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1 [2025 安徽合肥期末,中]已知$a+2b+3c=m$，$a+3b+4c=m$，则$b$和$c$的关系为（
A.互为相反数
B.互为倒数
C.相等
D.无法确定
A
）A.互为相反数
B.互为倒数
C.相等
D.无法确定
答案
1.A 【解析】因为a+2b+3c=m,a+3b+4c=m,所以a+2b+3c=a+3b+4c,两边同时减去a+2b+3c,得b+c=0,故选A.
2[中]若$a+9=b+8=c+7$，则$(a-b)^2+(b-c)^2-(c-a)^2=$
-2
.答案
2.-2 【解析】因为a+9=b+8=c+7,所以a-b=-1,b-c=-1,c-a=2,所以原式=$(-1)^2+(-1)^2-2^2=-2$,故答案为-2.
3[2025黑龙江哈尔滨调研,较难]已知商品利润率=$\frac{商品利润}{商品成本价}$×100%,某商人经营甲、乙两种商品,每件甲种商品的利润率为80%,每件乙种商品的利润率为50%,当售出的乙种商品比售出的甲种商品的件数多20%时,这个商人得到的总利润率为60%,则甲、乙两种商品的成本价的比值是
$\frac{3}{5}$
.答案
3.$\frac{3}{5}$ 【解析】设甲、乙两种商品的成本价分别为a元/件,b元/件,售出甲种商品m件,则每件甲种商品的利润为80%a元,每件乙种商品的利润为50%b元,售出乙种商品(1+20%)m件.根据题意得80%am+50%b×(1+20%)m=60%[am+b×(1+20%)m],化简得4a+3b=3a+3.6b,所以a=0.6b,所以$\frac{a}{b}=\frac{3}{5}$,故答案为$\frac{3}{5}$.
4[中]王老师在黑板上写了一个等式$(m-3)x=5(m-3)$，小明说$x=5$；小刚说不一定，当$x≠5$时，这个等式也可能成立。你认为他俩谁的说法正确？并用等式的性质说明理由。
答案
4.【解】小明的说法错误,小刚的说法正确.
理由如下:
当m-3=0时,x为任意数;
当m-3≠0时,x=5.
理由如下:
当m-3=0时,x为任意数;
当m-3≠0时,x=5.
5[较难]小明课后利用方程的知识探索发现，所有纯循环小数(循环节从小数部分第一位开始的小数称为纯循环小数)都可以化为分数，例如，化0.$\dot{3}$为分数，方法如下：
设$x=0.\dot{3}$，即$x=0.333···$。将方程两边都乘10，得$10x=3.333···$，即$10x=3+0.333···$。又因为$x=0.333···$，所以$10x=3+x$，所以$9x=3$，则$x=\frac{1}{3}$，所以$0.\dot{3}=\frac{1}{3}$。
尝试解决下列各题：
(1)把0.$\dot{1}$化成分数为
(2)利用小明的方法，把纯循环小数0.$\dot{1}\dot{6}$化成分数.
刷素养 走向重高
设$x=0.\dot{3}$，即$x=0.333···$。将方程两边都乘10，得$10x=3.333···$，即$10x=3+0.333···$。又因为$x=0.333···$，所以$10x=3+x$，所以$9x=3$，则$x=\frac{1}{3}$，所以$0.\dot{3}=\frac{1}{3}$。
尝试解决下列各题：
(1)把0.$\dot{1}$化成分数为
$\frac{1}{9}$
.(2)利用小明的方法，把纯循环小数0.$\dot{1}\dot{6}$化成分数.
刷素养 走向重高
答案
5.【解】(1)设x=0.$\dot{1}$,即x=0.111….将方程两边都乘10,得10x = 1. 111 …,即10x=1+0.111….又因为x=0.111…,所以10x=1+x,所以9x=1,则$x=\frac{1}{9}$,所以0.$\dot{1}=\frac{1}{9}$.故答案为$\frac{1}{9}$.
(2)设x=0.$\dot{1}\dot{6}$,即x=0.161 6….将方程两边都乘100,得100x=16. 161 6…,即100x=16+0.161 6….又因为x=0.161 6…,所以100x=16+x,所以99x=16,则$x=\frac{16}{99}$,所以0.$\dot{1}\dot{6}=\frac{16}{99}$.
(2)设x=0.$\dot{1}\dot{6}$,即x=0.161 6….将方程两边都乘100,得100x=16. 161 6…,即100x=16+0.161 6….又因为x=0.161 6…,所以100x=16+x,所以99x=16,则$x=\frac{16}{99}$,所以0.$\dot{1}\dot{6}=\frac{16}{99}$.
6 核心素养推理能力[2025江苏南京期末,较难]小明研究规律方程的时候遇到了下面一组方程：
①$\frac{x}{4}+\frac{x-1}{2}=1$；
②$\frac{x}{6}+\frac{x-2}{2}=1$；
③$\frac{x}{8}+\frac{x-3}{2}=1$；
……
(1)请聪明的你帮小明写出一条这组规律方程的信息.
(2)小明通过计算发现,第一个方程的解是$x=2$,第二个方程的解为$x=3$,因此他就大胆地推测出第三个方程的解为$x=4$,并写出了第四个方程.请你验证一下小明的推测是否正确,如果正确,请你写出验证过程,并写出第四个方程;如果不正确,请说明理由.
(3)你能根据以上解决问题的经验直接写出符合上述规律,且解为$x=n$($n$为正整数,且$n≥2$)的方程吗?
①$\frac{x}{4}+\frac{x-1}{2}=1$；
②$\frac{x}{6}+\frac{x-2}{2}=1$；
③$\frac{x}{8}+\frac{x-3}{2}=1$；
……
(1)请聪明的你帮小明写出一条这组规律方程的信息.
(2)小明通过计算发现,第一个方程的解是$x=2$,第二个方程的解为$x=3$,因此他就大胆地推测出第三个方程的解为$x=4$,并写出了第四个方程.请你验证一下小明的推测是否正确,如果正确,请你写出验证过程,并写出第四个方程;如果不正确,请说明理由.
(3)你能根据以上解决问题的经验直接写出符合上述规律,且解为$x=n$($n$为正整数,且$n≥2$)的方程吗?
答案
6.【解】(1)方程的等号右边都是1.(答案不唯一)
(2)正确.验证如下:
把x=4代入方程$\frac{x}{8}+\frac{x-3}{2}=1$中,
左边=$\frac{4}{8}+\frac{4-3}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$,
右边=1,所以x=4是方程$\frac{x}{8}+\frac{x-3}{2}=1$的解,所以小明的推测正确.
第四个方程为$\frac{x}{10}+\frac{x-4}{2}=1$.
(3)能,$\frac{x}{2n}+\frac{x-n+1}{2}=1$(n为正整数,且n≥2).
(2)正确.验证如下:
把x=4代入方程$\frac{x}{8}+\frac{x-3}{2}=1$中,
左边=$\frac{4}{8}+\frac{4-3}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$,
右边=1,所以x=4是方程$\frac{x}{8}+\frac{x-3}{2}=1$的解,所以小明的推测正确.
第四个方程为$\frac{x}{10}+\frac{x-4}{2}=1$.
(3)能,$\frac{x}{2n}+\frac{x-n+1}{2}=1$(n为正整数,且n≥2).
