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7. 一辆满载物资的总重为$G$的运输车，沿$ABCD$路线从$A$处运动到$D$处，$CD$段与$AB$段高度差为$h$，如图甲所示。在整个过程中，汽车以恒定速度$v$运动，在$t=0$时经过$A$处，$t_1$时经过$B$处，$t_2$时经过$C$处，汽车牵引力的功率$(P)$随时间$(t)$变化的关系可简化为图乙($G$、$h$、$v$、$P_1$、$P_2$、$t_1$和$t_2$均为已知量)。则：
(1)$AB$段长度为
(2)汽车在$AB$段和$BC$段运动时的牵引力$F_{AB}$
(3)汽车沿斜坡$BC$段运动时牵引力所做的功为
(1)$AB$段长度为
$vt_1$
(请用已知量表示)。(2)汽车在$AB$段和$BC$段运动时的牵引力$F_{AB}$
$＜$
(填“$＞$”“$=$”或“$＜$”)$F_{BC}$。(3)汽车沿斜坡$BC$段运动时牵引力所做的功为
$P_1(t_2-t_1)$
(请用已知量表示)，所受摩擦力为$\dfrac{P_1(t_2-t_1)-Gh}{v(t_2-t_1)}$
。(不计空气阻力)答案
7. (1) $vt_1$ (2) $＜$ (3) $P_1(t_2-t_1)$ $\dfrac{P_1(t_2-t_1)-Gh}{v(t_2-t_1)}$ 提示:(2) 因$P=\frac{W}{t}=\frac{Fs}{t}=Fv$,汽车做匀速运动,$v_1=v_2$,$P_2＜P_1$,故$F_{AB}＜F_{BC}$。(3) 汽车沿斜坡$BC$段运动时,运动时间为$t_2-t_1$,汽车牵引力所做的功$W_F=P_1(t_2-t_1)$。在$BC$段汽车上升时克服自重做功$W=Gh$,汽车克服摩擦力做功$W_f=fs=fv(t_2-t_1)$,由$W_F=W+W_f$得$P_1(t_2-t_1)=Gh+fv(t_2-t_1)$,得$f=\frac{P_1(t_2-t_1)-Gh}{v(t_2-t_1)}$。
解析
【分析】
首先，汽车在AB段做匀速直线运动，速度恒定为v，运动时间为t₁，利用匀速运动的路程公式可直接计算AB段长度；其次，汽车全程匀速运动，速度v不变，结合功率公式P=Fv，通过比较AB段和BC段的功率大小，就能判断两段的牵引力大小；最后，BC段的牵引力做功可由W=Pt计算，再根据功的关系（牵引力做功等于克服重力做功与克服摩擦力做功之和），推导得出BC段的摩擦力。
【解析】
(1) 汽车在AB段以恒定速度v运动，运动时间为t₁，根据匀速直线运动的路程公式s=vt，可得AB段长度：s_AB = v t₁；
(2) 因为汽车全程匀速运动，速度v保持不变，由功率公式P=Fv变形得F=P/v。AB段功率为P₂，BC段功率为P₁，且P₂＜P₁，因此F_AB = P₂/v，F_BC = P₁/v，故F_AB ＜ F_BC；
(3) 汽车在BC段的运动时间为t₂ - t₁，功率为P₁，根据W=Pt，牵引力做的功：W_F = P₁(t₂ - t₁)。BC段汽车上升高度差为h，克服重力做功W_G = Gh；BC段的路程s_BC = v(t₂ - t₁)，克服摩擦力做功W_f = f s_BC = f·v(t₂ - t₁)。根据功的关系W_F = W_G + W_f，代入得：P₁(t₂ - t₁) = Gh + f·v(t₂ - t₁)，整理后解得摩擦力：f = [P₁(t₂ - t₁) - Gh]/[v(t₂ - t₁)]。
【答案】
(1) vt₁；(2) ＜；(3) P₁(t₂-t₁)；$\dfrac{P_1(t_2-t_1)-Gh}{v(t_2-t_1)}$
