登录
9. 关于$ x $的一元二次方程$ a_1(x - m)^2 + n = 0 $与$ a_2(x - m)^2 + n = 0 $称为“同族二次方程”。如$ 2(x - 3)^2 - 4 = 0 $与$ 3(x - 3)^2 - 4 = 0 $就是“同族二次方程”。现有关于$ x $的一元二次方程$ 2(x - 1)^2 - 1 = 0 $与$ (a + 1)x^2 + (b - 2)x - 2 = 0 $是“同族二次方程”，那么代数式$ ax^2 + bx + 2026 $能取的最大值是 （
A.2025
B.2026
C.2027
D.2028
D
）A.2025
B.2026
C.2027
D.2028
答案
D
解析
【分析】
首先明确“同族二次方程”的定义：两个一元二次方程化为$a(x - m)^2 + n = 0$的形式后，$m$和$n$分别相等。解题时，先根据第一个方程确定$m$和$n$的值，再将第二个方程整理为$k(x - m)^2 + n = 0$的形式，通过对应系数求出$a$、$b$的值，最后利用二次函数的性质求代数式的最大值。
【解析】
1. 由“同族二次方程”定义，第一个方程$2(x - 1)^2 - 1 = 0$中，$m=1$，$n=-1$，故第二个方程需整理为$k(x - 1)^2 - 1 = 0$的形式。
2. 将第二个方程$(a + 1)x^2 + (b - 2)x - 2 = 0$展开整理：
$k(x - 1)^2 - 1 = kx^2 - 2kx + k - 1$，对比系数得：
常数项：$k - 1 = -2$，解得$k=-1$；
二次项系数：$k = a + 1$，代入$k=-1$得$a=-2$；
一次项系数：$-2k = b - 2$，代入$k=-1$得$b=4$。
3. 代数式$ax^2 + bx + 2026$代入$a=-2$、$b=4$得：$-2x^2 + 4x + 2026$，配方得：
$-2(x^2 - 2x) + 2026 = -2[(x - 1)^2 - 1] + 2026 = -2(x - 1)^2 + 2028$，
因二次项系数为负，函数开口向下，最大值为$2028$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的定义，二次函数的最值，配方法
【点评】
本题核心是理解“同族二次方程”的定义，通过系数对应关系求出未知参数，再利用二次函数性质求最值，步骤清晰，需准确把握方程整理和系数对应规则。
【难度系数】
0.5
首先明确“同族二次方程”的定义：两个一元二次方程化为$a(x - m)^2 + n = 0$的形式后，$m$和$n$分别相等。解题时，先根据第一个方程确定$m$和$n$的值，再将第二个方程整理为$k(x - m)^2 + n = 0$的形式，通过对应系数求出$a$、$b$的值，最后利用二次函数的性质求代数式的最大值。
【解析】
1. 由“同族二次方程”定义，第一个方程$2(x - 1)^2 - 1 = 0$中，$m=1$，$n=-1$，故第二个方程需整理为$k(x - 1)^2 - 1 = 0$的形式。
2. 将第二个方程$(a + 1)x^2 + (b - 2)x - 2 = 0$展开整理：
$k(x - 1)^2 - 1 = kx^2 - 2kx + k - 1$，对比系数得：
常数项：$k - 1 = -2$，解得$k=-1$；
二次项系数：$k = a + 1$，代入$k=-1$得$a=-2$；
一次项系数：$-2k = b - 2$，代入$k=-1$得$b=4$。
3. 代数式$ax^2 + bx + 2026$代入$a=-2$、$b=4$得：$-2x^2 + 4x + 2026$，配方得：
$-2(x^2 - 2x) + 2026 = -2[(x - 1)^2 - 1] + 2026 = -2(x - 1)^2 + 2028$，
因二次项系数为负，函数开口向下，最大值为$2028$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的定义，二次函数的最值，配方法
【点评】
本题核心是理解“同族二次方程”的定义，通过系数对应关系求出未知参数，再利用二次函数性质求最值，步骤清晰，需准确把握方程整理和系数对应规则。
【难度系数】
0.5
