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3.一辆汽车以恒定的功率在平直的公路上做直线运动，其$v$-$t$图像如图所示，在第10s时速度达到20m/s，通过的路程为120m.求：
(1)设汽车在行驶过程中所受阻力不变，大小为$f=4000N$，那么在10～20s内汽车发动机牵引力是多少？
(2)汽车的功率是多少？
(3)在0～10s内汽车发动机牵引力所做的功是多少？
(4)若发动机的转化效率为80％，则需要燃烧多少千克汽油才能使发动机做这么多功？（$q_{汽油}=5×10^7J/kg$）
(1)设汽车在行驶过程中所受阻力不变，大小为$f=4000N$，那么在10～20s内汽车发动机牵引力是多少？
(2)汽车的功率是多少？
(3)在0～10s内汽车发动机牵引力所做的功是多少？
(4)若发动机的转化效率为80％，则需要燃烧多少千克汽油才能使发动机做这么多功？（$q_{汽油}=5×10^7J/kg$）
答案
(1)由图像可知，10～20s内汽车做匀速直线运动，牵引力$F=f=4000N.$
(2)由图像可知，汽车速度达到的最大值为$v=20m/s$，则汽车的功率
$P=\frac{W}{t}=\frac{Fs}{t}=Fv=4000N×20m/s=8×10^{4}W.$
(3)在0～10s内汽车发动机牵引力所做的功
$W=Pt=8×10^{4}W×10s=8×10^{5}J.$
(4)汽油完全燃烧释放的热量
$Q_{放}=\frac{W}{\eta}=\frac{8×10^{5}J}{80\%}=1×10^{6}J,$
由$Q=mq$可得需要燃烧汽油的质量
$m=\frac{Q_{放}}{q_{汽油}}=\frac{1×10^{6}J}{5×10^{7}J/kg}=0.02kg.$
(2)由图像可知，汽车速度达到的最大值为$v=20m/s$，则汽车的功率
$P=\frac{W}{t}=\frac{Fs}{t}=Fv=4000N×20m/s=8×10^{4}W.$
(3)在0～10s内汽车发动机牵引力所做的功
$W=Pt=8×10^{4}W×10s=8×10^{5}J.$
(4)汽油完全燃烧释放的热量
$Q_{放}=\frac{W}{\eta}=\frac{8×10^{5}J}{80\%}=1×10^{6}J,$
由$Q=mq$可得需要燃烧汽油的质量
$m=\frac{Q_{放}}{q_{汽油}}=\frac{1×10^{6}J}{5×10^{7}J/kg}=0.02kg.$
解析
【分析】
首先观察v-t图像，10～20s内汽车速度不变，做匀速直线运动，此时受力平衡，牵引力等于阻力，可直接求出该段牵引力；汽车恒定功率，匀速时功率P=Fv，由此可计算汽车功率；0～10s内功率恒定，根据W=Pt可求该段牵引力做功；最后利用热机效率和热值公式，计算燃烧汽油的质量。解题时需紧扣图像信息，结合受力平衡、功率、功、效率、热值的相关公式逐步推导。
【解析】
(1) 由v-t图像可知，10～20s内汽车做匀速直线运动，受力平衡，因此汽车发动机的牵引力与阻力大小相等，即：
$F = f = 4000N$。
(2) 汽车恒定功率，匀速运动时功率$P=Fv$，代入$F=4000N$，$v=20m/s$，得：
$P = Fv = 4000N × 20m/s = 8×10^4 W$。
(3) 0～10s内汽车功率恒定，牵引力做功$W=Pt$，代入$P=8×10^4 W$，$t=10s$，得：
$W = Pt = 8×10^4 W × 10s = 8×10^5 J$。
(4) 发动机转化效率$\eta=\frac{W}{Q_{放}}$，因此汽油完全燃烧释放的热量$Q_{放}=\frac{W}{\eta}$；又$Q_{放}=mq_{汽油}$，所以需要燃烧汽油的质量：
$m=\frac{Q_{放}}{q_{汽油}}=\frac{W}{\eta q_{汽油}}=\frac{8×10^5 J}{80\% × 5×10^7 J/kg}=0.02kg$。
【答案】
(1) 4000N；(2) $8×10^4 W$；(3) $8×10^5 J$；(4) 0.02kg
