10. 在$△ ABC$中，$AD⊥ BC$于点$D$，$E$，$F$，$G$分别是$BC$，$AC$，$BA$的中点，求证：四边形$DEFG$是等腰梯形。

10.证明:
∵E,F,G分别是BC,AC,BA的中点，
　
∴GF//BC,EF=$\frac{1}{2}$AB.
　
∵GF≠DE,
∴四边形DEFG是梯形.
　
∵AD⊥BC,即∠ADB=90°.
　
∵G是AB的中点,
∴DG=$\frac{1}{2}$AB,
∴DG=EF,
　
∴四边形DEFG是等腰梯形.

11. 如图，在梯形$ABFE$中，$AE// BF$，$AE=\frac{1}{2}BF$，$C$为$BF$的中点，连接$AC$，$BE$交于点$D$，求证：$DC=\frac{1}{2}EF$。

11.证明:如答图，连接CE.
　
∵四边形ABFE为梯形,AE//BF,
　　C为BF的中点,
∴BC=CF.
　
∵AE=$\frac{1}{2}$BF,
∴AE=BC=CF,
　
∴四边形ABCE、四边形ACFE都是平行四边形，
　
∴DC=$\frac{1}{2}$AC,AC=EF,
∴DC=$\frac{1}{2}$EF.
　　　　　　　　　

12. 如图，在梯形$ABCD$中，$AD// BC$，$∠B=90^{\circ}$，$∠C=45^{\circ}$，$AD=1$，$BC=4$，$E$为$AB$的中点，$EF// DC$交$BC$于点$F$，求$EF$的长。

12.解:如答图，过点D作DG⊥BC于点G.
　
∵AD//BC,∠B=90°,
∴∠A=90°.
　　可得四边形ABGD为矩形，
　
∴BG=AD=1,AB=DG.
　
∵BC=4,
∴GC=3.
　
∵∠DGC=90°,∠C=45°,
∴∠CDG=45°,
　
∴DG=GC=3,
∴AB=3.
　　又
∵E为AB的中点,
∴BE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{3}{2}$.
　
∵EF//DC,
∴∠EFB=∠C=45°.
　
∴在△BEF中,∠B=90°，EF=$\sqrt{2}$BE=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$.