10. 如图,已知菱形 ABCD 的边长为$\sqrt{7}$,$∠ABC=80°$,延长 BC 至点 E,射线 CF在$∠DCE$的内部且满足$∠DCF=50°$,过点 D 作$DG⊥CF$交 CF 于点 G,过点 G 作$GH⊥CE$交 CE 于点 H。若$GH=1$,则线段 BD 的长为
(
A.$3\sqrt{7}$
B.$2\sqrt{7}$
C.$3\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{3}$
(
D
)A.$3\sqrt{7}$
B.$2\sqrt{7}$
C.$3\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{3}$
答案
D
解析
【分析】
要解决本题，需结合菱形的性质、直角三角形的三角函数关系及角度互余关系分析：首先利用菱形邻角互补、对角线平分内角的性质得到相关角度；再通过直角三角形中30°角的性质求出线段GC的长度；最后利用三角函数恒等式和菱形对角线的性质，计算出BD的长度。
【解析】
1. 因为四边形ABCD是菱形，所以∠ABC=80°，则∠BCD=180°-80°=100°，∠ADC=∠ABC=80°，对角线BD平分∠ADC，故∠BDC=½∠ADC=40°，且DC=√7。
2. 延长BC至E，∠DCE=180°-∠BCD=80°，已知∠DCF=50°，因此∠GCH=∠DCE-∠DCF=80°-50°=30°。
3. 由于GH⊥CE，△GHC为直角三角形，在Rt△GHC中，∠GHC=90°，∠GCH=30°，GH=1，根据直角三角形中30°角对的直角边是斜边的一半，得GC=2GH=2。
4. 又DG⊥CF，△DGC为直角三角形，∠DGC=90°，∠DCG=50°，DC=√7，由三角函数定义得sin∠DCG=GC/DC，结合∠BDC=40°，∠DCG=50°，可知∠BDC与∠DCG互余，故cos∠BDC=sin∠DCG。
5. 利用三角函数恒等式sin²50°+cos²50°=1，代入sin50°=GC/DC=2/√7，得cos²50°=1-(4/7)=3/7，即cos50°=√(3/7)。
6. 菱形中BD=2·DC·cos∠BDC，代入DC=√7，cos∠BDC=cos50°=√(3/7)，得BD=2×√7×√(3/7)=2√3。
【答案】
2√3
【知识点】
菱形的性质、直角三角形的三角函数
【点评】
本题综合考查菱形性质与直角三角形的边角关系，关键在于利用角度互余关系建立三角函数联系，结合题目给定条件求解，需注意菱形对角线平分内角的性质应用。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合菱形的性质、直角三角形的三角函数关系及角度互余关系分析：首先利用菱形邻角互补、对角线平分内角的性质得到相关角度；再通过直角三角形中30°角的性质求出线段GC的长度；最后利用三角函数恒等式和菱形对角线的性质，计算出BD的长度。
【解析】
1. 因为四边形ABCD是菱形，所以∠ABC=80°，则∠BCD=180°-80°=100°，∠ADC=∠ABC=80°，对角线BD平分∠ADC，故∠BDC=½∠ADC=40°，且DC=√7。
2. 延长BC至E，∠DCE=180°-∠BCD=80°，已知∠DCF=50°，因此∠GCH=∠DCE-∠DCF=80°-50°=30°。
3. 由于GH⊥CE，△GHC为直角三角形，在Rt△GHC中，∠GHC=90°，∠GCH=30°，GH=1，根据直角三角形中30°角对的直角边是斜边的一半，得GC=2GH=2。
4. 又DG⊥CF，△DGC为直角三角形，∠DGC=90°，∠DCG=50°，DC=√7，由三角函数定义得sin∠DCG=GC/DC，结合∠BDC=40°，∠DCG=50°，可知∠BDC与∠DCG互余，故cos∠BDC=sin∠DCG。
5. 利用三角函数恒等式sin²50°+cos²50°=1，代入sin50°=GC/DC=2/√7，得cos²50°=1-(4/7)=3/7，即cos50°=√(3/7)。
6. 菱形中BD=2·DC·cos∠BDC，代入DC=√7，cos∠BDC=cos50°=√(3/7)，得BD=2×√7×√(3/7)=2√3。
【答案】
2√3
【知识点】
菱形的性质、直角三角形的三角函数
【点评】
本题综合考查菱形性质与直角三角形的边角关系，关键在于利用角度互余关系建立三角函数联系，结合题目给定条件求解，需注意菱形对角线平分内角的性质应用。