【知识点】
功率计算、功的计算、热值与效率应用
【点评】
本题结合v-t图像考查恒定功率下的力学与热学综合计算，需掌握匀速运动的受力特点，熟练运用功率、功、热机效率、热值的相关公式，是一道基础综合题，注重知识点的实际应用。
【难度系数】
0.6
首先观察v-t图像，10～20s内汽车速度不变，做匀速直线运动，此时受力平衡，牵引力等于阻力，可直接求出该段牵引力；汽车恒定功率，匀速时功率P=Fv，由此可计算汽车功率；0～10s内功率恒定，根据W=Pt可求该段牵引力做功；最后利用热机效率和热值公式，计算燃烧汽油的质量。解题时需紧扣图像信息，结合受力平衡、功率、功、效率、热值的相关公式逐步推导。
【解析】
(1) 由v-t图像可知，10～20s内汽车做匀速直线运动，受力平衡，因此汽车发动机的牵引力与阻力大小相等，即：
$F = f = 4000N$。
(2) 汽车恒定功率，匀速运动时功率$P=Fv$，代入$F=4000N$，$v=20m/s$，得：
$P = Fv = 4000N × 20m/s = 8×10^4 W$。
(3) 0～10s内汽车功率恒定，牵引力做功$W=Pt$，代入$P=8×10^4 W$，$t=10s$，得：
$W = Pt = 8×10^4 W × 10s = 8×10^5 J$。
(4) 发动机转化效率$\eta=\frac{W}{Q_{放}}$，因此汽油完全燃烧释放的热量$Q_{放}=\frac{W}{\eta}$；又$Q_{放}=mq_{汽油}$，所以需要燃烧汽油的质量：
$m=\frac{Q_{放}}{q_{汽油}}=\frac{W}{\eta q_{汽油}}=\frac{8×10^5 J}{80\% × 5×10^7 J/kg}=0.02kg$。
【答案】
(1) 4000N；(2) $8×10^4 W$；(3) $8×10^5 J$；(4) 0.02kg
【知识点】
功率计算、功的计算、热值与效率应用
【点评】
本题结合v-t图像考查恒定功率下的力学与热学综合计算，需掌握匀速运动的受力特点，熟练运用功率、功、热机效率、热值的相关公式，是一道基础综合题，注重知识点的实际应用。
【难度系数】
0.6
4. 我国自主研制的第五代战斗机“歼-20”，它具备超音速巡航、电磁隐身、超机动性、超视距攻击等优异性能，该飞机最大起飞质量为$3.7× 10^{4}\mathrm{kg}$，最大飞行高度达$2× 10^{4}\mathrm{m}$，最大航行速度达2.5倍声速，最大载油量为$1× 10^{4}\mathrm{kg}$. 飞机航行时所受阻力的大小与速度的关系如表所示.
已知飞机发动机燃油完全燃烧的能量转化为机械能的效率是30%，飞机使用的航空燃油的热值为$5× 10^{7}\mathrm{J/kg}$，请回答下列问题：
(1) 飞机发动机完全燃烧$1× 10^{4}\mathrm{kg}$燃油放出的热量为多少焦？
(2) 当飞机以300m/s的速度水平匀速巡航时，飞机航行时所受阻力的大小是多少？飞机发动机的输出功率是多少？
(3) 某次执行任务时，驾驶员发现飞机的油量还有$3.2× 10^{3}\mathrm{kg}$，若以400m/s的速度巡航，则飞机最多还能飞行多远？
已知飞机发动机燃油完全燃烧的能量转化为机械能的效率是30%，飞机使用的航空燃油的热值为$5× 10^{7}\mathrm{J/kg}$，请回答下列问题：
(1) 飞机发动机完全燃烧$1× 10^{4}\mathrm{kg}$燃油放出的热量为多少焦？
(2) 当飞机以300m/s的速度水平匀速巡航时，飞机航行时所受阻力的大小是多少？飞机发动机的输出功率是多少？
(3) 某次执行任务时，驾驶员发现飞机的油量还有$3.2× 10^{3}\mathrm{kg}$，若以400m/s的速度巡航，则飞机最多还能飞行多远？
答案
(1)飞机发动机完全燃烧$1×10^{4}kg$燃油放出的热量
$Q_{放}=mq=1×10^{4}kg×5×10^{7}J/kg=5×10^{11}J.$
(2)由表中数据可知，所受阻力与速度的平方成正比，即$f_1:f_3=v_1^2:v_3^2$，
