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1. 甲、乙两人做某种机械零件，已知甲做240个零件与乙做280个零件所用的时间相等，两人每天共做130个零件.设甲每天做$x$个零件，下列方程正确的是（）.
A.$\frac{240}{x}=\frac{280}{130-x}$
B.$\frac{240}{130-x}=\frac{280}{x}$
C.$\frac{240}{x}+\frac{280}{x}=130$
D.$\frac{240}{x}-130=\frac{280}{x}$
A.$\frac{240}{x}=\frac{280}{130-x}$
B.$\frac{240}{130-x}=\frac{280}{x}$
C.$\frac{240}{x}+\frac{280}{x}=130$
D.$\frac{240}{x}-130=\frac{280}{x}$
答案
A
解析
【分析】
解题时先梳理题目中的已知量和等量关系：第一步，已知甲每天做$x$个零件，两人每天共做130个零件，可推出乙每天做$(130-x)$个零件；第二步，核心等量关系是“甲做240个零件的时间=乙做280个零件的时间”，结合工程问题中“工作时间=工作总量÷工作效率”的公式，分别表示出两人的工作时间后联立即可得到方程。
【解析】
解：设甲每天做$x$个零件，则乙每天做$(130-x)$个零件。
根据工作时间的计算公式：
甲做240个零件的时间为$\frac{240}{x}$，
乙做280个零件的时间为$\frac{280}{130-x}$，
由二者时间相等可列方程：
$\frac{240}{x}=\frac{280}{130-x}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的实际应用；工程问题等量关系
【点评】
本题是分式方程应用的基础题型，解题核心是找准时间相等的等量关系，准确表示两个主体的工作效率即可快速列出方程。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理题目中的已知量和等量关系：第一步，已知甲每天做$x$个零件，两人每天共做130个零件，可推出乙每天做$(130-x)$个零件；第二步，核心等量关系是“甲做240个零件的时间=乙做280个零件的时间”，结合工程问题中“工作时间=工作总量÷工作效率”的公式，分别表示出两人的工作时间后联立即可得到方程。
【解析】
解：设甲每天做$x$个零件，则乙每天做$(130-x)$个零件。
根据工作时间的计算公式：
甲做240个零件的时间为$\frac{240}{x}$，
乙做280个零件的时间为$\frac{280}{130-x}$，
由二者时间相等可列方程：
$\frac{240}{x}=\frac{280}{130-x}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的实际应用；工程问题等量关系
【点评】
本题是分式方程应用的基础题型，解题核心是找准时间相等的等量关系，准确表示两个主体的工作效率即可快速列出方程。
【难度系数】
0.8
2. 某工程队准备修建一条长 3 000 m 的盲道，由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加25%，结果提前2天完成了这一任务. 原计划每天修建盲道多少米？
答案
解：设原计划每天修建盲道$x$米，
则实际每天修建盲道的长度为$(1+25\%)x$米。
根据题意列方程得：
$\frac{3000}{x} - \frac{3000}{(1+25\%)x} = 2$
化简得：
$\frac{3000}{x} - \frac{2400}{x} = 2$
$\frac{600}{x}=2$
解得：$x=300$。
检验：当$x=300$时，原方程各分母均不为0，$x=300$是原分式方程的解，且符合实际意义。
答：原计划每天修建盲道300米。
则实际每天修建盲道的长度为$(1+25\%)x$米。
根据题意列方程得：
$\frac{3000}{x} - \frac{3000}{(1+25\%)x} = 2$
化简得：
$\frac{3000}{x} - \frac{2400}{x} = 2$
$\frac{600}{x}=2$
解得：$x=300$。
检验：当$x=300$时，原方程各分母均不为0，$x=300$是原分式方程的解，且符合实际意义。
答：原计划每天修建盲道300米。
解析
【分析】
这是工程类分式方程应用题，解题先明确工程问题基本关系：工作时间=工作总量÷工作效率。本题工作总量固定为3000m，已知实际工作效率比原计划高25%，且完成任务的时间差为2天，核心等量关系为：原计划总修建时间 - 实际总修建时间 = 2天。解题时先设原计划每天修建盲道x米，据此表示出实际每天修建的长度，再用工作总量分别除以两个效率得到两个时间，代入等量关系列分式方程，求解后需检验解是否为原方程的解、是否符合实际意义。
【解析】
解：设原计划每天修建盲道$x$米，
