登录
10. (★★)当$x=1$时，$ax^4+bx^2+2=-3$；当$x=-1$时，$ax^4+bx^2-2$的值为 【 】
A.3
B.-3
C.-5
D.-7
A.3
B.-3
C.-5
D.-7
答案
D
解析
【分析】
解题时首先观察到x=1和x=-1的偶次幂结果相等，因此无需单独求出a、b的具体值，可先将x=1代入已知代数式，求出a+b的整体值，再利用x=-1时偶次幂的性质，将待求代数式转化为含a+b的形式，最后整体代入计算即可得到结果。
【解析】
第一步：将$x=1$代入式子$ax^4+bx^2+2=-3$，得：
$a×1^4 + b×1^2 + 2 = -3$
化简得：$a + b + 2 = -3$，解得$a + b = -5$。
第二步：计算$x=-1$时$ax^4+bx^2-2$的值，先代入$x=-1$：
$ax^4+bx^2-2 = a×(-1)^4 + b×(-1)^2 - 2$
根据负数的偶次幂为正，可得$(-1)^4=1$、$(-1)^2=1$，因此式子化简为：
原式$=a + b - 2$
第三步：将$a + b = -5$整体代入上式，得：
$-5 - 2 = -7$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
代数式求值；整体代入思想；偶次幂的性质
【点评】
本题是代数式求值的典型题型，核心技巧是利用偶次幂的性质挖掘出两个代数式的公共整体项，通过整体代入法简化计算，避免了求解单个未知数的繁琐过程，考查学生对整体思想的运用能力。
【难度系数】
0.75
解题时首先观察到x=1和x=-1的偶次幂结果相等，因此无需单独求出a、b的具体值，可先将x=1代入已知代数式，求出a+b的整体值，再利用x=-1时偶次幂的性质，将待求代数式转化为含a+b的形式，最后整体代入计算即可得到结果。
【解析】
第一步：将$x=1$代入式子$ax^4+bx^2+2=-3$，得：
$a×1^4 + b×1^2 + 2 = -3$
化简得：$a + b + 2 = -3$，解得$a + b = -5$。
第二步：计算$x=-1$时$ax^4+bx^2-2$的值，先代入$x=-1$：
$ax^4+bx^2-2 = a×(-1)^4 + b×(-1)^2 - 2$
根据负数的偶次幂为正，可得$(-1)^4=1$、$(-1)^2=1$，因此式子化简为：
原式$=a + b - 2$
第三步：将$a + b = -5$整体代入上式，得：
$-5 - 2 = -7$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
代数式求值；整体代入思想；偶次幂的性质
【点评】
本题是代数式求值的典型题型，核心技巧是利用偶次幂的性质挖掘出两个代数式的公共整体项，通过整体代入法简化计算，避免了求解单个未知数的繁琐过程，考查学生对整体思想的运用能力。
【难度系数】
0.75
11.(★★)玲玲拿到一个密码盒,开盒密码规则如下:让任意有理数对$(a,b)$进入其中时,会得到一个新的有理数$a^2 - ab -1$.例如,把$(3,-5)$放入其中,就会得到$3^2 -3×(-5)-1=23$.现已设定密码为有理数对$(-12,5)$,进入其中后得到的开盒密码为.