则飞机以300m/s的速度巡航时，所受阻力
$f_3=(\frac{v_3}{v_1})^2 f_1=(\frac{300m/s}{100m/s})^2×0.3×10^4N=2.7×10^4N,$
则飞机发动机的输出功率
$P=\frac{W}{t}=\frac{Fs}{t}=Fv_3=f_3v_3=2.7×10^4N×300m/s=8.1×10^6W.$
(3)飞机的油量还有$3.2×10^3kg$，则这些燃油完全燃烧放出的热量$Q'_{放}=m'q=3.2×10^3kg×5×10^7J/kg=1.6×10^{11}J.$
根据$\eta=\frac{W}{Q_{放}}×100\%$得还能做的有用功
$W=30\%×Q'_{放}=30\%×1.6×10^{11}J=4.8×10^{10}J,$
由表中数据可知，速度为400m/s时的阻力$f_4=4.8×10^4N.$
由$W=Fs=fs$可得飞机最多还能飞行
$s_4=\frac{W}{f_4}=\frac{4.8×10^{10}J}{4.8×10^4N}=1×10^6m=1000km.$
$Q_{放}=mq=1×10^{4}kg×5×10^{7}J/kg=5×10^{11}J.$
(2)由表中数据可知，所受阻力与速度的平方成正比，即$f_1:f_3=v_1^2:v_3^2$，
则飞机以300m/s的速度巡航时，所受阻力
$f_3=(\frac{v_3}{v_1})^2 f_1=(\frac{300m/s}{100m/s})^2×0.3×10^4N=2.7×10^4N,$
则飞机发动机的输出功率
$P=\frac{W}{t}=\frac{Fs}{t}=Fv_3=f_3v_3=2.7×10^4N×300m/s=8.1×10^6W.$
(3)飞机的油量还有$3.2×10^3kg$，则这些燃油完全燃烧放出的热量$Q'_{放}=m'q=3.2×10^3kg×5×10^7J/kg=1.6×10^{11}J.$
根据$\eta=\frac{W}{Q_{放}}×100\%$得还能做的有用功
$W=30\%×Q'_{放}=30\%×1.6×10^{11}J=4.8×10^{10}J,$
由表中数据可知，速度为400m/s时的阻力$f_4=4.8×10^4N.$
由$W=Fs=fs$可得飞机最多还能飞行
$s_4=\frac{W}{f_4}=\frac{4.8×10^{10}J}{4.8×10^4N}=1×10^6m=1000km.$
解析
【分析】
本题需分三个小问逐步解决：
1. 第(1)问是计算燃油完全燃烧放出的热量，直接应用燃料放热公式$Q_{放}=mq$即可；
2. 第(2)问需先从表格数据中总结规律：阻力与速度的平方成正比，利用该比例关系算出300m/s时的阻力，再结合匀速运动时牵引力等于阻力，通过功率公式$P=Fv$计算输出功率；
3. 第(3)问先计算剩余燃油的放热，再根据效率算出有用功，找到400m/s时的阻力，最后通过功的公式$W=fs$算出飞行距离。
【解析】
(1) 燃油完全燃烧放出的热量：
$Q_{放}=mq=1×10^{4}\mathrm{kg}×5×10^{7}\mathrm{J/kg}=5×10^{11}\mathrm{J}$；
(2) 由表格数据可知，阻力与速度的平方成正比，即$f \propto v^2$，因此：
$\frac{f_3}{f_1}=(\frac{v_3}{v_1})^2$，代入$v_1=100\mathrm{m/s}$，$f_1=0.3×10^4\mathrm{N}$，$v_3=300\mathrm{m/s}$，得：
$f_3=(\frac{300\mathrm{m/s}}{100\mathrm{m/s}})^2×0.3×10^4\mathrm{N}=9×0.3×10^4\mathrm{N}=2.7×10^4\mathrm{N}$；
飞机匀速巡航，牵引力$F=f_3=2.7×10^4\mathrm{N}$，输出功率：
$P=Fv_3=2.7×10^4\mathrm{N}×300\mathrm{m/s}=8.1×10^6\mathrm{W}$；
(3) 剩余燃油完全燃烧放出的热量：