【知识点】
功率计算、功的原理、匀速直线运动
【点评】
本题结合功率图像考查匀速运动的路程、牵引力、功和摩擦力的计算，核心是掌握P=Fv及功的关系，需理清各段运动的物理量关联，属于中等难度的力学综合题。
【难度系数】
0.4
首先，汽车在AB段做匀速直线运动，速度恒定为v，运动时间为t₁，利用匀速运动的路程公式可直接计算AB段长度；其次，汽车全程匀速运动，速度v不变，结合功率公式P=Fv，通过比较AB段和BC段的功率大小，就能判断两段的牵引力大小；最后，BC段的牵引力做功可由W=Pt计算，再根据功的关系（牵引力做功等于克服重力做功与克服摩擦力做功之和），推导得出BC段的摩擦力。
【解析】
(1) 汽车在AB段以恒定速度v运动，运动时间为t₁，根据匀速直线运动的路程公式s=vt，可得AB段长度：s_AB = v t₁；
(2) 因为汽车全程匀速运动，速度v保持不变，由功率公式P=Fv变形得F=P/v。AB段功率为P₂，BC段功率为P₁，且P₂＜P₁，因此F_AB = P₂/v，F_BC = P₁/v，故F_AB ＜ F_BC；
(3) 汽车在BC段的运动时间为t₂ - t₁，功率为P₁，根据W=Pt，牵引力做的功：W_F = P₁(t₂ - t₁)。BC段汽车上升高度差为h，克服重力做功W_G = Gh；BC段的路程s_BC = v(t₂ - t₁)，克服摩擦力做功W_f = f s_BC = f·v(t₂ - t₁)。根据功的关系W_F = W_G + W_f，代入得：P₁(t₂ - t₁) = Gh + f·v(t₂ - t₁)，整理后解得摩擦力：f = [P₁(t₂ - t₁) - Gh]/[v(t₂ - t₁)]。
【答案】
(1) vt₁；(2) ＜；(3) P₁(t₂-t₁)；$\dfrac{P_1(t_2-t_1)-Gh}{v(t_2-t_1)}$
【知识点】
功率计算、功的原理、匀速直线运动
【点评】
本题结合功率图像考查匀速运动的路程、牵引力、功和摩擦力的计算，核心是掌握P=Fv及功的关系，需理清各段运动的物理量关联，属于中等难度的力学综合题。
【难度系数】
0.4
8. 如图甲所示,吊机将重为6 000 N的货物从地面A处竖直匀速提升40 s到达B处再水平匀速运送到C处,最后竖直向下放到楼顶D处。货物从C处到D处用时50 s,路程随时间变化的图像如图乙所示,不计空气阻力。求：
(1) BC段吊机对货物的拉力所做的功。
(2) CD段货物所受重力做功的功率。
(3) 从A处到B处的过程中吊机对货物做功的功率,并在图丙中作出该过程中吊机所做的功随时间变化的图像且在纵坐标上标出数值。
(1) BC段吊机对货物的拉力所做的功。
(2) CD段货物所受重力做功的功率。
(3) 从A处到B处的过程中吊机对货物做功的功率,并在图丙中作出该过程中吊机所做的功随时间变化的图像且在纵坐标上标出数值。
答案
8. (1) $0$ (2) $600\ \mathrm{W}$ (3) $3\ 000\ \mathrm{W}$
提示:(1) $BC$段货物没有在拉力的方向上移动距离,吊机对货物的拉力所做的功为$0$。(2) $CD$段货物所受重力做功$W=Gh=6\ 000\ \mathrm{N}×5\ \mathrm{m}=30\ 000\ \mathrm{J}$,$CD$段货物所受重力做功的功率$P=\frac{W}{t}=\frac{30\ 000\ \mathrm{J}}{50\ \mathrm{s}}=600\ \mathrm{W}$。