7 方程思想 [2026 杭州西湖期中]如图，AB是$\odot O$的直径，D是$\overset{\frown}{AC}$的中点，DC，AB的延长线相交于点P.若$∠ CAB=α$，$∠ P=β$，则$α$与$β$之间的数量关系为（）

A.$α=β$
B.$α+β=45°$
C.$2α+β=60°$
D.$3α+2β=90°$

7. D 解析:如图,连结OC,OD,OD交AC于点E. 因为D是$\overset{\frown}{AC}$的中点,所以OD垂直平分AC. 所以$∠AED=90°$,$AD=CD$. 因为$∠CAB = α$,$∠P = β$,所以$∠DAC = ∠DCA = ∠CAB+∠P = α+β$. 因为$OD=OA$,所以$∠ODA=∠OAD=∠CAB+∠DAC=α+α+β=2α+β$. 因为$∠DAC+∠ODA=90°$,所以$α+β+2α+β=90°$. 所以$3α+2β=90°$.

8 如图, 在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ ACB=90°$, $∠ A=56°$, 以 $BC$ 为直径的 $\odot O$ 交 $AB$ 于点 $D$, $E$ 是 $\odot O$ 上一点, 且 $\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{CD}$, 连结 $OE$, 过点 $E$ 作 $EF⊥ OE$, 交 $AC$ 的延长线于点 $F$, 则 $∠ F$ 的度数为 .

8. $112°$

9 如图,在四边形 ABCD 中,AD=BC,∠B=∠D,AD 不平行于 BC,过点 C 作 CE//AD,交⊙O(△ABC 的外接圆)于点 E,连结 AE.
(1) 求证:四边形 AECD 为平行四边形;
(2) 连结 CO,求证:CO 平分∠BCE.

9. (1) 因为$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AC}$,所以$∠ B = ∠ E$. 因为$∠ B = ∠ D$,所以$∠ E = ∠ D$. 因为$CE // AD$,所以$∠ D + ∠ ECD = 180°$. 所以$∠ E + ∠ ECD = 180°$. 所以$AE // CD$. 所以四边形 AECD 为平行四边形
(2) 连结 OE,OB.由(1),得四边形 AECD 为平行四边形,所以$AD = EC$. 因为$AD = BC$,所以$EC = BC$. 在$△COE$ 和$△COB$ 中,$\begin{cases} EC=BC, \\ CO=CO, \\ OE=OB, \end{cases}$所以$△COE≌△COB$. 所以$∠OCE = ∠OCB$. 所以 CO 平分$∠BCE$

10 如图，在$\odot O$中，P为$\overset{\frown}{AB}$的中点，弦AD，PC互相垂直，垂足为M，BC分别与AD，PD相交于点E，N，连结BD，MN。
（1）求证：N为BE的中点；
（2）若$\odot O$的半径为8，$\overset{\frown}{AB}$的度数为$90°$，求线段MN的长。

10. (1) 因为$AD⊥PC$,所以$∠EMC=90°$. 因为 P 为$\overset{\frown}{AB}$的中点,所以$\overset{\frown}{PA}=\overset{\frown}{PB}$. 所以$∠ADP = ∠BCP = ∠BDP$. 因为$∠CEM = ∠DEN$,所以$∠DNE = ∠DNB = ∠EMC = 90°$. 所以$DN⊥EB$. 因为$∠EDN = ∠BDN$,$DN = DN$,$∠DNE = ∠DNB$,所以$△DEN≌△DBN$. 所以$EN = BN$,即 N 为 BE 的中点
(2) 如图,连结 OA,OB,AB,AC. 因为$\overset{\frown}{AB}$的度数为$90°$,所以$∠AOB = 90°$. 因为 $OA = OB = 8$, 所以 $AB = \sqrt{OA^2+OB^2}=8\sqrt{2}$. 同(1),得$AM=EM$,即 M 为 AE 的中点. 又由(1),得 N 为 BE 的中点,所以 MN 是$△AEB$的中位线. 所以 $MN=\frac{1}{2}AB=4\sqrt{2}$.