答案
解：将$a=-12$，$b=5$代入代数式$a^2 - ab -1$，得
$\begin{aligned}&(-12)^2 - (-12)×5 -1\\=&144 + 60 -1\\=&203\end{aligned}$
最终开盒密码为$\boldsymbol{203}$。
$\begin{aligned}&(-12)^2 - (-12)×5 -1\\=&144 + 60 -1\\=&203\end{aligned}$
最终开盒密码为$\boldsymbol{203}$。
解析
【分析】
解题时首先要读懂题目给出的新运算规则：有理数对$(a,b)$对应的运算结果为$a^2 - ab -1$。已知密码对应的有理数对是$(-12,5)$，即$a=-12$，$b=5$，接下来只需将$a$、$b$的数值代入代数式，按照有理数混合运算的规则计算即可，计算过程中要重点注意负数的平方、含负号的乘法运算的符号处理，避免出错。
【解析】
将$a=-12$，$b=5$代入代数式$a^2 - ab -1$，得：
$\begin{aligned}&(-12)^2 - (-12)×5 -1\\=&144 + 60 -1\\=&203\end{aligned}$
【答案】
203
【知识点】
代数式求值；有理数混合运算
【点评】
本题是新定义运算类基础题，解题关键是准确理解新运算的规则，正确代入数值，计算时注意符号处理即可得分。
【难度系数】
0.85
解题时首先要读懂题目给出的新运算规则：有理数对$(a,b)$对应的运算结果为$a^2 - ab -1$。已知密码对应的有理数对是$(-12,5)$，即$a=-12$，$b=5$，接下来只需将$a$、$b$的数值代入代数式，按照有理数混合运算的规则计算即可，计算过程中要重点注意负数的平方、含负号的乘法运算的符号处理，避免出错。
【解析】
将$a=-12$，$b=5$代入代数式$a^2 - ab -1$，得：
$\begin{aligned}&(-12)^2 - (-12)×5 -1\\=&144 + 60 -1\\=&203\end{aligned}$
【答案】
203
【知识点】
代数式求值；有理数混合运算
【点评】
本题是新定义运算类基础题，解题关键是准确理解新运算的规则，正确代入数值，计算时注意符号处理即可得分。
【难度系数】
0.85
12. (★★★)如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为96，我们发现第1次输出的结果为48，第2次输出的结果为24，……，第2024次输出的结果为。
答案
$\boldsymbol{2}$
解析
【分析】
本题输入次数2024数值较大，无法逐一计算，因此先根据运算程序依次计算前若干次的输出结果，找到输出结果的循环规律，确定周期后，用总次数减去非循环部分的次数，再除以周期得到余数，即可对应得到第2024次的输出结果。
【解析】
根据运算程序，依次计算前几次输出结果：
第1次输出：$x=96$为偶数，$\frac{1}{2}×96=48$
第2次输出：$48$为偶数，$\frac{1}{2}×48=24$
第3次输出：$24$为偶数，$\frac{1}{2}×24=12$
第4次输出：$12$为偶数，$\frac{1}{2}×12=6$
第5次输出：$6$为偶数，$\frac{1}{2}×6=3$
第6次输出：$3$为奇数，$3+5=8$
第7次输出：$8$为偶数，$\frac{1}{2}×8=4$
第8次输出：$4$为偶数，$\frac{1}{2}×4=2$
第9次输出：$2$为偶数，$\frac{1}{2}×2=1$
第10次输出：$1$为奇数，$1+5=6$
观察可知，从第4次开始，输出结果以$\boldsymbol{6,3,8,4,2,1}$这6个数为一个周期循环。
总次数2024次，前3次不属于循环部分，因此参与循环的次数为：$2024-3=2021$
计算$2021÷6=336······5$，即余数为5，对应周期中第5个数为2。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
代数式求值，数字规律探究，周期问题
【点评】
本题结合运算程序考查规律探索能力，解题的核心是先通过计算前几次输出找到循环周期，再通过余数定位对应结果，计算时要注意区分非循环部分和循环部分，避免计数出错。
【难度系数】
0.6
本题输入次数2024数值较大，无法逐一计算，因此先根据运算程序依次计算前若干次的输出结果，找到输出结果的循环规律，确定周期后，用总次数减去非循环部分的次数，再除以周期得到余数，即可对应得到第2024次的输出结果。
