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7. 王红和刘芳两人在玩转盘游戏,如图所示,把转盘甲、乙分别分成3等份,并在每一份内标上数字,游戏规则如下:转动两个转盘各一次,转盘停止转动后,若指针所指的两个数字之和为7,则王红获胜;若数字之和为8,则刘芳获胜(指针指向分界线时重转).这二人中获胜概率较大的是
王红
.答案
解析:画树状图如下：
由树状图可知,共有9种等可能的结果,其中数字之和为7的结果有3种,数字之和为8的结果有2种,所以P(王红胜)=$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$,P(刘芳胜)=$\frac{2}{9}$.因为$\frac{1}{3}＞\frac{2}{9}$,所以王红的获胜概率较大.
8. 如图是三张大小相同的纸片,其中两张纸片上各画一个半径相等的半圆,另一张纸片上画一个正方形.将这三张纸片放在一个盒子里摇匀,任意抽取两张纸片.若可以拼成一个圆形(取出的两张纸片都画有半圆),则甲赢;若可以拼成一个蘑菇形(取出的一张纸片画有半圆,另一张纸片画有正方形),则乙赢.这个游戏对双方
不公平
(填“公平”或“不公平”);若不公平,则有利于乙
(填“甲”或“乙”).答案
解析:画树状图(图略)可知共有6种等可能的结果,其中可以拼成一个圆形的结果有2种,可以拼成一个蘑菇形的结果有4种,所以P(甲赢)=$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$,P(乙赢)=$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.因为$\frac{2}{3}＞\frac{1}{3}$,所以这个游戏对双方不公平,有利于乙.
9. 小伟和小梅两位同学玩掷骰子的游戏,两人各掷一次质地均匀的骰子,以掷出的点数之差的绝对值判断输赢. 若所得数值等于 0,1,2,则小伟胜;若所得数值等于 3,4,5,则小梅胜.
(1) 请用列表法分别求出小伟、小梅获胜的概率;
(2) 判断上述游戏对双方是否公平. 如果公平,请说明理由;如果不公平,请你修改游戏规则,以确保游戏的公平性.
(1) 请用列表法分别求出小伟、小梅获胜的概率;
(2) 判断上述游戏对双方是否公平. 如果公平,请说明理由;如果不公平,请你修改游戏规则,以确保游戏的公平性.
答案
(1) 列表如下：
| 结果\小梅 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 小伟1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 小伟2 | 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 小伟3 | 2 | 1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| 小伟4 | 3 | 2 | 1 | 0 | 1 | 2 |
| 小伟5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | 1 |
| 小伟6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
由表格可知,共有36种等可能的结果,其中数值等于0,1,2的结果有24种,数值等于3,4,5的结果有12种,所以P(小伟胜)=$\frac{24}{36}=\frac{2}{3}$,P(小梅胜)=$\frac{12}{36}=\frac{1}{3}$.
(2) 因为P(小伟胜)≠P(小梅胜),所以这个游戏对双方不公平.修改规则如下:若所得数值等于1,2,则小伟胜;若所得数值等于0,3,4,5,则小梅胜.(修改规则合理即可)
| 结果\小梅 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 小伟1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 小伟2 | 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 小伟3 | 2 | 1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| 小伟4 | 3 | 2 | 1 | 0 | 1 | 2 |
| 小伟5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | 1 |
| 小伟6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
由表格可知,共有36种等可能的结果,其中数值等于0,1,2的结果有24种,数值等于3,4,5的结果有12种,所以P(小伟胜)=$\frac{24}{36}=\frac{2}{3}$,P(小梅胜)=$\frac{12}{36}=\frac{1}{3}$.
