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8.(易错题)对于分式$\frac{1-m^2}{1-m}$的值，下列说法中一定正确的是().
A.不可能为0
B.比1大
C.可能为2
D.比$m$大
A.不可能为0
B.比1大
C.可能为2
D.比$m$大
答案
D
解析
【分析】
解题时首先要明确分式有意义的前提是分母不为0，先确定m的取值范围为m≠1；再利用平方差公式分解分子，对分式进行约分得到化简结果；最后逐一验证每个选项的正确性，判断时不要忽略m≠1的限制条件。
【解析】
要使分式$\frac{1-m^2}{1-m}$有意义，则分母$1-m≠0$，即$m≠1$。
利用平方差公式分解分子：$1-m^2=(1-m)(1+m)$，因此对分式约分可得：
$\frac{1-m^2}{1-m}=\frac{(1-m)(1+m)}{1-m}=1+m$（$m≠1$）。
接下来逐一分析选项：
A. 当$1+m=0$即$m=-1$时，分式的值为0，此时$m≠1$，分式有意义，故A错误；
B. 当$m=-2$时，分式的值为$1+(-2)=-1＜1$，故B错误；
C. 令$1+m=2$，解得$m=1$，但$m=1$时分式无意义，因此分式的值不可能为2，故C错误；
D. 用分式的化简结果减去$m$：$(1+m)-m=1＞0$，因此$1+m＞m$，即分式的值一定比$m$大，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
分式有意义的条件；平方差公式；分式的约分
【点评】
本题是易错题，易错点在于忽略分式有意义的限制条件$m≠1$，误判选项C正确。解题时要牢记：讨论分式的值的前提是分式有意义，约分的前提是所约的整式不为0，要熟练掌握分式的基本性质和整式运算的相关公式。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确分式有意义的前提是分母不为0，先确定m的取值范围为m≠1；再利用平方差公式分解分子，对分式进行约分得到化简结果；最后逐一验证每个选项的正确性，判断时不要忽略m≠1的限制条件。
【解析】
要使分式$\frac{1-m^2}{1-m}$有意义，则分母$1-m≠0$，即$m≠1$。
利用平方差公式分解分子：$1-m^2=(1-m)(1+m)$，因此对分式约分可得：
$\frac{1-m^2}{1-m}=\frac{(1-m)(1+m)}{1-m}=1+m$（$m≠1$）。
接下来逐一分析选项：
A. 当$1+m=0$即$m=-1$时，分式的值为0，此时$m≠1$，分式有意义，故A错误；
B. 当$m=-2$时，分式的值为$1+(-2)=-1＜1$，故B错误；
C. 令$1+m=2$，解得$m=1$，但$m=1$时分式无意义，因此分式的值不可能为2，故C错误；
D. 用分式的化简结果减去$m$：$(1+m)-m=1＞0$，因此$1+m＞m$，即分式的值一定比$m$大，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
分式有意义的条件；平方差公式；分式的约分
【点评】
本题是易错题，易错点在于忽略分式有意义的限制条件$m≠1$，误判选项C正确。解题时要牢记：讨论分式的值的前提是分式有意义，约分的前提是所约的整式不为0，要熟练掌握分式的基本性质和整式运算的相关公式。
【难度系数】
0.6
9. 若将分式$\frac{3x^2}{x^2 - y^2}$与分式$\frac{x}{2(x - y)}$通分后，分式$\frac{x}{2(x - y)}$的分母变为$2(x - y)(x + y)$，则分式$\frac{3x^2}{x^2 - y^2}$的分子应变为（）。
A.$6x^2$
B.$x(x + y)$
C.$x^2$
D.$3x^2(x + y)$
A.$6x^2$
B.$x(x + y)$
C.$x^2$
D.$3x^2(x + y)$
答案
A
解析
【分析】
要解决本题，首先回忆通分的依据是分式的基本性质，即分式的分子和分母同时乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。解题步骤如下：第一步先对第一个分式的分母因式分解，确定通分的最简公分母；第二步对比原分母和公分母，找出分母乘的因式；第三步分子同步乘相同因式即可得到结果。
【解析】