则实际每天修建盲道的长度为$(1+25\%)x$米。
根据题意列方程得：
$\frac{3000}{x} - \frac{3000}{(1+25\%)x} = 2$
化简得：
$\frac{3000}{x} - \frac{2400}{x} = 2$
$\frac{600}{x}=2$
解得：$x=300$。
检验：当$x=300$时，原方程各分母均不为0，$x=300$是原分式方程的解，且符合实际意义。
答：原计划每天修建盲道300米。
【答案】
原计划每天修建盲道300米。
【知识点】
分式方程的应用，工程问题公式，分式方程检验
【点评】
本题是分式方程实际应用的常规题型，解题关键是准确找到时间差的等量关系建立方程，需注意解分式方程后要做双重检验，既要验证解是原方程的根，也要符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
这是工程类分式方程应用题，解题先明确工程问题基本关系：工作时间=工作总量÷工作效率。本题工作总量固定为3000m，已知实际工作效率比原计划高25%，且完成任务的时间差为2天，核心等量关系为：原计划总修建时间 - 实际总修建时间 = 2天。解题时先设原计划每天修建盲道x米，据此表示出实际每天修建的长度，再用工作总量分别除以两个效率得到两个时间，代入等量关系列分式方程，求解后需检验解是否为原方程的解、是否符合实际意义。
【解析】
解：设原计划每天修建盲道$x$米，
则实际每天修建盲道的长度为$(1+25\%)x$米。
根据题意列方程得：
$\frac{3000}{x} - \frac{3000}{(1+25\%)x} = 2$
化简得：
$\frac{3000}{x} - \frac{2400}{x} = 2$
$\frac{600}{x}=2$
解得：$x=300$。
检验：当$x=300$时，原方程各分母均不为0，$x=300$是原分式方程的解，且符合实际意义。
答：原计划每天修建盲道300米。
【答案】
原计划每天修建盲道300米。
【知识点】
分式方程的应用，工程问题公式，分式方程检验
【点评】
本题是分式方程实际应用的常规题型，解题关键是准确找到时间差的等量关系建立方程，需注意解分式方程后要做双重检验，既要验证解是原方程的根，也要符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
3.青年志愿团队到某地开展志愿服务活动，他们从距离活动地点11 km的地方出发。一部分志愿者骑自行车先走，过了30 min后，其余的志愿者乘汽车出发，结果他们同时到达。已知乘汽车的志愿者的速度是骑自行车的志愿者的速度的2倍，设骑自行车的志愿者的速度为x km/h。根据题意，下列方程正确的是（）。
A.$\frac{11}{x}+\frac{1}{2}=\frac{11}{2x}$
B.$\frac{11}{x}-\frac{11}{2x}=\frac{1}{2}$
C.$\frac{11}{x}+30=\frac{11}{2x}$
D.$\frac{11}{x}-30=\frac{11}{2x}$
A.$\frac{11}{x}+\frac{1}{2}=\frac{11}{2x}$
B.$\frac{11}{x}-\frac{11}{2x}=\frac{1}{2}$
C.$\frac{11}{x}+30=\frac{11}{2x}$
D.$\frac{11}{x}-30=\frac{11}{2x}$
答案
B
解析
【分析】
这是一道行程类的分式方程应用题，解题可按以下步骤思考：首先回忆行程问题的核心公式：时间=路程÷速度；第二步要统一单位，题目中速度单位是km/h，给出的时间差是30min，需要换算成$\frac{1}{2}$h，先排除直接用30计算的错误选项；第三步找等量关系：骑自行车的志愿者比乘汽车的志愿者早出发30min且同时到达，说明骑自行车花费的时间比乘汽车多$\frac{1}{2}$h，据此列方程即可。
【解析】
首先进行单位换算：$30\ \mathrm{min}=\frac{30}{60}\ \mathrm{h}=\frac{1}{2}\ \mathrm{h}$。
已知骑自行车的速度为$x\ \mathrm{km/h}$，则乘汽车的速度为$2x\ \mathrm{km/h}$，两类志愿者的行驶路程均为11 km：
骑自行车所需时间为：$\frac{11}{x}\ \mathrm{h}$，
乘汽车所需时间为：$\frac{11}{2x}\ \mathrm{h}$。
由题意可知，骑自行车的时间比乘汽车的时间多$\frac{1}{2}\ \mathrm{h}$，因此列方程：
$\frac{11}{x} - \frac{11}{2x} = \frac{1}{2}$
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 分式方程的实际应用
2. 行程问题基本公式
3. 单位换算
【点评】
本题是分式方程应用的基础题型，解题的核心是准确抓住两类出行方式的时间差作为等量关系，特别要注意单位的统一，避免直接使用分钟计算出现单位不匹配的错误。
