1. 在$△ ABC$中，$BC=x$，$BC$边上的高为$y$，$△ ABC$的面积为2.
(1)$y$关于$x$的函数解析式为________，$x$的取值范围是________.
(2)在平面直角坐标系中画出该函数的图象.
(3)直线$y=-x+3$向上平移$a(a＞0)$个单位长度后与上述函数图象有且只有一个公共点，请求出$a$的值.

1. (1) $y=\frac{4}{x}$，$x＞0$
(2) 函数图象如所示
(3) 直线$y=-x+3$向上平移$a(a＞0)$个单位长度后所对应的函数解析式为$y=-x+3+a$。
根据题意，联立得$\begin{cases}y=-x+3+a,\\y=\frac{4}{x}.\end{cases}$
整理，得$x^2-(3+a)x+4=0$。
∵平移后的直线与反比例函数图象有且只有一个公共点，
∴$\Delta=[-(3+a)]^2-4×1×4=0$。
解得$a_1=1$，$a_2=-7$(不合题意，舍去)。
∴$a$的值为1。

【分析】
(1) 首先根据三角形面积公式：面积=1/2×底×高，将已知的面积、底BC=x、对应高y代入公式，整理即可得到y关于x的函数解析式；再结合x是三角形的边长，长度为正，即可确定x的取值范围。
(2) 由(1)得到的是反比例函数，且自变量x＞0，因此只需在平面直角坐标系第一象限画出该反比例函数的分支即可。
(3) 先根据一次函数平移“上加下减”的规律，得到平移后的直线解析式；两个函数图象只有一个公共点，说明联立两个解析式得到的方程组只有一组解，消去y后得到的一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式Δ=0，代入计算后结合a＞0舍去不符合要求的解，即可得到a的值。
【解析】
(1) 由三角形面积公式可得：
$\frac{1}{2}xy=2$
整理得$xy=4$，即$y=\frac{4}{x}$。
因为x为三角形的边长，长度为正，因此x的取值范围是$x＞0$。
(2) 函数$y=\frac{4}{x}(x＞0)$为第一象限的反比例函数分支，图象如所示。
(3) 直线$y=-x+3$向上平移$a(a＞0)$个单位后，解析式为$y=-x+3+a$。
联立两个函数解析式：
$\begin{cases}y=-x+3+a\\y=\frac{4}{x}\end{cases}$
将$y=\frac{4}{x}$代入一次函数解析式，消去y得：
$\frac{4}{x}=-x+3+a$
两边同乘x（x≠0）整理得一元二次方程：
$x^2-(3+a)x+4=0$
∵平移后的直线与反比例函数图象有且只有一个公共点，
∴该一元二次方程有两个相等的实数根，即$\Delta=0$：
$\Delta=[-(3+a)]^2-4×1×4=0$
展开计算得$(3+a)^2=16$，
开方得$3+a=\pm4$，
解得$a_1=1$，$a_2=-7$。
∵$a＞0$，
∴$a_2=-7$不符合题意，舍去，即$a=1$。
【答案】
(1) $y=\frac{4}{x}$，$x＞0$
(2) 函数图象如所示
(3) $a$的值为1
【知识点】
反比例函数解析式，一次函数平移，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题综合考查了三角形面积计算、反比例函数、一次函数平移规律以及函数交点和方程根的对应关系，解题时需注意结合实际意义确定自变量的取值范围，求解参数后要验证是否符合题设条件，舍去无效解。
【难度系数】
0.7

2. 如图,在同一平面直角坐标系中,一次函数$y_1=kx+b(k≠0)$的图象与反比例函数$y_2=\frac{m}{x}(m≠0)$的图象相交于$A(3,5)$,$B(a,-3)$两点,与$x$轴相交于点$C$.
(1)求该反比例函数和一次函数的解析式.
(2)在$y$轴上找一点$P$,使$PB-PC$的值最大,求$PB-PC$的最大值及点$P$的坐标.
(3)直接写出当$y_1＞y_2$时$x$的取值范围.