1. 首先对分式$\frac{3x^2}{x^2 - y^2}$的分母因式分解，由平方差公式得：$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$。
2. 由题意可知，两个分式通分后的最简公分母为$2(x-y)(x+y)$。
3. 观察原分式$\frac{3x^2}{x^2 - y^2}$的分母$(x+y)(x-y)$，要变为公分母$2(x-y)(x+y)$，需要给分母乘2。
4. 根据分式的基本性质，分子也要同步乘2，才能保证分式的值不变，因此新的分子为$3x^2 × 2 = 6x^2$。
【答案】
A
【知识点】
分式的基本性质；平方差公式因式分解；分式通分
【点评】
本题是通分相关的基础题，解题的关键是抓住通分的核心依据：分式的基本性质，注意通分时分子和分母必须乘同一个不为0的整式，避免出现只乘分母不乘分子的错误。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先回忆通分的依据是分式的基本性质，即分式的分子和分母同时乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。解题步骤如下：第一步先对第一个分式的分母因式分解，确定通分的最简公分母；第二步对比原分母和公分母，找出分母乘的因式；第三步分子同步乘相同因式即可得到结果。
【解析】
1. 首先对分式$\frac{3x^2}{x^2 - y^2}$的分母因式分解，由平方差公式得：$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$。
2. 由题意可知，两个分式通分后的最简公分母为$2(x-y)(x+y)$。
3. 观察原分式$\frac{3x^2}{x^2 - y^2}$的分母$(x+y)(x-y)$，要变为公分母$2(x-y)(x+y)$，需要给分母乘2。
4. 根据分式的基本性质，分子也要同步乘2，才能保证分式的值不变，因此新的分子为$3x^2 × 2 = 6x^2$。
【答案】
A
【知识点】
分式的基本性质；平方差公式因式分解；分式通分
【点评】
本题是通分相关的基础题，解题的关键是抓住通分的核心依据：分式的基本性质，注意通分时分子和分母必须乘同一个不为0的整式，避免出现只乘分母不乘分子的错误。
【难度系数】
0.8
10. 先约分,再求值:$\frac{a^3 - 4ab^2}{a^3 - 4a^2b + 4ab^2}$,其中$a=2$, $b=-\frac{1}{2}$.
答案
解：
先对分子分母分别因式分解：
分子：$a^3 - 4ab^2 = a(a^2 - 4b^2) = a(a+2b)(a-2b)$
分母：$a^3 - 4a^2b + 4ab^2 = a(a^2 - 4ab + 4b^2) = a(a-2b)^2$
约分，得：
原式$=\frac{a(a+2b)(a-2b)}{a(a-2b)^2} = \frac{a+2b}{a-2b}$
将$a=2$，$b=-\frac{1}{2}$代入：
原式$=\frac{2 + 2×(-\frac{1}{2})}{2 - 2×(-\frac{1}{2})} = \frac{2-1}{2+1} = \frac{1}{3}$
先对分子分母分别因式分解：
分子：$a^3 - 4ab^2 = a(a^2 - 4b^2) = a(a+2b)(a-2b)$
分母：$a^3 - 4a^2b + 4ab^2 = a(a^2 - 4ab + 4b^2) = a(a-2b)^2$
约分，得：
原式$=\frac{a(a+2b)(a-2b)}{a(a-2b)^2} = \frac{a+2b}{a-2b}$
将$a=2$，$b=-\frac{1}{2}$代入：
原式$=\frac{2 + 2×(-\frac{1}{2})}{2 - 2×(-\frac{1}{2})} = \frac{2-1}{2+1} = \frac{1}{3}$
解析
【分析】
解决这类先约分再求值的问题，核心思路是先通过因式分解把分式的分子、分母转化为乘积形式，再依据分式的基本性质约去公因式得到最简分式，最后代入数值计算，能避免直接代入带来的复杂运算。思考步骤如下：第一步处理分子：先提取公因式$a$，剩余部分符合平方差公式特征，可用平方差公式分解；第二步处理分母：同样先提取公因式$a$，剩余部分符合完全平方公式特征，可用完全平方公式分解；第三步约去分子分母的公因式得到最简分式，注意约分时要确保公因式不为0，本题中$a=2≠0$，$a-2b=3≠0$，可正常约分；最后代入$a$、$b$的数值计算结果即可。
