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11. 新考法 如图①是甲、乙两个圆柱形水槽，一个圆柱形的空玻璃杯放置在乙槽中(空玻璃杯的厚度忽略不计).将甲槽的水匀速注入乙槽的空玻璃杯中，甲槽内最高水位$y$(厘米)与注水时间$t$(分钟)之间的函数关系如图②线段$DE$所示，乙槽(包括空玻璃杯)内最高水位$y$(厘米)与注水时间$t$(分钟)之间的函数关系如图②折线$O-A-B-C$所示.记甲槽底面积为$S_1$，乙槽底面积为$S_2$.则：
(1)甲槽开始注水时的水位为
(2)$S_1:S_2=$
(3)$\dfrac{h}{b}=$
(1)甲槽开始注水时的水位为
10
厘米；(2)$S_1:S_2=$
4:5
；(3)$\dfrac{h}{b}=$
1
.答案
11. (1) 10 解析:由题图②可知, 甲槽开始注水时的水位为10 厘米。
(2) $4:5$ 解析:由题意可得, 甲槽最高水位是 10 厘米, 乙槽最高水位是 8 厘米, $\therefore 10S_1=8S_2,\therefore S_1:S_2=4:5$。
(3) 1 解析:由题图②可知, 乙槽的空玻璃杯的高度是h 厘米, 设 $y_{DE}=kx+a(x＞0)$, 代入 D, E 两点的坐标, 得$\begin{cases} a=10, \\ 8k+a=0, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=-\dfrac{5}{4}, \\ a=10. \end{cases}$ $\therefore y_{DE}=-\dfrac{5}{4}x+10$, 令 $x=b$, 则 $y=\dfrac{40-5b}{4},\therefore b$ 分钟, 甲槽水位下降 $\dfrac{5b}{4}$ 厘米, 甲槽向乙槽注入的水的体积为 $\dfrac{5b}{4}S_1$ 立方厘米, $\therefore hS_2=\dfrac{5b}{4}S_1.\because S_1:S_2=4:5,\therefore \dfrac{h}{b}=1$。
(2) $4:5$ 解析:由题意可得, 甲槽最高水位是 10 厘米, 乙槽最高水位是 8 厘米, $\therefore 10S_1=8S_2,\therefore S_1:S_2=4:5$。
(3) 1 解析:由题图②可知, 乙槽的空玻璃杯的高度是h 厘米, 设 $y_{DE}=kx+a(x＞0)$, 代入 D, E 两点的坐标, 得$\begin{cases} a=10, \\ 8k+a=0, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=-\dfrac{5}{4}, \\ a=10. \end{cases}$ $\therefore y_{DE}=-\dfrac{5}{4}x+10$, 令 $x=b$, 则 $y=\dfrac{40-5b}{4},\therefore b$ 分钟, 甲槽水位下降 $\dfrac{5b}{4}$ 厘米, 甲槽向乙槽注入的水的体积为 $\dfrac{5b}{4}S_1$ 立方厘米, $\therefore hS_2=\dfrac{5b}{4}S_1.\because S_1:S_2=4:5,\therefore \dfrac{h}{b}=1$。
12.(齐齐哈尔中考)在一条笔直的公路上依次有A,C,B三地,甲、乙两人同时出发,甲从A地骑自行车去B地,途经C地休息1分钟,继续按原速骑行至B地,甲到达B地后,立即按原路原速返回A地;乙步行从B地前往A地.甲、乙两人距A地的路程y(米)与时间x(分钟)之间的函数关系如图所示,请结合图象解答下列问题:
(1)请写出甲的骑行速度为
(2)求甲返回时距A地的路程y与时间x之间的函数表达式(不需要写出自变量的取值范围);
(3)请直接写出两人出发后,在甲回到A地之前,经过多长时间两人距C地的路程相等.
(1)请写出甲的骑行速度为
240
米/分,点M的坐标为$(6,1\ 200)$
;(2)求甲返回时距A地的路程y与时间x之间的函数表达式(不需要写出自变量的取值范围);
(3)请直接写出两人出发后,在甲回到A地之前,经过多长时间两人距C地的路程相等.