【难度系数】
0.7
这是一道行程类的分式方程应用题，解题可按以下步骤思考：首先回忆行程问题的核心公式：时间=路程÷速度；第二步要统一单位，题目中速度单位是km/h，给出的时间差是30min，需要换算成$\frac{1}{2}$h，先排除直接用30计算的错误选项；第三步找等量关系：骑自行车的志愿者比乘汽车的志愿者早出发30min且同时到达，说明骑自行车花费的时间比乘汽车多$\frac{1}{2}$h，据此列方程即可。
【解析】
首先进行单位换算：$30\ \mathrm{min}=\frac{30}{60}\ \mathrm{h}=\frac{1}{2}\ \mathrm{h}$。
已知骑自行车的速度为$x\ \mathrm{km/h}$，则乘汽车的速度为$2x\ \mathrm{km/h}$，两类志愿者的行驶路程均为11 km：
骑自行车所需时间为：$\frac{11}{x}\ \mathrm{h}$，
乘汽车所需时间为：$\frac{11}{2x}\ \mathrm{h}$。
由题意可知，骑自行车的时间比乘汽车的时间多$\frac{1}{2}\ \mathrm{h}$，因此列方程：
$\frac{11}{x} - \frac{11}{2x} = \frac{1}{2}$
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 分式方程的实际应用
2. 行程问题基本公式
3. 单位换算
【点评】
本题是分式方程应用的基础题型，解题的核心是准确抓住两类出行方式的时间差作为等量关系，特别要注意单位的统一，避免直接使用分钟计算出现单位不匹配的错误。
【难度系数】
0.7
4. 昆明市区与石林风景区相距约84 km，甲驾驶小轿车，乙乘坐旅游大巴，从昆明市区走同一路线去石林风景区，甲比乙晚出发30 min，最后两人同时到达石林风景区（中途停车的时间忽略不计），已知小轿车的速度是旅游大巴速度的1.5倍. 若设旅游大巴的速度为x km/h，则所列方程正确的是（）.
A.$\frac{84}{x}+\frac{84}{1.5x}=\frac{1}{2}$
B.$\frac{84}{x}-\frac{84}{1.5x}=\frac{1}{2}$
C.$\frac{84}{1.5x}-\frac{1}{2}=\frac{84}{x}$
D.$\frac{84}{1.5x}=\frac{84}{x}$
A.$\frac{84}{x}+\frac{84}{1.5x}=\frac{1}{2}$
B.$\frac{84}{x}-\frac{84}{1.5x}=\frac{1}{2}$
C.$\frac{84}{1.5x}-\frac{1}{2}=\frac{84}{x}$
D.$\frac{84}{1.5x}=\frac{84}{x}$
答案
B
解析
【分析】
这是一道行程类分式方程应用题，解题思路可按三步展开：第一步先明确行程问题核心公式：时间=路程÷速度；第二步梳理已知量：总路程均为84km，旅游大巴速度为x km/h，小轿车速度是大巴的1.5倍，即1.5x km/h，同时明确时间关系：甲（小轿车）比乙（旅游大巴）晚出发30min（即$\frac{1}{2}$h）且同时到达，说明大巴行驶总时间比小轿车多$\frac{1}{2}$h；第三步分别表示出两者的行驶时间，根据时间差的等量关系列方程即可。
【解析】
首先统一单位：$30\ \mathrm{min}=\frac{1}{2}\ \mathrm{h}$。
根据“时间=路程÷速度”可得：
旅游大巴行驶全程的时间为$\frac{84}{x}\ \mathrm{h}$，
小轿车行驶全程的时间为$\frac{84}{1.5x}\ \mathrm{h}$。
由“大巴行驶时间比小轿车多$\frac{1}{2}\ \mathrm{h}$”的等量关系，列方程得：
$\frac{84}{x}-\frac{84}{1.5x}=\frac{1}{2}$
因此正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
行程问题公式；分式方程实际应用；列方程解应用题
【点评】
本题是行程类方程应用的基础题型，解题核心是找准不同行驶对象的时间差等量关系，要注意时间单位的统一，避免因单位不匹配列错方程。
【难度系数】
0.7
这是一道行程类分式方程应用题，解题思路可按三步展开：第一步先明确行程问题核心公式：时间=路程÷速度；第二步梳理已知量：总路程均为84km，旅游大巴速度为x km/h，小轿车速度是大巴的1.5倍，即1.5x km/h，同时明确时间关系：甲（小轿车）比乙（旅游大巴）晚出发30min（即$\frac{1}{2}$h）且同时到达，说明大巴行驶总时间比小轿车多$\frac{1}{2}$h；第三步分别表示出两者的行驶时间，根据时间差的等量关系列方程即可。
【解析】
首先统一单位：$30\ \mathrm{min}=\frac{1}{2}\ \mathrm{h}$。
根据“时间=路程÷速度”可得：
旅游大巴行驶全程的时间为$\frac{84}{x}\ \mathrm{h}$，