(3) $AB$段的距离$h_{AB}=5\ \mathrm{m}+15\ \mathrm{m}=20\ \mathrm{m}$,$AB$段的速度$v'=\frac{h_{AB}}{t_{AB}}=\frac{20\ \mathrm{m}}{40\ \mathrm{s}}=0.5\ \mathrm{m/s}$,从$A$处到$B$处过程中吊机对货物做功的功率$P'=\frac{W'}{t'}=\frac{Fs'}{t'}=Fv'=Gv'=6\ 000\ \mathrm{N}×0.5\ \mathrm{m/s}=3\ 000\ \mathrm{W}$;$20\ \mathrm{s}$内吊机对货物做功$W_1=P't_1=3\ 000\ \mathrm{W}×20\ \mathrm{s}=60\ 000\ \mathrm{J}=60×10^3\ \mathrm{J}$,$40\ \mathrm{s}$内吊机对货物做功$W_2=P't_2=3\ 000\ \mathrm{W}×40\ \mathrm{s}=120\ 000\ \mathrm{J}=120×10^3\ \mathrm{J}$,如图所示。
解析
【分析】
解决本题需明确功的两个必要因素：作用在物体上的力、物体在力的方向上通过的距离，二者缺一不可；功率可通过功与时间的比值计算，匀速运动时拉力等于重力。对于BC段，拉力方向与位移方向垂直，不做功；CD段需先确定竖直下降高度，再计算重力做功及功率；AB段匀速提升，拉力等于重力，先算功再求功率，做功随时间变化的图像因功率恒定为过原点的直线，根据功率计算各时间点的功即可绘制。
【解析】
(1) BC段：吊机对货物的拉力为竖直方向，货物在BC段沿水平方向运动，拉力方向与货物移动的距离方向垂直，不满足做功的两个必要因素，因此拉力做功为$0$。
(2) CD段：货物所受重力$G=6000\ \mathrm{N}$，下降高度$h=5\ \mathrm{m}$，则重力做功$W=Gh=6000\ \mathrm{N} × 5\ \mathrm{m}=30000\ \mathrm{J}$，CD段用时$t=50\ \mathrm{s}$，重力做功的功率$P=\frac{W}{t}=\frac{30000\ \mathrm{J}}{50\ \mathrm{s}}=600\ \mathrm{W}$。
(3) AB段：货物匀速竖直提升，拉力$F=G=6000\ \mathrm{N}$，提升高度$h_{AB}=20\ \mathrm{m}$，用时$t_{AB}=40\ \mathrm{s}$，吊机对货物做功$W'=Fh_{AB}=6000\ \mathrm{N} × 20\ \mathrm{m}=120000\ \mathrm{J}$，功率$P'=\frac{W'}{t_{AB}}=\frac{120000\ \mathrm{J}}{40\ \mathrm{s}}=3000\ \mathrm{W}$。绘制AB段功随时间变化的图像：因功率恒定，功与时间成正比，$20\ \mathrm{s}$时做功$W_1=P't_1=3000\ \mathrm{W} × 20\ \mathrm{s}=60 × 10^3\ \mathrm{J}$，$40\ \mathrm{s}$时做功$W_2=P't_2=3000\ \mathrm{W} × 40\ \mathrm{s}=120 × 10^3\ \mathrm{J}$，图像为过原点的直线，纵坐标标注对应数值。
【答案】
(1) $0$；(2) $600\ \mathrm{W}$；(3) $3\ 000\ \mathrm{W}$；图像见对应图
【知识点】
功的计算、功率的计算、力做功的条件
【点评】
本题考查功和功率的基础应用，核心是理解做功的必要因素，结合匀速运动特点分析拉力与重力的关系，难度适中，属于基础题型。