【解析】
根据运算程序，依次计算前几次输出结果：
第1次输出：$x=96$为偶数，$\frac{1}{2}×96=48$
第2次输出：$48$为偶数，$\frac{1}{2}×48=24$
第3次输出：$24$为偶数，$\frac{1}{2}×24=12$
第4次输出：$12$为偶数，$\frac{1}{2}×12=6$
第5次输出：$6$为偶数，$\frac{1}{2}×6=3$
第6次输出：$3$为奇数，$3+5=8$
第7次输出：$8$为偶数，$\frac{1}{2}×8=4$
第8次输出：$4$为偶数，$\frac{1}{2}×4=2$
第9次输出：$2$为偶数，$\frac{1}{2}×2=1$
第10次输出：$1$为奇数，$1+5=6$
观察可知，从第4次开始，输出结果以$\boldsymbol{6,3,8,4,2,1}$这6个数为一个周期循环。
总次数2024次，前3次不属于循环部分，因此参与循环的次数为：$2024-3=2021$
计算$2021÷6=336······5$，即余数为5，对应周期中第5个数为2。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
代数式求值，数字规律探究，周期问题
【点评】
本题结合运算程序考查规律探索能力，解题的核心是先通过计算前几次输出找到循环周期，再通过余数定位对应结果，计算时要注意区分非循环部分和循环部分，避免计数出错。
【难度系数】
0.6
13. (★★★)已知代数式 $ ax^2 - x + 1 $，请按照下列要求分别求值：
(1)当 $ a=2, x=1 $ 时，求代数式的值；
(2)当 $ a=1, 5+x-x^2=3 $ 时，求代数式的值；
(3)当 $ x=2025 $ 时，代数式 $ ax^2 - x + 1 $ 的值是 $ m $，则当 $ x=-2025 $ 时，求 $ ax^2 - x + 1 $ 的值(结果用含 $ m $ 的式子表示)。
(1)当 $ a=2, x=1 $ 时，求代数式的值；
(2)当 $ a=1, 5+x-x^2=3 $ 时，求代数式的值；
(3)当 $ x=2025 $ 时，代数式 $ ax^2 - x + 1 $ 的值是 $ m $，则当 $ x=-2025 $ 时，求 $ ax^2 - x + 1 $ 的值(结果用含 $ m $ 的式子表示)。
答案
解：
(1) 当$a=2$，$x=1$时，
将值代入代数式：
$ax^2 - x + 1 = 2×1^2 - 1 + 1 = 2 - 1 + 1 = 2$。
(2) 当$a=1$时，代数式为$x^2 - x + 1$。
由$5 + x - x^2 = 3$，移项整理得：$x^2 - x = 2$，
因此$x^2 - x + 1 = 2 + 1 = 3$。
(3) 当$x=2025$时，代入代数式得：
$a·2025^2 - 2025 + 1 = m$，
整理得：$a·2025^2 = m + 2024$。
当$x=-2025$时，
$ax^2 - x + 1 = a·(-2025)^2 - (-2025) + 1$
$= a·2025^2 + 2025 + 1$
$= (m + 2024) + 2025 + 1$
$= m + 4050$。
(1) 当$a=2$，$x=1$时，
将值代入代数式：
$ax^2 - x + 1 = 2×1^2 - 1 + 1 = 2 - 1 + 1 = 2$。
(2) 当$a=1$时，代数式为$x^2 - x + 1$。
由$5 + x - x^2 = 3$，移项整理得：$x^2 - x = 2$，
因此$x^2 - x + 1 = 2 + 1 = 3$。
(3) 当$x=2025$时，代入代数式得：
$a·2025^2 - 2025 + 1 = m$，
整理得：$a·2025^2 = m + 2024$。
当$x=-2025$时，
$ax^2 - x + 1 = a·(-2025)^2 - (-2025) + 1$
$= a·2025^2 + 2025 + 1$
$= (m + 2024) + 2025 + 1$
$= m + 4050$。
解析
【分析】
(1) 第一问为直接代入求值问题，思路是直接将给定的a、x的取值代入代数式，按照先乘方、再乘除、后加减的运算顺序计算即可。
(2) 第二问先将a=1代入代数式得到含x的式子，观察已知等式和所求代数式的结构关联，无需计算x的具体值，只需对已知等式移项变形，得到所求代数式中含x部分的取值，用整体代入法计算即可，简化运算过程。