小轿车行驶全程的时间为$\frac{84}{1.5x}\ \mathrm{h}$。
由“大巴行驶时间比小轿车多$\frac{1}{2}\ \mathrm{h}$”的等量关系，列方程得：
$\frac{84}{x}-\frac{84}{1.5x}=\frac{1}{2}$
因此正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
行程问题公式；分式方程实际应用；列方程解应用题
【点评】
本题是行程类方程应用的基础题型，解题核心是找准不同行驶对象的时间差等量关系，要注意时间单位的统一，避免因单位不匹配列错方程。
【难度系数】
0.7
5.我国古代著作《四元玉鉴》记载的“买椽多少”问题的大意为:现请人代买一批椽,这批椽的价钱为6 210 文.如果每株椽的运费是3文,那么少拿一株椽后,剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱.根据题意可列方程$3(x-1)=\frac{6210}{x}$,其中x表示().
A.剩余椽的数量
B.这批椽的数量
C.剩余椽的运费
D.每株椽的价钱
A.剩余椽的数量
B.这批椽的数量
C.剩余椽的运费
D.每株椽的价钱
答案
B
解析
【分析】
要判断方程中未知数x的意义，需结合题目给出的等量关系，分别分析方程左右两边代数式的实际含义，再对应推导x代表的量。首先明确题中等量关系：少拿一株椽后的总运费=1株椽的价钱。先分析左边代数式的构成：3是每株椽的运费，因此和3相乘的量应是运输的椽的数量；再分析右边代数式的构成：6210是这批椽的总价钱，总价钱除以x得到的是单株椽的价钱，结合等量关系即可推出x的意义。
【解析】
我们逐一分析方程中各部分的实际含义：
1. 左边$3(x-1)$：已知每株椽的运费是3文，因此$(x-1)$表示参与运输的椽的数量，也就是少拿1株后的椽的数量，由此可知$x$应为原本这批椽的总数量，$x-1$是剩余运输的椽的数量，左边整体表示少拿1株后的总运费。
2. 右边$\frac{6210}{x}$：已知这批椽总价钱为6210文，总价钱÷总数量=单株椽的价钱，符合题目中“剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”的等量关系。
结合选项判断：
A. 剩余椽的数量是$x-1$，不符合；
B. 这批椽的数量符合推导结果；
C. 剩余椽的运费是$3(x-1)$，不符合；
D. 每株椽的价钱是$\frac{6210}{x}$，不符合。
因此选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 分式方程的实际应用
2. 代数式的实际意义
【点评】
本题结合我国古代数学著作中的问题设置情境，考查对实际问题中分式方程各部分含义的理解，解题的核心是抓住题干给出的等量关系，对应分析方程左右两边的实际意义即可得出结论，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
要判断方程中未知数x的意义，需结合题目给出的等量关系，分别分析方程左右两边代数式的实际含义，再对应推导x代表的量。首先明确题中等量关系：少拿一株椽后的总运费=1株椽的价钱。先分析左边代数式的构成：3是每株椽的运费，因此和3相乘的量应是运输的椽的数量；再分析右边代数式的构成：6210是这批椽的总价钱，总价钱除以x得到的是单株椽的价钱，结合等量关系即可推出x的意义。
【解析】
我们逐一分析方程中各部分的实际含义：
1. 左边$3(x-1)$：已知每株椽的运费是3文，因此$(x-1)$表示参与运输的椽的数量，也就是少拿1株后的椽的数量，由此可知$x$应为原本这批椽的总数量，$x-1$是剩余运输的椽的数量，左边整体表示少拿1株后的总运费。
2. 右边$\frac{6210}{x}$：已知这批椽总价钱为6210文，总价钱÷总数量=单株椽的价钱，符合题目中“剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”的等量关系。
结合选项判断：
A. 剩余椽的数量是$x-1$，不符合；
B. 这批椽的数量符合推导结果；
C. 剩余椽的运费是$3(x-1)$，不符合；
D. 每株椽的价钱是$\frac{6210}{x}$，不符合。
因此选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 分式方程的实际应用
2. 代数式的实际意义
【点评】
本题结合我国古代数学著作中的问题设置情境，考查对实际问题中分式方程各部分含义的理解，解题的核心是抓住题干给出的等量关系，对应分析方程左右两边的实际意义即可得出结论，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
6.数学源于生活,寓于生活,用于生活.在人类历史发展和社会生活中,数学发挥着不可替代的作用.为了激发学生学习数学的兴趣,学校计划购进数学类甲种书和乙种书若干套.已知5 000元可购买甲种书的数量比购买乙种书的数量多60套,且乙种书的单价是甲种书单价的2.5倍.求每套乙种书的价格.
