训练 1. 在正方形 ABCD 中,点 P 为直线 AB 上一个动点,将线段 DP 绕点 D 顺时针旋转 90°得到线段 DQ,连接 PQ,过点 Q 作 QM⊥BD,垂足为点 M,交直线 AD 于点 N.
【观察发现】(1)如图 1,当点 P 在线段 AB 上时,线段 BD 与线段 QN 的数量关系为.
【类比推理】(2)如图 2,当点 P 在射线 AB 上时,请依据题意补全图形(无需尺规作图),并判断(1)中的结论是否变化? 若 4 不变,请证明;若变化,请说明理由.
【拓展延伸】(3)若 $BC=\frac{7\sqrt{2}}{2}$, $DM=3$,请直接写出 AP 的长.

解$:(1)BD=QN $　　
$(2)（1）$中的结论不变化；理由如下：　

∵$QN⊥DM，$　　
∴$∠QMD=90°，$　　
∵四边形$ABCD$是正方形，　　
∴$∠ADB=\frac{1}{2}∠ADC=\frac{1}{2}×90°=45°，$$∠A=90°，$　　
∴$∠QND=∠QMD+∠ADB，$　　
$∠DBP=∠A+∠ADB,$　　
∴$∠QND=∠DBP=90°+∠ADB，$　　
由旋转得：$DP=DQ，$$∠QDP=90°，$　　
∴$∠BDP=∠NQD=90°-∠QDB,$　　
∴　　$△DPB≌ △QDN(AAS)，$　　
∴$BD=QN$　　
$(3)AP=|t|=\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\frac{13\sqrt{2}}{2}。$$ $