7. 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=120°$,在$△ ABC$所在的平面上是否存在点$M$,使$△ ABM$的面积等于$△ ABC$的面积,且$∠ AMB=60°$? 若存在,画出该点的位置;若不存在,请说明理由.

解: 存在. 如图，构造等边三角形$ABE，$作$\triangle ABE$的外接圆$\odot O，$过点$C$作$AB$的平行线交$\odot O$于点$M$和$M_1，$则$\angle AMB = \angle AM_1B=\angle AEB = 60^{\circ}.$ $\because M_1M// AB，$$\therefore S_{\triangle AMB}=S_{\triangle AM_1B}=S_{\triangle ABC}.$ 分别作点$M_1$、$M$关于$AB$的对称点$M_2$、$M_3，$则点$M_2$、$M_3$也满足要求. 故符合题意的点有$4$个，它们分别是点$M$、$M_1$、$M_2$、$M_3.$ ;

8. 在平面直角坐标系 $ xOy $ 中,已知 $ A(3,0) $、$ B(-1,0) $,$ C $ 是 $ y $ 轴上的一个动点,当 $ ∠ BCA = 45° $时,求点 $ C $ 的坐标.

解: 如图，先以$AB$为斜边作等腰直角三角形$PAB，$再以点$P$为圆心、$PA$的长为半径作$\odot P$交$y$轴于点$C，$作$PD\perp y$轴于点$D，$易得点$P(1,2)，$$PA = 2\sqrt{2}，$$\therefore PC = 2\sqrt{2}，$$PD = 1，$$OD = 2，$$\therefore CD=\sqrt{PC^{2}-PD^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{2})^{2}-1^{2}}=\sqrt{7}，$$\therefore OC = OD + CD = 2+\sqrt{7}，$$\therefore$点$C(0,2+\sqrt{7}).$ 同理可得点$C'(0,-2-\sqrt{7})$也满足条件. 综上所述，满足条件的点$C$的坐标为$(0,2+\sqrt{7})$或$(0,-2-\sqrt{7}).$ ;

9. 如图,在菱形ABCD中,P是边BC上的一个动点(点P和点C不重合),连接AP,AP的垂直平分线交BD于点G,交AP于点E.在点P从点B到点C的运动过程中,∠APG的大小变化情况是
( )
A. 变大
B. 先变大后变小
C. 先变小后变大
D. 不变

D

10. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,$AB=6$,$BC=8$,$O$为$AC$的中点,过点$O$作$OE⊥ OF$, $OE$、$OF$分别交射线$AB$、$BC$于点$E$、$F$,则$EF$的最小值为$\underline{\hspace{5em}}$.

5

11. 如图,在正方形ABCD中,AC、BD是对角线,P为对角线BD上的一点,连接AP,作PE⊥AP交BC于点E.若∠CAE=15°,求$\frac{PB}{PE}$的值.

$解:∵∠ABE=∠APE=90°,∴A、B、E、P四点在以AE为直径的圆上$$∴∠BPE=∠BAE=∠BAC−∠CAE=45°−15°=30°$$如图，过点E作EG⊥BP于点G,则可设BG=EG=a$$∴PE=2EG=2a,∴PG=\sqrt {3}a$$∴PB=PG+BG= (\sqrt{3}+1)a$$∴\frac{PB}{PE}=\frac{(\sqrt{3}+1)a}{2a}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$ ;