【解析】
解：先对分子、分母分别因式分解：
分子：$a^3 - 4ab^2 = a(a^2 - 4b^2) = a(a+2b)(a-2b)$
分母：$a^3 - 4a^2b + 4ab^2 = a(a^2 - 4ab + 4b^2) = a(a-2b)^2$
根据分式的基本性质约分，得：
原式$=\frac{a(a+2b)(a-2b)}{a(a-2b)^2} = \frac{a+2b}{a-2b}$
将$a=2$，$b=-\frac{1}{2}$代入化简后的式子：
原式$=\frac{2 + 2×(-\frac{1}{2})}{2 - 2×(-\frac{1}{2})} = \frac{2-1}{2+1} = \frac{1}{3}$
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
因式分解；分式约分；分式化简求值
【点评】
本题考查因式分解与分式约分的综合应用，先化简再求值是分式求值类问题的常用技巧，能有效降低计算量、减少计算错误。解题时需熟练掌握提公因式法、公式法分解因式，约分要彻底，同时要注意只有公因式不为0时才能约分。
【难度系数】
0.7
解决这类先约分再求值的问题，核心思路是先通过因式分解把分式的分子、分母转化为乘积形式，再依据分式的基本性质约去公因式得到最简分式，最后代入数值计算，能避免直接代入带来的复杂运算。思考步骤如下：第一步处理分子：先提取公因式$a$，剩余部分符合平方差公式特征，可用平方差公式分解；第二步处理分母：同样先提取公因式$a$，剩余部分符合完全平方公式特征，可用完全平方公式分解；第三步约去分子分母的公因式得到最简分式，注意约分时要确保公因式不为0，本题中$a=2≠0$，$a-2b=3≠0$，可正常约分；最后代入$a$、$b$的数值计算结果即可。
【解析】
解：先对分子、分母分别因式分解：
分子：$a^3 - 4ab^2 = a(a^2 - 4b^2) = a(a+2b)(a-2b)$
分母：$a^3 - 4a^2b + 4ab^2 = a(a^2 - 4ab + 4b^2) = a(a-2b)^2$
根据分式的基本性质约分，得：
原式$=\frac{a(a+2b)(a-2b)}{a(a-2b)^2} = \frac{a+2b}{a-2b}$
将$a=2$，$b=-\frac{1}{2}$代入化简后的式子：
原式$=\frac{2 + 2×(-\frac{1}{2})}{2 - 2×(-\frac{1}{2})} = \frac{2-1}{2+1} = \frac{1}{3}$
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
因式分解；分式约分；分式化简求值
【点评】
本题考查因式分解与分式约分的综合应用，先化简再求值是分式求值类问题的常用技巧，能有效降低计算量、减少计算错误。解题时需熟练掌握提公因式法、公式法分解因式，约分要彻底，同时要注意只有公因式不为0时才能约分。
【难度系数】
0.7
11. 已知$a＞3$，代数式$A=2a^2 -8$，$B=3a^2 +6a$，$C=a^3 -4a^2 +4a$. 在$A,B,C$中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式.
答案
解：选取A为分子，B为分母，组成分式$\frac{A}{B}$。
对分子、分母分别因式分解：
$A=2a^2-8=2(a^2-4)=2(a+2)(a-2)$
$B=3a^2+6a=3a(a+2)$
因为$a＞3$，所以$a+2≠0$，约去公因式$a+2$：
$\frac{A}{B}=\frac{2(a+2)(a-2)}{3a(a+2)}=\frac{2(a-2)}{3a}=\frac{2a-4}{3a}$
（注：选取其他组合化简也可，例如选A为分子、C为分母，化简结果为$\frac{2(a+2)}{a(a-2)}$等，均符合要求）
对分子、分母分别因式分解：
$A=2a^2-8=2(a^2-4)=2(a+2)(a-2)$
$B=3a^2+6a=3a(a+2)$
因为$a＞3$，所以$a+2≠0$，约去公因式$a+2$：
$\frac{A}{B}=\frac{2(a+2)(a-2)}{3a(a+2)}=\frac{2(a-2)}{3a}=\frac{2a-4}{3a}$
（注：选取其他组合化简也可，例如选A为分子、C为分母，化简结果为$\frac{2(a+2)}{a(a-2)}$等，均符合要求）
