三、解答题(本大题有7个小题,共52分)
17.(本题6分)计算:
(1)$\sqrt{2} × \sqrt{6}$;
(2)$-\sqrt{18} + \sqrt{25} × \sqrt{8}$。

(1)原式$=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$；
(2)原式$=-3\sqrt{2}+5×2\sqrt{2}=7\sqrt{2}$。

【分析】
本题考查二次根式的运算，解题思路是：（1）利用二次根式乘法法则$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab} (a≥0,b≥0)$计算，再将结果化简为最简二次根式；（2）先分别化简各项二次根式，再根据二次根式乘法法则计算乘法项，最后合并同类二次根式。
【解析】
(1) 根据二次根式乘法法则：
$\sqrt{2} × \sqrt{6} = \sqrt{2×6} = \sqrt{12} = \sqrt{4×3} = 2\sqrt{3}$；
(2) 先化简各二次根式，再计算乘法，最后合并同类二次根式：
$-\sqrt{18} + \sqrt{25} × \sqrt{8} = -\sqrt{9×2} + 5 × \sqrt{4×2} = -3\sqrt{2} + 5×2\sqrt{2} = -3\sqrt{2} + 10\sqrt{2} = 7\sqrt{2}$。
【答案】
(1)$2\sqrt{3}$；(2)$7\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式的乘法、二次根式的化简、同类二次根式的合并
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题，主要考查二次根式的乘法法则、化简方法及同类二次根式的合并，解题时需注意化简二次根式的准确性，避免计算错误。
【难度系数】
0.8

18.(本题6分)解方程：
(1)$3x^2 = x$；
(2)$2x^2 - 3x - 5 = 0$。

(1)移项,得$3x^2 - x=0$,则$x(3x-1)=0$,解得$x_1=0$，$x_2=\frac{1}{3}$；
(2)将方程左边分解因式,得$(2x-5)(x+1)=0$,解得$x_1=\frac{5}{2}$，$x_2=-1$。

【分析】
解一元二次方程时，优先选用因式分解法，将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，再依据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的性质，转化为一元一次方程求解。第(1)题先移项，提取公因式；第(2)题用十字相乘法分解二次三项式，进而求解。
【解析】
(1) 移项，得$3x^2 - x = 0$，提取公因式$x$，得$x(3x - 1) = 0$，则$x = 0$或$3x - 1 = 0$，解得$x_1 = 0$，$x_2 = \frac{1}{3}$；
(2) 对左边二次三项式十字相乘分解，得$(2x - 5)(x + 1) = 0$，则$2x - 5 = 0$或$x + 1 = 0$，解得$x_1 = \frac{5}{2}$，$x_2 = -1$。
【答案】
(1) $x_1 = 0$，$x_2 = \frac{1}{3}$；(2) $x_1 = \frac{5}{2}$，$x_2 = -1$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程，一元二次方程的解法
【点评】
本题是基础的一元二次方程求解题，核心考察因式分解法解一元二次方程的基本操作，步骤明确，属于巩固基础的典型题目。
【难度系数】
0.8

19.(本题6分)如图,已知四边形ABCD为平行四边形,过点A作$AE⊥BD$交BD于点E,过点C作$CF⊥BD$交BD于点F。
(1)求证:$AE=CF$;
(2)若$∠ABD=30°,AB=4,BC=6$,求EF的长。

(1)证明:因为$□ ABCD$,所以$AB=CD$ 且$AB// CD$,所以$∠ABE=∠CDF$。因为$AE⊥BD$,$CF⊥BD$,所以$∠AEB=∠CFD = 90°$, 所以 在$△ AEB$ 和 $△ CFD$ 中,
$\begin{cases}∠AEB=∠CFD,\\∠ABE=∠CDF,\\AB=DC,\end{cases}$所以$△ AEB ≌ △ CFD$（AAS）,所以$AE=CF$；
(2)在$\mathrm{Rt}△ ABE$中,因为$∠ABE=30°$,所以$AE=\frac{1}{2}AB=2$,所以$BE=\sqrt{AB^2-AE^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。由(1)可知$DF=BE=2\sqrt{3}$。在$\mathrm{Rt}△ ADE$中,$AD=BC=6$,$DE=\sqrt{AD^2-AE^2}=\sqrt{6^2-2^2}=4\sqrt{2}$,所以$EF=DE-DF=4\sqrt{2}-2\sqrt{3}$。

【分析】
(1) 要证明AE=CF，先利用平行四边形对边平行且相等的性质，得到AB=CD、AB//CD，进而推出内错角∠ABE=∠CDF；再结合AE⊥BD、CF⊥BD得到两个直角相等，通过AAS证明△AEB≌△CFD，即可得AE=CF。
(2) 求EF的长，先在Rt△ABE中，利用30°角的直角三角形性质和勾股定理算出BE；由(1)知DF=BE，再在Rt△ADE中，根据平行四边形对边相等得AD=BC=6，用勾股定理算出DE，最后通过EF=DE-DF计算结果。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，
∴∠ABE=∠CDF。
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°。
在△AEB和△CFD中，
$\{\begin{array}{l}∠AEB=∠CFD, \\∠ABE=∠CDF, \\AB=DC,\end{array} $
∴△AEB≌△CFD（AAS），
∴AE=CF。
(2) 解：在Rt△ABE中，∠ABE=30°，AB=4，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB=2，
由勾股定理得：BE=$\sqrt{AB^2 - AE^2}$=$\sqrt{4^2 - 2^2}$=2$\sqrt{3}$。
由(1)中△AEB≌△CFD，得DF=BE=2$\sqrt{3}$。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=6。
在Rt△ADE中，AE=2，AD=6，
由勾股定理得：DE=$\sqrt{AD^2 - AE^2}$=$\sqrt{6^2 - 2^2}$=4$\sqrt{2}$。
∴EF=DE - DF=4$\sqrt{2}$ - 2$\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 证明成立，AE=CF；
(2) EF的长为$4\sqrt{2}-2\sqrt{3}$。
【知识点】
平行四边形性质，全等三角形判定，直角三角形性质
【点评】
本题综合考查平行四边形、全等三角形、直角三角形的相关性质及勾股定理的应用，解题时需结合图形，利用平行四边形的对边关系推导角相等以证明全等，再结合直角三角形特殊性质和勾股定理计算线段长度，是一道中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5