【难度系数】
0.5
解决本题需明确功的两个必要因素：作用在物体上的力、物体在力的方向上通过的距离，二者缺一不可；功率可通过功与时间的比值计算，匀速运动时拉力等于重力。对于BC段，拉力方向与位移方向垂直，不做功；CD段需先确定竖直下降高度，再计算重力做功及功率；AB段匀速提升，拉力等于重力，先算功再求功率，做功随时间变化的图像因功率恒定为过原点的直线，根据功率计算各时间点的功即可绘制。
【解析】
(1) BC段：吊机对货物的拉力为竖直方向，货物在BC段沿水平方向运动，拉力方向与货物移动的距离方向垂直，不满足做功的两个必要因素，因此拉力做功为$0$。
(2) CD段：货物所受重力$G=6000\ \mathrm{N}$，下降高度$h=5\ \mathrm{m}$，则重力做功$W=Gh=6000\ \mathrm{N} × 5\ \mathrm{m}=30000\ \mathrm{J}$，CD段用时$t=50\ \mathrm{s}$，重力做功的功率$P=\frac{W}{t}=\frac{30000\ \mathrm{J}}{50\ \mathrm{s}}=600\ \mathrm{W}$。
(3) AB段：货物匀速竖直提升，拉力$F=G=6000\ \mathrm{N}$，提升高度$h_{AB}=20\ \mathrm{m}$，用时$t_{AB}=40\ \mathrm{s}$，吊机对货物做功$W'=Fh_{AB}=6000\ \mathrm{N} × 20\ \mathrm{m}=120000\ \mathrm{J}$，功率$P'=\frac{W'}{t_{AB}}=\frac{120000\ \mathrm{J}}{40\ \mathrm{s}}=3000\ \mathrm{W}$。绘制AB段功随时间变化的图像：因功率恒定，功与时间成正比，$20\ \mathrm{s}$时做功$W_1=P't_1=3000\ \mathrm{W} × 20\ \mathrm{s}=60 × 10^3\ \mathrm{J}$，$40\ \mathrm{s}$时做功$W_2=P't_2=3000\ \mathrm{W} × 40\ \mathrm{s}=120 × 10^3\ \mathrm{J}$，图像为过原点的直线，纵坐标标注对应数值。
【答案】
(1) $0$；(2) $600\ \mathrm{W}$；(3) $3\ 000\ \mathrm{W}$；图像见对应图
【知识点】
功的计算、功率的计算、力做功的条件
【点评】
本题考查功和功率的基础应用，核心是理解做功的必要因素，结合匀速运动特点分析拉力与重力的关系，难度适中，属于基础题型。
【难度系数】
0.5
9. 某驾驶员为了粗略测定汽车上货物的质量，采用了这样的办法:让一辆汽车以不变的输出功率$P$沿一段平直公路匀速行驶,从速度表上读出此时汽车的速度$v$。如果汽车运动时受到的阻力与整车重力成正比,比例系数为$k$,已知汽车自身的质量为$M$,车上货物的质量设为$m$。
(1) 求货物的质量$m$。
(2) 如果减少货物的质量,使整辆车的质量变为原来整辆车质量的$\dfrac{9}{10}$,而汽车的输出功率仍为$P$,汽车原来沿一段平直公路匀速行驶需要$10\ \min$,那么减少质量后,汽车匀速经过同一路段需要多长时间?
(1) 求货物的质量$m$。
(2) 如果减少货物的质量,使整辆车的质量变为原来整辆车质量的$\dfrac{9}{10}$,而汽车的输出功率仍为$P$,汽车原来沿一段平直公路匀速行驶需要$10\ \min$,那么减少质量后,汽车匀速经过同一路段需要多长时间?