2. (1) 把$(3,5)$代入$y_2=\frac{m}{x}$，得$5=\frac{m}{3}$。
解得$m=15$。
∴反比例函数的解析式为$y_2=\frac{15}{x}$。
把$(a,-3)$代入$y_2=\frac{15}{x}$，得$a=-5$。
∴$B(-5,-3)$。
把$(3,5),(-5,-3)$分别代入$y_1=kx+b$，得
$\begin{cases}3k+b=5,\\-5k+b=-3.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=1,\\b=2.\end{cases}$
∴一次函数的解析式为$y_1=x+2$。
(2) 由(1)知一次函数的解析式为$y_1=x+2$，令$x=0$，则$y_1=2$，即一次函数的图象与$y$轴的交点为点$(0,2)$。
借由三角形三边关系知$PB-PC≤BC$，当且仅当$P,B,C$三点共线时取等号，即当点$P$在点$(0,2)$处时，$PB-PC$的值最大，且为$BC$的长。
令$y_1=0$，则$x=-2$，即$C(-2,0)$。
∴$BC=\sqrt{(-5+2)^2+(-3)^2}=3\sqrt{2}$。
∴$PB-PC$的最大值为$3\sqrt{2}$，点$P$的坐标为$(0,2)$。
(3) 当$y_1＞y_2$时，$x$的取值范围是$-5＜x＜0$或$x＞3$。

【分析】
(1) 求函数解析式优先用待定系数法：反比例函数仅需一个已知点即可求出参数，因此先将A点坐标代入反比例函数表达式求出m，得到反比例函数解析式；再将B点纵坐标代入反比例解析式求出a，得到B点完整坐标；最后将A、B两点坐标代入一次函数，解二元一次方程组即可求出一次函数的参数k、b。
(2) 求PB-PC的最大值可结合三角形三边关系分析：三角形任意两边之差小于第三边，因此只有当P、B、C三点共线时，PB-PC=BC，此时差值达到最大，即P点为一次函数与y轴的交点；先求出一次函数与x轴的交点C的坐标，再用两点间距离公式计算BC的长度即可得到最大值，同时得到P点坐标。
(3) 求y₁＞y₂时x的取值范围可直接用数形结合思想：观察图象，找到一次函数图象位于反比例函数图象上方时对应的x的区间即可，注意反比例函数自变量x≠0，需分区间讨论。
【解析】
(1) 把$A(3,5)$代入$y_2=\frac{m}{x}$，得$5=\frac{m}{3}$，解得$m=15$。
∴反比例函数的解析式为$y_2=\frac{15}{x}$。
把$B(a,-3)$代入$y_2=\frac{15}{x}$，得$-3=\frac{15}{a}$，解得$a=-5$，即$B(-5,-3)$。
把$A(3,5)$、$B(-5,-3)$分别代入$y_1=kx+b$，得：
$\begin{cases}3k+b=5\\-5k+b=-3\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=1\\b=2\end{cases}$
∴一次函数的解析式为$y_1=x+2$。
(2) 对于一次函数$y_1=x+2$，令$x=0$，得$y_1=2$，即一次函数图象与y轴的交点为$(0,2)$。
根据三角形三边关系可得$PB-PC≤BC$，当且仅当$P、B、C$三点共线时等号成立，即P为一次函数与y轴交点时，$PB-PC$的值最大，最大值为BC的长度。
令$y_1=x+2=0$，解得$x=-2$，即$C(-2,0)$。
由两点间距离公式得：$BC=\sqrt{(-5+2)^2+(-3-0)^2}=\sqrt{9+9}=3\sqrt{2}$。
∴$PB-PC$的最大值为$3\sqrt{2}$，点P的坐标为$(0,2)$。
(3) 观察图象可得，一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的x的范围是$-5＜x＜0$或$x＞3$，即当$y_1＞y_2$时，$x$的取值范围是$-5＜x＜0$或$x＞3$。
【答案】
(1) 反比例函数解析式为$\boldsymbol{y_2=\frac{15}{x}}$，一次函数解析式为$\boldsymbol{y_1=x+2}$；
(2) $PB-PC$的最大值为$\boldsymbol{3\sqrt{2}}$，点P的坐标为$\boldsymbol{(0,2)}$；
(3) $x$的取值范围是$\boldsymbol{-5＜x＜0}$或$\boldsymbol{x＞3}$。
【知识点】
1. 待定系数法求函数解析式
2. 三角形三边关系应用
3. 数形结合比较函数值大小
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合常考题型，既考查了基础的解析式求解能力，也考查了最值问题的转化思路和数形结合思想的应用，解题时注意结合图象分析，避免遗漏自变量的取值限制。
【难度系数】
0.65