【难度系数】
0.5
11.当$a=-1$时,二次根式$\sqrt{a+2}$的值为$\underline{\hspace{5cm}}$。
答案
1
解析
【分析】本题考查二次根式的求值，解题思路是将给定的a值代入二次根式的被开方数，先计算被开方数，再根据二次根式的算术平方根性质得出结果。
【解析】将$a=-1$代入二次根式$\sqrt{a+2}$，计算得：$\sqrt{-1+2}=\sqrt{1}=1$。
【答案】1
【知识点】二次根式求值；代数式代入计算
【点评】本题为基础题，直接代入数值计算即可，主要考查二次根式的基本运算，难度较低。
【难度系数】0.9
【解析】将$a=-1$代入二次根式$\sqrt{a+2}$，计算得：$\sqrt{-1+2}=\sqrt{1}=1$。
【答案】1
【知识点】二次根式求值；代数式代入计算
【点评】本题为基础题，直接代入数值计算即可，主要考查二次根式的基本运算，难度较低。
【难度系数】0.9
12.已知某兴趣小组6名同学的一次“人工智能编程”培训成绩(单位:分)依次为:88,92,89,95,91,86,则这组数据的中位数为
90
。答案
90
解析
【分析】要确定一组数据的中位数，需先明确中位数的定义：将数据按从小到大（或从大到小）排序后，若数据个数为偶数，中位数是中间两个数的平均数；若为奇数，是中间位置的数。解题时需先对给定数据排序，再根据数据个数计算对应中位数。
【解析】1. 对给定的6个成绩从小到大排序：86，88，89，91，92，95；2. 数据个数为偶数（6个），取中间第3、4个数，即89和91；3. 计算这两个数的平均数：$\frac{89+91}{2}=90$，因此这组数据的中位数为90。
【答案】90
【知识点】中位数、数据的排序
【点评】本题考查中位数的基础计算，核心是掌握中位数的定义，需注意偶数个数据时的计算规则，属于统计类基础题，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】1. 对给定的6个成绩从小到大排序：86，88，89，91，92，95；2. 数据个数为偶数（6个），取中间第3、4个数，即89和91；3. 计算这两个数的平均数：$\frac{89+91}{2}=90$，因此这组数据的中位数为90。
【答案】90
【知识点】中位数、数据的排序
【点评】本题考查中位数的基础计算，核心是掌握中位数的定义，需注意偶数个数据时的计算规则，属于统计类基础题，难度较低。
【难度系数】0.8
13. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - 2mx + 3m = 0 $ 的一个根为 2，
则 $ m $ 的值为 ______。
则 $ m $ 的值为 ______。
答案
4
解析
【分析】
根据一元二次方程根的定义，方程的根满足方程，因此将已知根$x=2$代入原方程，可得到关于$m$的一元一次方程，解此方程即可求出$m$的值。
【解析】
将$x=2$代入方程$x^2 - 2mx + 3m = 0$，得：
$2^2 - 2m×2 + 3m = 0$
化简计算：
$4 - 4m + 3m = 0$
$4 - m = 0$
解得：$m=4$
【答案】
4
【知识点】
一元二次方程的根，一元一次方程的解法
【点评】
本题考查一元二次方程根的基本应用，属于基础题型，直接代入求解即可，思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
根据一元二次方程根的定义，方程的根满足方程，因此将已知根$x=2$代入原方程，可得到关于$m$的一元一次方程，解此方程即可求出$m$的值。
【解析】
将$x=2$代入方程$x^2 - 2mx + 3m = 0$，得：
$2^2 - 2m×2 + 3m = 0$
化简计算：
$4 - 4m + 3m = 0$
$4 - m = 0$
解得：$m=4$
【答案】
4
【知识点】
一元二次方程的根，一元一次方程的解法
【点评】
本题考查一元二次方程根的基本应用，属于基础题型，直接代入求解即可，思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
14.若平行四边形的两邻边长分别4和5，两条较短边之间的距离为3，则两条较长边之间的距离为$\underline{\hspace{5cm}}$。
答案
