5. 如图，在等腰三角形ABC中，AB = AC = 5，BM = CM = 3，MN⊥AC于点N，则MN的长为
12/5
。答案
12/5
解析
∵AB=AC=5，BM=CM=3，∴M为BC中点，BC=6。等腰△ABC中，AM为底边BC上的中线，故AM⊥BC。在Rt△AMC中，AC=5，MC=3，由勾股定理得AM=√(AC²-MC²)=√(25-9)=4。S△AMC=1/2·MC·AM=1/2·3·4=6。又S△AMC=1/2·AC·MN，即1/2·5·MN=6，解得MN=12/5。
6. 如图，在△ABC中，∠BAC = 90°，AB = AC，D是BC边的中点，点E在AB边上，连接DE，过点D作DF⊥DE，交AC于点F。求证：AE = CF。
答案
AE=CF
解析
连接AD。
∵∠BAC=90°，AB=AC，D是BC中点，
∴AD=CD，AD⊥BC，∠EAD=∠C=45°，∠ADC=90°。
∵DF⊥DE，∴∠EDF=90°，
∴∠ADE+∠ADF=∠CDF+∠ADF=90°，
∴∠ADE=∠CDF。
在△ADE和△CDF中，
∠EAD=∠C，AD=CD，∠ADE=∠CDF，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF。
∵∠BAC=90°，AB=AC，D是BC中点，
∴AD=CD，AD⊥BC，∠EAD=∠C=45°，∠ADC=90°。
∵DF⊥DE，∴∠EDF=90°，
∴∠ADE+∠ADF=∠CDF+∠ADF=90°，
∴∠ADE=∠CDF。
在△ADE和△CDF中，
∠EAD=∠C，AD=CD，∠ADE=∠CDF，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF。
7. 在△ABC中，BD是边AC上的中线，AB = 12，BC = 6，则BD的长可能为(
A.3
B.6
C.9
D.12
B
)A.3
B.6
C.9
D.12
答案
B
解析
延长BD至E，使DE=BD，连接AE。
∵BD是AC中线，∴AD=CD。
在△ADE和△CDB中，AD=CD，∠ADE=∠CDB，DE=BD，∴△ADE≌△CDB（SAS），∴AE=BC=6。
在△ABE中，AB=12，AE=6，由三角形三边关系得：AB-AE＜BE＜AB+AE，即12-6＜2BD＜12+6，∴3＜BD＜9。
选项中符合条件的是6。
∵BD是AC中线，∴AD=CD。
在△ADE和△CDB中，AD=CD，∠ADE=∠CDB，DE=BD，∴△ADE≌△CDB（SAS），∴AE=BC=6。
在△ABE中，AB=12，AE=6，由三角形三边关系得：AB-AE＜BE＜AB+AE，即12-6＜2BD＜12+6，∴3＜BD＜9。
选项中符合条件的是6。
8. 【一题多解】如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E是AD上一点，连接BE并延长，交AC于点F，AF = EF，求证：AC = BE。
答案
AC=BE
解析
过点C作CM//BE交AD延长线于点M。∵CM//BE，∴∠BED=∠M，∠EBD=∠MCD。∵D是BC中点，∴BD=CD。∴△BDE≌△CDM（AAS），∴BE=CM。∵AF=EF，∴∠FAE=∠FEA。∵∠FEA=∠BED（对顶角），∠BED=∠M，∴∠FAE=∠M，即∠CAM=∠M。∴AC=CM，∴AC=BE。