答案
解：设每套甲种书的价格为x元，则每套乙种书的价格为2.5x元。
根据题意，得
$\frac{5000}{x} - \frac{5000}{2.5x} = 60$
化简得：$\frac{5000}{x} - \frac{2000}{x} = 60$
即$\frac{3000}{x} = 60$
解得$x=50$
检验：当$x=50$时，$2.5x≠0$，且符合实际意义，所以$x=50$是原分式方程的解。
则每套乙种书的价格为$2.5×50=125$元。
答：每套乙种书的价格为125元。
根据题意，得
$\frac{5000}{x} - \frac{5000}{2.5x} = 60$
化简得：$\frac{5000}{x} - \frac{2000}{x} = 60$
即$\frac{3000}{x} = 60$
解得$x=50$
检验：当$x=50$时，$2.5x≠0$，且符合实际意义，所以$x=50$是原分式方程的解。
则每套乙种书的价格为$2.5×50=125$元。
答：每套乙种书的价格为125元。
解析
【分析】
这是一道分式方程的实际应用问题，解题时首先梳理题目中的等量关系：①乙种书单价=2.5×甲种书单价；②5000元购买甲种书的数量 - 5000元购买乙种书的数量=60套。我们可以先设甲种书的单价为x元，用含x的式子表示出乙种书的单价，再根据“数量=总价÷单价”分别表示出两种书的购买数量，结合第二个等量关系列出分式方程，求解后先检验解是否符合分式方程要求和实际意义，最后计算乙种书的单价即可。
【解析】
解：设每套甲种书的价格为x元，则每套乙种书的价格为2.5x元。
根据题意，得
$\frac{5000}{x} - \frac{5000}{2.5x} = 60$
化简得：$\frac{5000}{x} - \frac{2000}{x} = 60$
即$\frac{3000}{x} = 60$
解得$x=50$
检验：当$x=50$时，$2.5x≠0$，且符合实际意义，所以$x=50$是原分式方程的解。
则每套乙种书的价格为$2.5×50=125$元。
答：每套乙种书的价格为125元。
【答案】
每套乙种书的价格为125元
【知识点】
分式方程的应用、分式方程求解、实际问题检验
【点评】
本题属于分式方程实际应用的基础题型，解题核心是找准总价、单价、数量三者的等量关系列方程，需特别注意分式方程求解后要检验解是否符合实际意义，能有效锻炼学生用方程思想解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
这是一道分式方程的实际应用问题，解题时首先梳理题目中的等量关系：①乙种书单价=2.5×甲种书单价；②5000元购买甲种书的数量 - 5000元购买乙种书的数量=60套。我们可以先设甲种书的单价为x元，用含x的式子表示出乙种书的单价，再根据“数量=总价÷单价”分别表示出两种书的购买数量，结合第二个等量关系列出分式方程，求解后先检验解是否符合分式方程要求和实际意义，最后计算乙种书的单价即可。
【解析】
解：设每套甲种书的价格为x元，则每套乙种书的价格为2.5x元。
根据题意，得
$\frac{5000}{x} - \frac{5000}{2.5x} = 60$
化简得：$\frac{5000}{x} - \frac{2000}{x} = 60$
即$\frac{3000}{x} = 60$
解得$x=50$
检验：当$x=50$时，$2.5x≠0$，且符合实际意义，所以$x=50$是原分式方程的解。
则每套乙种书的价格为$2.5×50=125$元。
答：每套乙种书的价格为125元。
【答案】
每套乙种书的价格为125元
【知识点】
分式方程的应用、分式方程求解、实际问题检验
【点评】
本题属于分式方程实际应用的基础题型，解题核心是找准总价、单价、数量三者的等量关系列方程，需特别注意分式方程求解后要检验解是否符合实际意义，能有效锻炼学生用方程思想解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