(2) 因为P(小伟胜)≠P(小梅胜),所以这个游戏对双方不公平.修改规则如下:若所得数值等于1,2,则小伟胜;若所得数值等于0,3,4,5,则小梅胜.(修改规则合理即可)
10. 亮点原创 同时抛掷3枚质地均匀的硬币，其中1元硬币1枚，5角硬币2枚.小张、小王约定:正面朝上按面值算,反面朝上按0元算.3枚硬币落地后,若面值和为$a$元,则小张获胜;若面值和为$b$元,则小王获胜;其他结果为平局.若$a＜b$,且这个游戏对双方公平,则$(a,b)$所有可能的结果有
4
种.答案
解析:将1元硬币和2枚5角硬币分别编号为A,B,C.画树状图如下：
由树状图可知,共有8种等可能的结果,其中面值和为2元或0元的结果都有1种,面值和为1.5元或1元或0.5元的结果都有2种.因为a＜b,且这个游戏对双方公平,所以(a,b)所有可能的结果为(0,2),(0.5,1),(0.5,1.5),(1,1.5),有4种.
11. (2026·江苏淮安期末)如图,有两个可以自由转动的转盘A,B都被分成了3等份,并在每一份内均标有数字,现分别转动转盘,两个转盘停止后观察两个指针所指的数字(若指针停在分界线上,则重转).
(1) 用列表法(或画树状图法)分别求出“两个指针所指的数字都是方程$x^{2}-5x+6=0$的解”和“两个指针所指的数字都不是方程$x^{2}-5x+6=0$的解”的概率;
(2) 王磊和张浩想用这两个转盘做游戏,他们规定:若两个指针所指的数字都是方程$x^{2}-5x+6=0$的解,则王磊得1分;若两个指针所指的数字都不是方程$x^{2}-5x+6=0$的解,则张浩得3分.这个游戏对双方公平吗?若不公平,请修改得分规则,使游戏对双方公平.
类题精讲
(1) 用列表法(或画树状图法)分别求出“两个指针所指的数字都是方程$x^{2}-5x+6=0$的解”和“两个指针所指的数字都不是方程$x^{2}-5x+6=0$的解”的概率;
(2) 王磊和张浩想用这两个转盘做游戏,他们规定:若两个指针所指的数字都是方程$x^{2}-5x+6=0$的解,则王磊得1分;若两个指针所指的数字都不是方程$x^{2}-5x+6=0$的解,则张浩得3分.这个游戏对双方公平吗?若不公平,请修改得分规则,使游戏对双方公平.
类题精讲
答案
(1) 解方程$x^2-5x+6=0$,得$x_1=2$,$x_2=3$.列表如下：
| 结果\B | 2 | 3 | 4 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| A1 | (1,2) | (1,3) | (1,4) |
| A2 | (2,2) | (2,3) | (2,4) |
| A3 | (3,2) | (3,3) | (3,4) |
由表格可知,共有9种等可能的结果,其中两个指针所指的数字都是方程$x^2-5x+6=0$的解的结果有4种,两个指针所指的数字都不是方程$x^2-5x+6=0$的解的结果有1种,所以P(两个指针所指的数字都是方程$x^2-5x+6=0$的解)=$\frac{4}{9}$,P(两个指针所指的数字都不是方程$x^2-5x+6=0$的解)=$\frac{1}{9}$.
(2) 因为$1×\frac{4}{9} ≠ 3×\frac{1}{9}$,所以这个游戏对双方不公平.修改得分规则如下:若两个指针所指的数字都是方程$x^2-5x+6=0$,则王磊得1分;若两个指针所指的数字都不是方程$x^2-5x+6=0$,则张浩得4分.(修改规则合理即可)
| 结果\B | 2 | 3 | 4 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| A1 | (1,2) | (1,3) | (1,4) |
| A2 | (2,2) | (2,3) | (2,4) |
| A3 | (3,2) | (3,3) | (3,4) |
由表格可知,共有9种等可能的结果,其中两个指针所指的数字都是方程$x^2-5x+6=0$的解的结果有4种,两个指针所指的数字都不是方程$x^2-5x+6=0$的解的结果有1种,所以P(两个指针所指的数字都是方程$x^2-5x+6=0$的解)=$\frac{4}{9}$,P(两个指针所指的数字都不是方程$x^2-5x+6=0$的解)=$\frac{1}{9}$.
(2) 因为$1×\frac{4}{9} ≠ 3×\frac{1}{9}$,所以这个游戏对双方不公平.修改得分规则如下:若两个指针所指的数字都是方程$x^2-5x+6=0$,则王磊得1分;若两个指针所指的数字都不是方程$x^2-5x+6=0$,则张浩得4分.(修改规则合理即可)