(3) 第三问先将x=2025代入代数式，整理得到用m表示$a·2025^2$的式子；再利用“互为相反数的两个数的偶次幂相等”的性质，将x=-2025代入代数式，把$a·(-2025)^2$替换为$a·2025^2$，再代入之前用m表示的式子化简，即可得到最终结果。
【解析】
(1) 当$a=2$，$x=1$时，将值代入代数式：
$ax^2 - x + 1 = 2×1^2 - 1 + 1 = 2 - 1 + 1 = 2$。
(2) 当$a=1$时，代数式化简为$x^2 - x + 1$。
由$5 + x - x^2 = 3$，移项整理得：$x^2 - x = 2$，
将$x^2 - x = 2$整体代入得：$x^2 - x + 1 = 2 + 1 = 3$。
(3) 当$x=2025$时，代入代数式得：
$a·2025^2 - 2025 + 1 = m$，
整理得：$a·2025^2 = m + 2024$。
当$x=-2025$时，代入代数式：
$ax^2 - x + 1 = a·(-2025)^2 - (-2025) + 1$
$= a·2025^2 + 2025 + 1$
将$a·2025^2 = m + 2024$代入上式：
原式$= (m + 2024) + 2025 + 1 = m + 4050$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；(2) $\boldsymbol{3}$；(3) $\boldsymbol{m+4050}$
【知识点】
代数式求值；整体代入法；偶次幂的性质
【点评】
本题是代数式求值的典型题型，难度逐层递进，既考查了基础的代入运算能力，也考查了整体思想、转化思想的运用，解题时要注意观察代数式的结构特征，灵活选择计算方法，避免不必要的复杂运算。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问为直接代入求值问题，思路是直接将给定的a、x的取值代入代数式，按照先乘方、再乘除、后加减的运算顺序计算即可。
(2) 第二问先将a=1代入代数式得到含x的式子，观察已知等式和所求代数式的结构关联，无需计算x的具体值，只需对已知等式移项变形，得到所求代数式中含x部分的取值，用整体代入法计算即可，简化运算过程。
(3) 第三问先将x=2025代入代数式，整理得到用m表示$a·2025^2$的式子；再利用“互为相反数的两个数的偶次幂相等”的性质，将x=-2025代入代数式，把$a·(-2025)^2$替换为$a·2025^2$，再代入之前用m表示的式子化简，即可得到最终结果。
【解析】
(1) 当$a=2$，$x=1$时，将值代入代数式：
$ax^2 - x + 1 = 2×1^2 - 1 + 1 = 2 - 1 + 1 = 2$。
(2) 当$a=1$时，代数式化简为$x^2 - x + 1$。
由$5 + x - x^2 = 3$，移项整理得：$x^2 - x = 2$，
将$x^2 - x = 2$整体代入得：$x^2 - x + 1 = 2 + 1 = 3$。
(3) 当$x=2025$时，代入代数式得：
$a·2025^2 - 2025 + 1 = m$，
整理得：$a·2025^2 = m + 2024$。
当$x=-2025$时，代入代数式：
$ax^2 - x + 1 = a·(-2025)^2 - (-2025) + 1$
$= a·2025^2 + 2025 + 1$
将$a·2025^2 = m + 2024$代入上式：
原式$= (m + 2024) + 2025 + 1 = m + 4050$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；(2) $\boldsymbol{3}$；(3) $\boldsymbol{m+4050}$
【知识点】
代数式求值；整体代入法；偶次幂的性质
【点评】
本题是代数式求值的典型题型，难度逐层递进，既考查了基础的代入运算能力，也考查了整体思想、转化思想的运用，解题时要注意观察代数式的结构特征，灵活选择计算方法，避免不必要的复杂运算。
【难度系数】
0.7
14. (★★★)学习了用字母表示数,我们发现表达有关的数和数量关系更加简洁明了,从而有助于我们发现更多有趣的结论,请按要求试一试!
(1)完善表格:
(2)根据表中计算结果,你发现了什么等式?
(3)利用(2)中发现的结论,计算$55^2 + 45^2 + 2×55×45$。
(1)完善表格:
(2)根据表中计算结果,你发现了什么等式?