解析
【分析】
这是一道开放性题目，解题思路分三步：第一步从A、B、C三个代数式中任选两个，分别作为分子、分母构造分式；第二步对分子、分母分别做因式分解，先提取公因式，再结合公式法完成彻底分解；第三步结合题目给出的$a＞3$的条件，判断分子分母的公因式不为0，再约去公因式完成化简，注意约分的前提是公因式不能为0。
【解析】
示例：选取A为分子，B为分母，组成分式$\frac{A}{B}$。
1. 分别对分子、分母因式分解：
分子：$A=2a^2-8=2(a^2-4)=2(a+2)(a-2)$
分母：$B=3a^2+6a=3a(a+2)$
2. 公因式判断：已知$a＞3$，因此$a+2≠0$，可以约去公因式$a+2$。
3. 约分化简：
$\frac{A}{B}=\frac{2(a+2)(a-2)}{3a(a+2)}=\frac{2(a-2)}{3a}=\frac{2a-4}{3a}$
（选取其他组合化简也可，例如选A为分子、C为分母，化简结果为$\frac{2(a+2)}{a(a-2)}$，均符合要求）
【答案】
示例：$\frac{2a-4}{3a}$（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
分式的定义、因式分解、分式约分
【点评】
本题属于基础开放类习题，重点考查因式分解的方法和分式约分的规则，解题时需注意结合给定的参数范围确认公因式不为0，保证约分符合运算规则。
【难度系数】
0.7
这是一道开放性题目，解题思路分三步：第一步从A、B、C三个代数式中任选两个，分别作为分子、分母构造分式；第二步对分子、分母分别做因式分解，先提取公因式，再结合公式法完成彻底分解；第三步结合题目给出的$a＞3$的条件，判断分子分母的公因式不为0，再约去公因式完成化简，注意约分的前提是公因式不能为0。
【解析】
示例：选取A为分子，B为分母，组成分式$\frac{A}{B}$。
1. 分别对分子、分母因式分解：
分子：$A=2a^2-8=2(a^2-4)=2(a+2)(a-2)$
分母：$B=3a^2+6a=3a(a+2)$
2. 公因式判断：已知$a＞3$，因此$a+2≠0$，可以约去公因式$a+2$。
3. 约分化简：
$\frac{A}{B}=\frac{2(a+2)(a-2)}{3a(a+2)}=\frac{2(a-2)}{3a}=\frac{2a-4}{3a}$
（选取其他组合化简也可，例如选A为分子、C为分母，化简结果为$\frac{2(a+2)}{a(a-2)}$，均符合要求）
【答案】
示例：$\frac{2a-4}{3a}$（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
分式的定义、因式分解、分式约分
【点评】
本题属于基础开放类习题，重点考查因式分解的方法和分式约分的规则，解题时需注意结合给定的参数范围确认公因式不为0，保证约分符合运算规则。
【难度系数】
0.7
12.(运算能力)我们给出定义:若一个分式约分后是一个整式,则称这个分式为“巧分式”,约分后的整式称为这个分式的“巧整式”.例如:$\frac{4x^2 -8x}{x-2}=\frac{4x(x-2)}{x-2}=4x$,则称分式$\frac{4x^2 -8x}{x-2}$是“巧分式”,$4x$为它的“巧整式”.根据上述定义,解决下列问题.
(1)下列分式中是“巧分式”的有.(填序号)
①$\frac{(x-1)(2x-3)(x+2)}{(x-1)(x+2)}$;
②$\frac{2x+5}{x+3}$;
③$\frac{x^2 - y^2}{x+y}$.
(2)若分式$\frac{x^2 -4x +m}{x+3}$(m为常数)是一个“巧分式”,它的“巧整式”为$x-7$,求m的值.
(3)若分式$\frac{-2x^3 +2x}{A}$的“巧整式”为$1-x$.
①求整式A;
②$\frac{2x^3 +4x^2 +2x}{A}$是“巧分式”吗?
(1)下列分式中是“巧分式”的有.(填序号)
①$\frac{(x-1)(2x-3)(x+2)}{(x-1)(x+2)}$;
②$\frac{2x+5}{x+3}$;
③$\frac{x^2 - y^2}{x+y}$.
(2)若分式$\frac{x^2 -4x +m}{x+3}$(m为常数)是一个“巧分式”,它的“巧整式”为$x-7$,求m的值.
(3)若分式$\frac{-2x^3 +2x}{A}$的“巧整式”为$1-x$.