答案
9. (1) $\dfrac{P}{kvg}-M$ (2) $9\ \min$ 提示:(1) 由题意知,$f=k(m+M)g$,$F=\frac{P}{v}$,汽车做匀速直线运动,$F=f$,即$\frac{P}{v}=k(m+M)g$,解得$m=\frac{P}{kvg}-M$。(2) 设此时汽车速度为$v'$,受到的摩擦力为$f'$,改变质量前后,汽车经过同一路段所需时间分别为$t$和$t'$,则$f'=\frac{9}{10}k(m+M)g$,$P=fv=f'v'$,即$\frac{9}{10}k(m+M)gv'=k(m+M)gv$,$v'=\frac{10}{9}v$,$s=vt=v't'$,则$t'=\frac{9}{10}t=\frac{9}{10}×10\ \min=9\ \min$。
解析
【分析】
要解决本题，需利用匀速运动时牵引力与阻力平衡的规律，结合功率公式$P=Fv$进行推导。第(1)问通过匀速时牵引力等于阻力，结合阻力与总重力的关系，联立功率公式求解货物质量；第(2)问抓住功率不变，利用阻力与总质量的正比关系推导新速度，再结合路程不变的条件求出新时间。
【解析】
(1) 汽车匀速行驶时，牵引力$F$与阻力$f$平衡，即$F=f$。
已知阻力与整车重力成正比，总质量为汽车自身质量$M$加货物质量$m$，故阻力$f=k(M+m)g$。
又汽车输出功率$P=Fv$，变形得$F=\frac{P}{v}$。
联立两式：$\frac{P}{v}=k(M+m)g$，整理得：$m=\frac{P}{kvg}-M$。
(2) 设原来总质量为$M_{总}=M+m$，减少货物后总质量$M_{总}'=\frac{9}{10}M_{总}$，此时阻力$f'=kM_{总}'g=\frac{9}{10}kM_{总}g=\frac{9}{10}f$。
因功率$P$不变，匀速时$F'=f'$，故$P=F'v'=f'v'$，结合原来$P=fv$，得$fv=f'v'$，代入$f'=\frac{9}{10}f$，解得$v'=\frac{10}{9}v$。
汽车经过同一路段，路程$s$不变，$s=vt=v't'$，故$t'=\frac{v}{v'}t=\frac{9}{10}t$，代入$t=10\ \min$，得$t'=9\ \min$。
【答案】
(1) $\dfrac{P}{kvg}-M$；(2) $9\ \min$
【知识点】
功率的计算、二力平衡条件、阻力与重力的关系
【点评】
本题结合功率公式与力学平衡知识，考查学生对物理规律的应用能力，解题关键是抓住匀速运动时牵引力等于阻力，以及功率不变时速度与阻力的关系，注重逻辑推导，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需利用匀速运动时牵引力与阻力平衡的规律，结合功率公式$P=Fv$进行推导。第(1)问通过匀速时牵引力等于阻力，结合阻力与总重力的关系，联立功率公式求解货物质量；第(2)问抓住功率不变，利用阻力与总质量的正比关系推导新速度，再结合路程不变的条件求出新时间。
【解析】
(1) 汽车匀速行驶时，牵引力$F$与阻力$f$平衡，即$F=f$。
已知阻力与整车重力成正比，总质量为汽车自身质量$M$加货物质量$m$，故阻力$f=k(M+m)g$。
又汽车输出功率$P=Fv$，变形得$F=\frac{P}{v}$。
联立两式：$\frac{P}{v}=k(M+m)g$，整理得：$m=\frac{P}{kvg}-M$。
(2) 设原来总质量为$M_{总}=M+m$，减少货物后总质量$M_{总}'=\frac{9}{10}M_{总}$，此时阻力$f'=kM_{总}'g=\frac{9}{10}kM_{总}g=\frac{9}{10}f$。
因功率$P$不变，匀速时$F'=f'$，故$P=F'v'=f'v'$，结合原来$P=fv$，得$fv=f'v'$，代入$f'=\frac{9}{10}f$，解得$v'=\frac{10}{9}v$。
汽车经过同一路段，路程$s$不变，$s=vt=v't'$，故$t'=\frac{v}{v'}t=\frac{9}{10}t$，代入$t=10\ \min$，得$t'=9\ \min$。
【答案】
(1) $\dfrac{P}{kvg}-M$；(2) $9\ \min$
【知识点】
功率的计算、二力平衡条件、阻力与重力的关系
【点评】
本题结合功率公式与力学平衡知识，考查学生对物理规律的应用能力，解题关键是抓住匀速运动时牵引力等于阻力，以及功率不变时速度与阻力的关系，注重逻辑推导，难度适中。
【难度系数】
0.6
