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1. (2024·山西)如图,在$△ ABC$中,以$AB$为直径的$\odot O$交$BC$于点$D$,与$AC$相切于点$A$,连接$OD$.若$∠ AOD=80°$,则$∠ C$的度数为（
A.$30°$
B.$40°$
C.$45°$
D.$50°$
D
）A.$30°$
B.$40°$
C.$45°$
D.$50°$
答案
1. D
2. (2023·黑龙江哈尔滨)如图，$A B$ 是$\odot O$ 的切线，$A$ 为切点，连接 $O A$，半径 $O C ⊥ O A$，连接 $B C$ 并延长交$\odot O$ 于点 $D$，连接 $O D$. 若$∠ B=65°$,则$∠ D O C$ 的度数为（
A.$45°$
B.$50°$
C.$65°$
D.$75°$
B
）A.$45°$
B.$50°$
C.$65°$
D.$75°$
答案
2. B
3. （2025·山东青岛）如图，四边形 $ABCD$ 是$\odot O$ 的内接四边形，$∠ ADC=90°, DC=BC$，直线 $EA$ 与 $\odot O$ 相切于点 $A$。若 $∠ BCD=$$128°$，则$∠ DAE$ 的度数为（
A.$52°$
B.$54°$
C.$64°$
D.$74°$
C
）A.$52°$
B.$54°$
C.$64°$
D.$74°$
答案
3. C
4.（教材习题变式）如图，$AB$切$\odot O$于点$B$，$AO$的延长线交$\odot O$于点$C$，连接$BC$. 若$∠ A=$$40^{\circ }$，则$∠ C$的度数为
$25°$
.答案
4. $25°$
5. 如图,$AB,AC$是$\odot O$的弦,经过点$A$的切线交$CB$的延长线于点$D$.若$∠ BAD=35°$,则$∠ C=$
$35°$
.答案
5. $35°$
6. 新素养 推理能力 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,点$O$在边$AC$上,以点$O$为圆心,$OC$为半径的半圆与斜边$AB$相切于点$D$,交$OA$于点$E$,连接$OB$.
(1) 求证:$BD=BC$;
(2) 已知$OC=1$,$∠ A=30°$,求$AB$的长.
(1) 求证:$BD=BC$;
(2) 已知$OC=1$,$∠ A=30°$,求$AB$的长.
答案
6. (1) 连接$OD$.因为半圆$O$与$AB$相切于点$D$,所以$OD⊥ AB$,所以$∠ ODB=90°$.在$\mathrm{Rt}△ OBD$和$\mathrm{Rt}△ OBC$中, $\begin{cases}OB=OB,\\OD=OC,\end{cases}$ 所以 $\mathrm{Rt}△ OBD ≌ \mathrm{Rt}△ OBC$, 所以 $BD=BC$.
(2) 因为 $OD⊥ AB$, 所以 $∠ ODA=90°$. 因为 $OD=OC=1$,$∠ A=30°$, 所以 $OA=2OD=2$, 所以 $AD=\sqrt{OA^2-OD^2}=\sqrt{3}$. 因为 $∠ ACB=90°$, 所以 $∠ ABC=90°-∠ A=60°$. 因为 $\mathrm{Rt}△ OBD ≌ \mathrm{Rt}△ OBC$, 所以 $∠ OBD=∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC=30°$, 所以 $OB=2OD=2$, 所以 $BD=\sqrt{OB^2-OD^2}=\sqrt{3}$, 所以 $AB=AD+BD=2\sqrt{3}$.
(2) 因为 $OD⊥ AB$, 所以 $∠ ODA=90°$. 因为 $OD=OC=1$,$∠ A=30°$, 所以 $OA=2OD=2$, 所以 $AD=\sqrt{OA^2-OD^2}=\sqrt{3}$. 因为 $∠ ACB=90°$, 所以 $∠ ABC=90°-∠ A=60°$. 因为 $\mathrm{Rt}△ OBD ≌ \mathrm{Rt}△ OBC$, 所以 $∠ OBD=∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC=30°$, 所以 $OB=2OD=2$, 所以 $BD=\sqrt{OB^2-OD^2}=\sqrt{3}$, 所以 $AB=AD+BD=2\sqrt{3}$.
7. 如图,在$△ ABC$中,$AB=6$,以点$A$为圆心,3 为半径的圆与边$BC$相切于点$D$,与$AC$,$AB$分别交于点$E$和点$G$,$F$是优弧$GE$上一点.若$∠ CDE=18^{ \circ }$,则$∠ GFE$的度数是（
A.$50°$
B.$48°$
C.$45°$
D.$36°$
B
）A.$50°$
B.$48°$
C.$45°$
D.$36°$
答案
7. B 解析:连接$AD$. 因为$\odot A$与$BC$相切于点$D$,所以$AD⊥ BC$,所以$∠ ADB=∠ ADC=90°$. 因为$\odot A$的半径为3,所以$AD=3$. 因为$AB=6$,所以$AD=\frac{1}{2}AB$,所以$∠ B=30°$,所以$∠ BAD=90°-∠ B=60°$. 因为$∠ CDE=18°$,所以$∠ ADE=∠ ADC-∠ CDE=72°$. 因为$AD=AE$,所以$∠ AED=∠ ADE=72°$, 所以$∠ DAE=180°-∠ ADE-∠ AED=36°$, 所以$∠ BAC=∠ BAD+∠ DAE=96°$, 所以$∠ GFE=\frac{1}{2}∠ BAC=48°$.
8. (2026·江苏盐城期末)如图,以等边三角形
$ABC$的边$BC$为直径画半圆$O$,分别交$AB$,
$AC$于点$E,D$,半圆的切线$DF$交$AB$于点
$F$,过点$F$作$FG ⊥ BC$于点$G$.若$AF=2$,则
$FG$的长为 （
A.4
B.$3\sqrt{3}$
C.6
D.$2\sqrt{3}$
$ABC$的边$BC$为直径画半圆$O$,分别交$AB$,
$AC$于点$E,D$,半圆的切线$DF$交$AB$于点
$F$,过点$F$作$FG ⊥ BC$于点$G$.若$AF=2$,则
$FG$的长为 （
B
）A.4
B.$3\sqrt{3}$
C.6
D.$2\sqrt{3}$
答案
8. B 解析:连接$OD,BD$. 因为$△ ABC$为等边三角形, 所以$AB=AC=BC$,$∠ A=∠ ABC=60°$. 因为$BC$为半圆$O$的直径, 所以$∠ BDC=90°$, 所以$BD⊥ AC$, 所以$AD=CD=\frac{1}{2}AC$. 因为$OB=OC$, 所以$OD$为$△ ABC$的中位线, 所以$OD// AB$. 因为$DF$为半圆$O$的切线, 所以$OD⊥ DF$, 所以$AB⊥ DF$, 所以$∠ AFD=90°$, 所以$∠ ADF=90°-∠ A=30°$, 所以$AD=2AF$. 因为$AF=2$, 所以$AD=4$, 所以$AB=AC=2AD=8$, 所以$BF=AB-AF=6$. 因为$FG⊥ BC$, 所以$∠ FGB=90°$, 所以$∠ BFG=90°-∠ ABC=30°$, 所以$BG=\frac{1}{2}BF=3$, 所以$FG=\sqrt{BF^2-BG^2}=3\sqrt{3}$.