$\frac{12}{5}$
解析
【分析】首先明确平行四边形的面积公式为“底×对应高”，且平行四边形的面积是固定的，无论选取哪组底和对应的高计算，结果都相等。本题中，较短边为4，其对应的距离（即高）是3，先通过这组底和高算出平行四边形的面积；再用面积除以较长边（5），即可得到较长边对应的距离（高）。
【解析】平行四边形的面积 = 较短边 × 较短边对应的高 = 4×3 = 12。设两条较长边之间的距离为$ h $，较长边为5，则面积也可表示为$ 5×h $，因此$ 5h = 12 $，解得$ h = \frac{12}{5} $。
【答案】$\frac{12}{5}$
【知识点】平行四边形的面积
【点评】本题考查平行四边形面积公式的应用，核心是利用面积不变性，通过两组底和高的关系求解，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】平行四边形的面积 = 较短边 × 较短边对应的高 = 4×3 = 12。设两条较长边之间的距离为$ h $，较长边为5，则面积也可表示为$ 5×h $，因此$ 5h = 12 $，解得$ h = \frac{12}{5} $。
【答案】$\frac{12}{5}$
【知识点】平行四边形的面积
【点评】本题考查平行四边形面积公式的应用，核心是利用面积不变性，通过两组底和高的关系求解，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8
15.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AB＝6,点E为BC边上一点,连结AE,将△ABE沿AE翻折,使点B恰好与点O重合,则BE的长为$\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}$。
答案
$2\sqrt{3}$
解析
【分析】
首先利用矩形对角线相等且互相平分的性质，得到OA=OB；再结合翻折变换的性质，可知AB=AO、BE=OE且∠AOE=∠ABE=90°，由此可求出矩形对角线AC的长度，进而算出BC的长；最后通过设BE为未知数，在直角三角形中利用勾股定理建立方程，求解BE的长度。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AC=BD，OA=½AC，OB=½BD，∠ABC=90°，
∴ OA=OB。
由翻折的性质得：AB=AO=6，BE=OE，∠AOE=∠ABE=90°，
∴ AC=2AO=12，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
BC=√(AC² - AB²)=√(12² -6²)=√108=6√3，
∵ ∠AOE=90°，
∴ ∠EOC=90°，即△EOC为直角三角形，
设BE=x，则OE=x，EC=BC - BE=6√3 -x，OC=½AC=6，
在Rt△EOC中，由勾股定理得：
OE² + OC² = EC²，
即x² +6²=(6√3 -x)²，
展开右边得：108 -12√3 x +x²，
整理方程：x² +36=108 -12√3 x +x²，
消去x²后解得：12√3 x=72 → x=2√3，
故BE的长为2√3。
【答案】
2√3
【知识点】
矩形性质、翻折变换、勾股定理
【点评】
本题结合矩形性质与翻折变换，核心是利用勾股定理建立方程求解线段长度，关键在于找到翻折后相等的线段和直角，难度中等，需要学生熟练运用几何性质与代数计算结合的方法解题。
【难度系数】
0.5
首先利用矩形对角线相等且互相平分的性质，得到OA=OB；再结合翻折变换的性质，可知AB=AO、BE=OE且∠AOE=∠ABE=90°，由此可求出矩形对角线AC的长度，进而算出BC的长；最后通过设BE为未知数，在直角三角形中利用勾股定理建立方程，求解BE的长度。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AC=BD，OA=½AC，OB=½BD，∠ABC=90°，
∴ OA=OB。
由翻折的性质得：AB=AO=6，BE=OE，∠AOE=∠ABE=90°，
∴ AC=2AO=12，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
BC=√(AC² - AB²)=√(12² -6²)=√108=6√3，