$Q'_{放}=m'q=3.2×10^3\mathrm{kg}×5×10^7\mathrm{J/kg}=1.6×10^{11}\mathrm{J}$；
有用功：
$W=\eta Q'_{放}=30\%×1.6×10^{11}\mathrm{J}=4.8×10^{10}\mathrm{J}$；
由表格知，速度为400m/s时阻力$f_4=4.8×10^4\mathrm{N}$，则飞行距离：
$s=\frac{W}{f_4}=\frac{4.8×10^{10}\mathrm{J}}{4.8×10^4\mathrm{N}}=1×10^6\mathrm{m}=1000\mathrm{km}$。
【答案】
(1) $5×10^{11}\mathrm{J}$；(2) 阻力为$2.7×10^4\mathrm{N}$，输出功率为$8.1×10^6\mathrm{W}$；(3) $1×10^6\mathrm{m}$（或1000km）
【知识点】燃料的热值、功率的计算、功与效率的应用
【点评】本题结合实际场景，通过表格数据考查物理规律的应用，关键是从数据中提炼阻力与速度的平方成正比的关系，再灵活运用热值、功率、功和效率的公式解题，综合性较强。
【难度系数】0.5
本题需分三个小问逐步解决：
1. 第(1)问是计算燃油完全燃烧放出的热量，直接应用燃料放热公式$Q_{放}=mq$即可；
2. 第(2)问需先从表格数据中总结规律：阻力与速度的平方成正比，利用该比例关系算出300m/s时的阻力，再结合匀速运动时牵引力等于阻力，通过功率公式$P=Fv$计算输出功率；
3. 第(3)问先计算剩余燃油的放热，再根据效率算出有用功，找到400m/s时的阻力，最后通过功的公式$W=fs$算出飞行距离。
【解析】
(1) 燃油完全燃烧放出的热量：
$Q_{放}=mq=1×10^{4}\mathrm{kg}×5×10^{7}\mathrm{J/kg}=5×10^{11}\mathrm{J}$；
(2) 由表格数据可知，阻力与速度的平方成正比，即$f \propto v^2$，因此：
$\frac{f_3}{f_1}=(\frac{v_3}{v_1})^2$，代入$v_1=100\mathrm{m/s}$，$f_1=0.3×10^4\mathrm{N}$，$v_3=300\mathrm{m/s}$，得：
$f_3=(\frac{300\mathrm{m/s}}{100\mathrm{m/s}})^2×0.3×10^4\mathrm{N}=9×0.3×10^4\mathrm{N}=2.7×10^4\mathrm{N}$；
飞机匀速巡航，牵引力$F=f_3=2.7×10^4\mathrm{N}$，输出功率：
$P=Fv_3=2.7×10^4\mathrm{N}×300\mathrm{m/s}=8.1×10^6\mathrm{W}$；
(3) 剩余燃油完全燃烧放出的热量：
$Q'_{放}=m'q=3.2×10^3\mathrm{kg}×5×10^7\mathrm{J/kg}=1.6×10^{11}\mathrm{J}$；
有用功：
$W=\eta Q'_{放}=30\%×1.6×10^{11}\mathrm{J}=4.8×10^{10}\mathrm{J}$；
由表格知，速度为400m/s时阻力$f_4=4.8×10^4\mathrm{N}$，则飞行距离：
$s=\frac{W}{f_4}=\frac{4.8×10^{10}\mathrm{J}}{4.8×10^4\mathrm{N}}=1×10^6\mathrm{m}=1000\mathrm{km}$。
【答案】
(1) $5×10^{11}\mathrm{J}$；(2) 阻力为$2.7×10^4\mathrm{N}$，输出功率为$8.1×10^6\mathrm{W}$；(3) $1×10^6\mathrm{m}$（或1000km）
【知识点】燃料的热值、功率的计算、功与效率的应用
【点评】本题结合实际场景，通过表格数据考查物理规律的应用，关键是从数据中提炼阻力与速度的平方成正比的关系，再灵活运用热值、功率、功和效率的公式解题，综合性较强。
【难度系数】0.5