①求整式A;
②$\frac{2x^3 +4x^2 +2x}{A}$是“巧分式”吗?
答案
①③
(2) 由“巧分式”定义可得：
$\frac{x^2-4x+m}{x+3}=x-7$
两边同乘$x+3$，得：
$x^2-4x+m=(x+3)(x-7)$
展开右侧：$(x+3)(x-7)=x^2-4x-21$
对比等式两边常数项，得$m=-21$。
(3) ① 由题意得：
$\frac{-2x^3+2x}{A}=1-x$
因此：
$A=\frac{-2x^3+2x}{1-x}$
对分子因式分解：$-2x^3+2x=2x(1-x)(x+1)$
代入得：
$A=\frac{2x(1-x)(x+1)}{1-x}=2x(x+1)=2x^2+2x$
② 对分子因式分解：
$2x^3+4x^2+2x=2x(x+1)^2$
将$A=2x^2+2x=2x(x+1)$代入分式：
$\frac{2x^3+4x^2+2x}{A}=\frac{2x(x+1)^2}{2x(x+1)}=x+1$
$x+1$是整式，因此$\frac{2x^3+4x^2+2x}{A}$是“巧分式”。
(2) 由“巧分式”定义可得：
$\frac{x^2-4x+m}{x+3}=x-7$
两边同乘$x+3$，得：
$x^2-4x+m=(x+3)(x-7)$
展开右侧：$(x+3)(x-7)=x^2-4x-21$
对比等式两边常数项，得$m=-21$。
(3) ① 由题意得：
$\frac{-2x^3+2x}{A}=1-x$
因此：
$A=\frac{-2x^3+2x}{1-x}$
对分子因式分解：$-2x^3+2x=2x(1-x)(x+1)$
代入得：
$A=\frac{2x(1-x)(x+1)}{1-x}=2x(x+1)=2x^2+2x$
② 对分子因式分解：
$2x^3+4x^2+2x=2x(x+1)^2$
将$A=2x^2+2x=2x(x+1)$代入分式：
$\frac{2x^3+4x^2+2x}{A}=\frac{2x(x+1)^2}{2x(x+1)}=x+1$
$x+1$是整式，因此$\frac{2x^3+4x^2+2x}{A}$是“巧分式”。
解析
【分析】
解题首先要准确理解“巧分式”的定义：约分后结果为整式的分式就是巧分式。
(1)判断时只需对每个分式约分，看结果是否为整式即可：①中分子分母的公因式$(x-1)(x+2)$可约去，结果为整式；②无法分解出与分母相同的因式，不能约分得到整式；③分子用平方差公式分解后可约去分母$(x+y)$，结果为整式。
(2)根据巧分式定义，分子等于分母乘巧整式，将等式两边同乘分母后展开右侧，对比系数即可求出m的值。
(3)①根据除法关系，整式A等于分子除以巧整式，先对分子因式分解，再约分化简即可得到A；②将A代入所求分式，对分子因式分解后约分，判断结果是否为整式即可判断是否为巧分式。
【解析】
(1) 对三个分式逐一判断：
①$\frac{(x-1)(2x-3)(x+2)}{(x-1)(x+2)}$，约去公因式$(x-1)(x+2)$（$x≠1且x≠-2$），结果为$2x-3$，是整式，属于巧分式；
②$\frac{2x+5}{x+3}$，分子$2x+5$无法分解出含$x+3$的因式，约分后仍为分式，不属于巧分式；
③$\frac{x^2 - y^2}{x+y}=\frac{(x+y)(x-y)}{x+y}$，约去公因式$x+y$（$x+y≠0$），结果为$x-y$，是整式，属于巧分式。
(2) 由“巧分式”定义可知：$\frac{x^2-4x+m}{x+3}=x-7$（$x≠-3$）
两边同乘$x+3$得：$x^2-4x+m=(x+3)(x-7)$
展开右侧：$(x+3)(x-7)=x^2-7x+3x-21=x^2-4x-21$
对比等式左右两边同类项系数，常数项对应相等，得$m=-21$。
(3) ① 由题意得$\frac{-2x^3+2x}{A}=1-x$，因此$A=\frac{-2x^3+2x}{1-x}$（$x≠1$）
对分子因式分解：
$-2x^3+2x=-2x(x^2-1)=-2x(x-1)(x+1)=2x(1-x)(x+1)$
代入A的表达式得：
$A=\frac{2x(1-x)(x+1)}{1-x}=2x(x+1)=2x^2+2x$