∵ ∠AOE=90°，
∴ ∠EOC=90°，即△EOC为直角三角形，
设BE=x，则OE=x，EC=BC - BE=6√3 -x，OC=½AC=6，
在Rt△EOC中，由勾股定理得：
OE² + OC² = EC²，
即x² +6²=(6√3 -x)²，
展开右边得：108 -12√3 x +x²，
整理方程：x² +36=108 -12√3 x +x²，
消去x²后解得：12√3 x=72 → x=2√3，
故BE的长为2√3。
【答案】
2√3
【知识点】
矩形性质、翻折变换、勾股定理
【点评】
本题结合矩形性质与翻折变换，核心是利用勾股定理建立方程求解线段长度，关键在于找到翻折后相等的线段和直角，难度中等，需要学生熟练运用几何性质与代数计算结合的方法解题。
【难度系数】
0.5
16.如图,矩形ABCD中,E是边BC上一点,将$△ ABE$沿AE翻折,得到$△ AFE$,延长EF交线段AD的延长线于点G,交线段AC于点O,若$AB=2,BC=3,OC=OE$,则线段DG的长为
$\sqrt{13}-3$
。答案
$\sqrt{13}-3$
解析
【分析】
要解决本题，需结合矩形性质、折叠性质、等腰三角形性质及全等三角形判定逐步推导：
1. 先利用矩形边长计算对角线AC的长度；
2. 由折叠性质得到对应边和角相等；
3. 根据OC=OE推出角度相等，结合平行线的内错角相等，得到∠G=∠ACB；
4. 证明△AFG与△ABC全等，得到AG=AC，进而计算DG=AG-AD。
【解析】
在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，故AD=BC=3，∠ABC=90°，对角线AC=√(AB²+BC²)=√(2²+3²)=√13。
将△ABE沿AE翻折得△AFE，由折叠性质得：AB=AF=2，∠AFE=∠B=90°，故∠AFG=90°。
因为OC=OE，所以△OCE为等腰三角形，∠OEC=∠OCE。
又因为AD//BC（矩形对边平行），所以∠G=∠OEC（内错角相等），而∠OCE=∠ACB，因此∠G=∠ACB。
在△AFG和△ABC中：
$\{\begin{array}{l}∠AFG=∠ABC=90° \\∠G=∠ACB \\AF=AB=2\end{array} $
所以△AFG≌△ABC（AAS），故AG=AC=√13。
因为AG=AD+DG，AD=3，所以DG=AG - AD=√13 -3。
【答案】
$\sqrt{13}-3$
【知识点】
矩形性质，折叠性质，全等三角形判定
【点评】
本题综合考查矩形、折叠、等腰三角形及全等三角形的相关知识，解题关键是通过OC=OE和平行线的性质得到角度等量关系，进而证明三角形全等，最终求出DG的长度。
【难度系数】
0.4
要解决本题，需结合矩形性质、折叠性质、等腰三角形性质及全等三角形判定逐步推导：
1. 先利用矩形边长计算对角线AC的长度；
2. 由折叠性质得到对应边和角相等；
3. 根据OC=OE推出角度相等，结合平行线的内错角相等，得到∠G=∠ACB；
4. 证明△AFG与△ABC全等，得到AG=AC，进而计算DG=AG-AD。
【解析】
在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，故AD=BC=3，∠ABC=90°，对角线AC=√(AB²+BC²)=√(2²+3²)=√13。
将△ABE沿AE翻折得△AFE，由折叠性质得：AB=AF=2，∠AFE=∠B=90°，故∠AFG=90°。
因为OC=OE，所以△OCE为等腰三角形，∠OEC=∠OCE。
又因为AD//BC（矩形对边平行），所以∠G=∠OEC（内错角相等），而∠OCE=∠ACB，因此∠G=∠ACB。
在△AFG和△ABC中：
$\{\begin{array}{l}∠AFG=∠ABC=90° \\∠G=∠ACB \\AF=AB=2\end{array} $
所以△AFG≌△ABC（AAS），故AG=AC=√13。
因为AG=AD+DG，AD=3，所以DG=AG - AD=√13 -3。
【答案】
$\sqrt{13}-3$
【知识点】
矩形性质，折叠性质，全等三角形判定
【点评】
本题综合考查矩形、折叠、等腰三角形及全等三角形的相关知识，解题关键是通过OC=OE和平行线的性质得到角度等量关系，进而证明三角形全等，最终求出DG的长度。
【难度系数】
0.4