(3)利用(2)中发现的结论,计算$55^2 + 45^2 + 2×55×45$。
答案
解：
(1) 完善表格结果如下：
第一行第一列空：$\boldsymbol{(a+b)^2}$
第二行第一列空：$\boldsymbol{1}$
第三行第一列空：$\boldsymbol{9}$，第三行第二列空：$\boldsymbol{9}$
第四行第一列空：$\boldsymbol{64}$，第四行第二列空：$\boldsymbol{64}$
(2) 得到等式：$\boldsymbol{(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2}$（或$a^2+b^2+2ab=(a+b)^2$）
(3) 计算：
$\begin{aligned}55^2 + 45^2 + 2×55×45&=(55+45)^2\\&=100^2\\&=10000\end{aligned}$
(1) 完善表格结果如下：
第一行第一列空：$\boldsymbol{(a+b)^2}$
第二行第一列空：$\boldsymbol{1}$
第三行第一列空：$\boldsymbol{9}$，第三行第二列空：$\boldsymbol{9}$
第四行第一列空：$\boldsymbol{64}$，第四行第二列空：$\boldsymbol{64}$
(2) 得到等式：$\boldsymbol{(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2}$（或$a^2+b^2+2ab=(a+b)^2$）
(3) 计算：
$\begin{aligned}55^2 + 45^2 + 2×55×45&=(55+45)^2\\&=100^2\\&=10000\end{aligned}$
解析
【分析】
首先解决表格完善问题：第一步根据文字描述列代数式，“a与b的和的平方”需先计算a与b的和，再对和取平方即可得到对应代数式；第二步将每组给定的a、b值分别代入两个代数式计算，就能填出剩余的表格空位。其次归纳等式：观察表格每行两个代数式的计算结果，发现数值完全相等，即可归纳得出对应等式。最后简便计算：直接套用归纳得到的等式，把原式转化为和的平方的形式，即可快速算出结果。
【解析】
(1) 完善表格：
①“a与b的和的平方”先求和再平方，对应代数式为$\boldsymbol{(a+b)^2}$；
②当$a=3,b=-2$时，代入$(a+b)^2$得：$(3-2)^2=1^2=1$；
③当$a=-4,b=1$时，代入$(a+b)^2$得：$(-4+1)^2=(-3)^2=9$；代入$a^2+b^2+2ab$得：$(-4)^2+1^2+2×(-4)×1=16+1-8=9$；
④当$a=-6,b=-2$时，代入$(a+b)^2$得：$(-6-2)^2=(-8)^2=64$；代入$a^2+b^2+2ab$得：$(-6)^2+(-2)^2+2×(-6)×(-2)=36+4+24=64$。
(2) 观察表格每行计算结果，两个代数式的值始终相等，因此得到等式：$\boldsymbol{(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2}$。
(3) 利用上述等式计算：
$\begin{aligned}55^2 + 45^2 + 2×55×45&=(55+45)^2\\&=100^2\\&=10000\end{aligned}$
【答案】
(1) 表格依次填写：$(a+b)^2$；$1$；$9$，$9$；$64$，$64$
(2) $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
(3) $10000$
【知识点】
列代数式，代数式求值，完全平方和公式
【点评】
本题从基础的代数式表示、代值计算出发，引导学生自主归纳出完全平方和公式，同时考查公式的简便应用，有助于培养学生从特殊到一般的归纳推理能力。
【难度系数】
0.8
首先解决表格完善问题：第一步根据文字描述列代数式，“a与b的和的平方”需先计算a与b的和，再对和取平方即可得到对应代数式；第二步将每组给定的a、b值分别代入两个代数式计算，就能填出剩余的表格空位。其次归纳等式：观察表格每行两个代数式的计算结果，发现数值完全相等，即可归纳得出对应等式。最后简便计算：直接套用归纳得到的等式，把原式转化为和的平方的形式，即可快速算出结果。
【解析】
(1) 完善表格：
①“a与b的和的平方”先求和再平方，对应代数式为$\boldsymbol{(a+b)^2}$；
②当$a=3,b=-2$时，代入$(a+b)^2$得：$(3-2)^2=1^2=1$；
③当$a=-4,b=1$时，代入$(a+b)^2$得：$(-4+1)^2=(-3)^2=9$；代入$a^2+b^2+2ab$得：$(-4)^2+1^2+2×(-4)×1=16+1-8=9$；
④当$a=-6,b=-2$时，代入$(a+b)^2$得：$(-6-2)^2=(-8)^2=64$；代入$a^2+b^2+2ab$得：$(-6)^2+(-2)^2+2×(-6)×(-2)=36+4+24=64$。
(2) 观察表格每行计算结果，两个代数式的值始终相等，因此得到等式：$\boldsymbol{(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2}$。
(3) 利用上述等式计算：
$\begin{aligned}55^2 + 45^2 + 2×55×45&=(55+45)^2\\&=100^2\\&=10000\end{aligned}$
【答案】
(1) 表格依次填写：$(a+b)^2$；$1$；$9$，$9$；$64$，$64$
(2) $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
(3) $10000$
【知识点】
列代数式，代数式求值，完全平方和公式
【点评】
本题从基础的代数式表示、代值计算出发，引导学生自主归纳出完全平方和公式，同时考查公式的简便应用，有助于培养学生从特殊到一般的归纳推理能力。
【难度系数】
0.8