② 先对分子$2x^3+4x^2+2x$因式分解：
$2x^3+4x^2+2x=2x(x^2+2x+1)=2x(x+1)^2$
将$A=2x^2+2x=2x(x+1)$代入分式：
$\frac{2x^3+4x^2+2x}{A}=\frac{2x(x+1)^2}{2x(x+1)}$，约去公因式$2x(x+1)$（$x≠0且x≠-1$），结果为$x+1$，是整式。
【答案】
(1) $\boldsymbol{①③}$
(2) $\boldsymbol{m=-21}$
(3) ① $\boldsymbol{A=2x^2+2x}$（或$2x(x+1)$）；② $\boldsymbol{是}$“巧分式”
【知识点】
分式约分；因式分解；整式乘法
【点评】
本题为新定义类题型，核心是抓住“巧分式约分后为整式”的定义本质，结合分式约分、因式分解、整式乘除的基础运算知识即可求解，侧重对运算能力的考察，只要理解定义就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
解题首先要准确理解“巧分式”的定义：约分后结果为整式的分式就是巧分式。
(1)判断时只需对每个分式约分，看结果是否为整式即可：①中分子分母的公因式$(x-1)(x+2)$可约去，结果为整式；②无法分解出与分母相同的因式，不能约分得到整式；③分子用平方差公式分解后可约去分母$(x+y)$，结果为整式。
(2)根据巧分式定义，分子等于分母乘巧整式，将等式两边同乘分母后展开右侧，对比系数即可求出m的值。
(3)①根据除法关系，整式A等于分子除以巧整式，先对分子因式分解，再约分化简即可得到A；②将A代入所求分式，对分子因式分解后约分，判断结果是否为整式即可判断是否为巧分式。
【解析】
(1) 对三个分式逐一判断：
①$\frac{(x-1)(2x-3)(x+2)}{(x-1)(x+2)}$，约去公因式$(x-1)(x+2)$（$x≠1且x≠-2$），结果为$2x-3$，是整式，属于巧分式；
②$\frac{2x+5}{x+3}$，分子$2x+5$无法分解出含$x+3$的因式，约分后仍为分式，不属于巧分式；
③$\frac{x^2 - y^2}{x+y}=\frac{(x+y)(x-y)}{x+y}$，约去公因式$x+y$（$x+y≠0$），结果为$x-y$，是整式，属于巧分式。
(2) 由“巧分式”定义可知：$\frac{x^2-4x+m}{x+3}=x-7$（$x≠-3$）
两边同乘$x+3$得：$x^2-4x+m=(x+3)(x-7)$
展开右侧：$(x+3)(x-7)=x^2-7x+3x-21=x^2-4x-21$
对比等式左右两边同类项系数，常数项对应相等，得$m=-21$。
(3) ① 由题意得$\frac{-2x^3+2x}{A}=1-x$，因此$A=\frac{-2x^3+2x}{1-x}$（$x≠1$）
对分子因式分解：
$-2x^3+2x=-2x(x^2-1)=-2x(x-1)(x+1)=2x(1-x)(x+1)$
代入A的表达式得：
$A=\frac{2x(1-x)(x+1)}{1-x}=2x(x+1)=2x^2+2x$
② 先对分子$2x^3+4x^2+2x$因式分解：
$2x^3+4x^2+2x=2x(x^2+2x+1)=2x(x+1)^2$
将$A=2x^2+2x=2x(x+1)$代入分式：
$\frac{2x^3+4x^2+2x}{A}=\frac{2x(x+1)^2}{2x(x+1)}$，约去公因式$2x(x+1)$（$x≠0且x≠-1$），结果为$x+1$，是整式。
【答案】
(1) $\boldsymbol{①③}$
(2) $\boldsymbol{m=-21}$
(3) ① $\boldsymbol{A=2x^2+2x}$（或$2x(x+1)$）；② $\boldsymbol{是}$“巧分式”
【知识点】
分式约分；因式分解；整式乘法
【点评】
本题为新定义类题型，核心是抓住“巧分式约分后为整式”的定义本质，结合分式约分、因式分解、整式乘除的基础运算知识即可求解，侧重对运算能力的考察，只要理解定义就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
