(30000-400y)+(160-y)(20000+1000y)=8160000$
整理得：
$y^2 -48y +560=0$
解得$y_1=20$，$y_2=28$，两个根均符合实际意义。
【答案】
1. (1) $5 ≤ x ≤ 12$；
(2) 路面设置的宽度符合要求；
(3) 每平方米草莓的平均利润应该下调40元。
2. 任务1：2月和3月该景区游客人数平均每月增长率为20%；
任务2：景区5月份的门票总收入为798万元；
任务3：丙种门票价格下降20元或28元时，景区5月份的门票总收入有816万元。
【知识点】
一元二次方程实际应用，增长率问题，销售利润模型
【点评】
本题是初中数学典型的一元二次方程实际应用综合题，场景贴近生活，重点考察学生从长题干中提取有效等量关系、建立方程模型的能力，同时要求学生掌握实际问题中方程根的取舍逻辑，既要满足数值范围约束，也要符合题干给出的隐含立场要求，整体计算难度不高，适合巩固一元二次方程的应用知识点。
【难度系数】
0.65
这道题是结合果园经营、景区运营两个实际场景的一元二次方程应用综合题，解题思路可以分模块梳理：
1. 果园模块任务1：
(1) 题干素材1直接明确给出了x的取值边界，直接提取信息就能得到范围；
(2) 先根据道路宽度表示出中间种植区域的长和宽，二者乘积就是种植面积，代入已知的44800列出一元二次方程，求解后把根和给定的x范围比对，判断是否符合要求，舍去明显不符合实际的大根。
(3) 从客户角度出发，要让每平方米草莓的购买成本尽可能低，也就是利润下调幅度尽可能大。先设下调y元，表示出调整后每平的利润和月销量，再根据“总利润=单平利润×总销量-固定承包费”的等量关系列方程，解出两个正根后选择更大的y值即可。
2. 景区模块任务：
(1) 平均增长率问题，已知1月游客4万，两个月后3月游客5.76万，代入增长率公式a(1+x)²=b列方程求解，舍去负根得到增长率。
(2) 丙降价10元时，分别计算调整后购买甲、乙、丙三类门票的人数，再分别乘以对应票价求和，就能得到总门票收入。
(3) 设丙降价y元，类比任务2的人数计算逻辑，列出总收入的等量关系得到一元二次方程，求解后两个正根都符合实际意义，全部保留即可。
【解析】
1. 果园相关问题解答：
(1) 由素材1直接可得纵向道路宽度x的取值范围为$5 ≤ x ≤ 12$。
(2) 根据题意列方程：
$(300-2x)(200-4x)=44800$
展开整理得：
$x^2 - 200x + 1900 = 0$
解得$x_1=10$，$x_2=190$，其中x=190不符合果园实际尺寸，舍去。
因为$5 ≤ 10 ≤ 12$，所以路面设置的宽度符合要求。
(3) 设每平方米草莓平均利润下调y元，则调整后每平利润为$(100-y)$元，月销量为$5000+\frac{y}{5}×500=5000+100y$ 平方米。
根据总利润等量关系列方程：
$(100-y)(5000+100y)-20000=520000$
整理得：
$y^2 -50y +400=0$
解得$y_1=10$，$y_2=40$。站在客户角度要尽可能降低购买成本，因此选择更大的下调幅度y=40。
2. 景区相关问题解答：
任务1：设2月和3月游客人数的月平均增长率为x，根据题意列方程：
$4(1+x)^2=5.76$
解得$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$，负增长率不符合实际，舍去。
任务2：丙降价10元后：
购买甲门票的人数为$20000 - 600×10=14000$人，
购买乙门票的人数为$30000 - 400×10=26000$人，
购买丙门票的人数为$20000 + 600×10 +400×10=30000$人，
总门票收入为：
$100×14000 +80×26000 +150×30000=7980000元=798万元$
任务3：设丙种门票价格下降y元时，总收入为816万元，列方程：
$100×(20000-600y)+80×(30000-400y)+(160-y)(20000+1000y)=8160000$
整理得：
$y^2 -48y +560=0$
解得$y_1=20$，$y_2=28$，两个根均符合实际意义。
【答案】
1. (1) $5 ≤ x ≤ 12$；
(2) 路面设置的宽度符合要求；
(3) 每平方米草莓的平均利润应该下调40元。
2. 任务1：2月和3月该景区游客人数平均每月增长率为20%；
任务2：景区5月份的门票总收入为798万元；
任务3：丙种门票价格下降20元或28元时，景区5月份的门票总收入有816万元。
【知识点】
一元二次方程实际应用，增长率问题，销售利润模型
【点评】
本题是初中数学典型的一元二次方程实际应用综合题，场景贴近生活，重点考察学生从长题干中提取有效等量关系、建立方程模型的能力，同时要求学生掌握实际问题中方程根的取舍逻辑，既要满足数值范围约束，也要符合题干给出的隐含立场要求，整体计算难度不高，适合巩固一元二次方程的应用知识点。
【难度系数】
0.65