答案
12. (1) 240 $(6,1\ 200)$ 解析:由题意, 得甲的骑行速度为$\dfrac{1\ 020}{\dfrac{21}{4}-1}=240$(米/分), $240×(11-1)÷2=1\ 200$(米), 点 M 的横坐标为 $(1\ 200-1\ 020)÷240+\dfrac{21}{4}=6$, 则点 M 的坐标为$(6,1\ 200)$。
(2) 设直线 MN 的表达式为 $y=kx+b(k≠0).\because y=kx+b(k≠0)$ 的图象过点 $M(6,1\ 200),N(11,0)$,$\therefore \begin{cases} 6k+b=1\ 200, \\ 11k+b=0, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=-240, \\ b=2\ 640, \end{cases}$ $\therefore$ 直线 MN 的函数表达式为 $y=-240x+2\ 640$, 即甲返回时距 A 地的路程 y 与时间x 之间的函数表达式为 $y=-240x+2\ 640$。
(3) 4 分钟或 6 分钟或 8 分钟。 解析:设甲返回 A 地之前, 经过 x 分钟两人距 C 地的路程相等。 可得乙的速度为$1\ 200÷20=60$(米/分)。 $\because$ A, B 两地相距 1 200 米, A, C 两地相距 1 020 米, $\therefore$ B, C 两地相距 $=1\ 200-1\ 020=180$(米),$\therefore$ 乙出发 $180÷60=3$(分钟) 后到达 C 地, 分 5 种情况:①当 $0＜x≤ 3$ 时, 甲、乙在 C 地两侧, $1\ 020-240x=180-60x,x=\dfrac{14}{3}＞3$, 此种情况不符合题意; ②当 $3＜x＜\dfrac{21}{4}-1$ 时,甲、乙都在 A, C 两地之间, $\therefore 1\ 020-240x=60x-180$, 解得$x=4$, 符合题意; ③当 $\dfrac{21}{4}-1≤ x≤ \dfrac{21}{4}$ 时, 甲在 C 地不动, 乙在 A, C 两地之间, 不符合题意; ④当 $\dfrac{21}{4}＜x≤ 6$ 时, 甲在 B, C两地之间, 乙在 A, C 两地之间, $\therefore 240(x-1)-1\ 020=60x-180$, 解得 $x=6$, 符合题意; ⑤当 $x＞6$ 时, 甲在返回途中, 当甲在 B, C 两地之间时, $180-[240(x-1)-1\ 200]=60x-180$, 解得 $x=6$, 此种情况不符合题意, 当甲在 A, C 两地之间时, $240(x-1)-1\ 200-180=60x-180$, 解得 $x=8$, 符合题意。 综上所述, 在甲返回 A 地之前, 经过 4 分钟或 6 分钟或8 分钟时两人距 C 地的路程相等。
(2) 设直线 MN 的表达式为 $y=kx+b(k≠0).\because y=kx+b(k≠0)$ 的图象过点 $M(6,1\ 200),N(11,0)$,$\therefore \begin{cases} 6k+b=1\ 200, \\ 11k+b=0, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=-240, \\ b=2\ 640, \end{cases}$ $\therefore$ 直线 MN 的函数表达式为 $y=-240x+2\ 640$, 即甲返回时距 A 地的路程 y 与时间x 之间的函数表达式为 $y=-240x+2\ 640$。
(3) 4 分钟或 6 分钟或 8 分钟。 解析:设甲返回 A 地之前, 经过 x 分钟两人距 C 地的路程相等。 可得乙的速度为$1\ 200÷20=60$(米/分)。 $\because$ A, B 两地相距 1 200 米, A, C 两地相距 1 020 米, $\therefore$ B, C 两地相距 $=1\ 200-1\ 020=180$(米),$\therefore$ 乙出发 $180÷60=3$(分钟) 后到达 C 地, 分 5 种情况:①当 $0＜x≤ 3$ 时, 甲、乙在 C 地两侧, $1\ 020-240x=180-60x,x=\dfrac{14}{3}＞3$, 此种情况不符合题意; ②当 $3＜x＜\dfrac{21}{4}-1$ 时,甲、乙都在 A, C 两地之间, $\therefore 1\ 020-240x=60x-180$, 解得$x=4$, 符合题意; ③当 $\dfrac{21}{4}-1≤ x≤ \dfrac{21}{4}$ 时, 甲在 C 地不动, 乙在 A, C 两地之间, 不符合题意; ④当 $\dfrac{21}{4}＜x≤ 6$ 时, 甲在 B, C两地之间, 乙在 A, C 两地之间, $\therefore 240(x-1)-1\ 020=60x-180$, 解得 $x=6$, 符合题意; ⑤当 $x＞6$ 时, 甲在返回途中, 当甲在 B, C 两地之间时, $180-[240(x-1)-1\ 200]=60x-180$, 解得 $x=6$, 此种情况不符合题意, 当甲在 A, C 两地之间时, $240(x-1)-1\ 200-180=60x-180$, 解得 $x=8$, 符合题意。 综上所述, 在甲返回 A 地之前, 经过 4 分钟或 6 分钟或8 分钟时两人距 C 地的路程相等。
