变式 2.1 如图, 因为 $O D$ 是 $∠ A O C$ 的平分线, 所以 $∠ C O D=\dfrac{1}{2} ∠ A O C$. 因为 $O E$ 是 $∠ B O C$ 的平分线, 所以 $∠ C O E=\dfrac{1}{2}$.
所以 $∠ D O E=∠ C O D+\_\_\_\_\_\_=\dfrac{1}{2}(∠ A O C+$$∠ B O C)=\dfrac{1}{2} ∠ A O B=\_\_\_\_\_\_°$.

答案依次为：$∠BOC$、$∠COE$、$90$

变式2.2 (2025·四川绵阳梓潼期末)如图,已知 OE 平分$∠ AOC$,OF 平分$∠ BOC$.
(1)如图(1),若点 A,O,B 在一条直线上,则$∠ EOF=$.
(2)如图(2),若点 A,O,B 不在一条直线上,$∠ AOB=140°$,则$∠ EOF=$.
(3)由以上两个问题发现:当$∠ AOC$在$∠ BOC$的外部时,$∠ EOF$与$∠ AOB$有何数量关系?写出来并说明理由.
(4)如图(3),若 OA 在$∠ BOC$的内部,$∠ AOB$和$∠ EOF$还存在上述的数量关系吗?请说明理由.

(1)$90°$
解析$\because OE$平分$∠AOC$,OF 平分$∠BOC$,
$\therefore ∠COF=\frac{1}{2}∠COB,∠COE=\frac{1}{2}∠AOC.$
又$∠AOB=180°,$
$\therefore ∠EOF=\frac{1}{2}∠COB+\frac{1}{2}∠AOC=\frac{1}{2}(∠BOC+∠AOC)=\frac{1}{2}∠AOB=90°.$
(2)$70°$
解析$\because OE$平分$∠AOC$,OF 平分$∠BOC$,
$\therefore ∠COF=\frac{1}{2}∠COB,∠COE=\frac{1}{2}∠AOC.$
又$∠AOB=140°,$
$\therefore ∠EOF=\frac{1}{2}∠COB+\frac{1}{2}∠AOC=\frac{1}{2}(∠BOC+∠AOC)=\frac{1}{2}∠AOB=70°.$
(3)$∠EOF=\frac{1}{2}∠AOB$.理由如下:
$\because OE$平分$∠AOC$,OF 平分$∠BOC$,
$\therefore ∠COF=\frac{1}{2}∠COB,∠COE=\frac{1}{2}∠AOC,$
$\therefore ∠EOF=∠COF+∠COE=\frac{1}{2}∠COB+\frac{1}{2}∠AOC=\frac{1}{2}∠AOB.$
(4)存在,理由如下:
$\because OF$平分$∠BOC$,OE 平分$∠AOC$,
$\therefore ∠COF=\frac{1}{2}∠COB,∠COE=\frac{1}{2}∠AOC,$
$\therefore ∠EOF=\frac{1}{2}∠COB-\frac{1}{2}∠AOC=\frac{1}{2}(∠BOC-∠AOC)=\frac{1}{2}∠AOB.$

3. 我们已学习了角平分线的概念，那么你会用它们解决有关问题吗？
(1)如图(1)所示,将长方形笔记本活页纸片的一角折过去,使角的顶点 A 落在$A'$处,BC 为折痕.若$∠ ABC=54°$,求$∠ A'BD$的度数;
(2)在(1)条件下,如果又将它的另一个角也斜折过去,并使 BD 边与$BA'$重合,折痕为 BE,如图(2)所示,求$∠ CBE$的度数.

(1)$\because ∠ABC=54°,\therefore ∠A'BC=∠ABC=54°$,
由折叠的性质可得
$\therefore ∠A'BD=180°-∠ABC-∠A'BC=180°-54°-54°=72°.$
(2)由(1)的结论可得$∠DBD'=72°$,
$\therefore ∠2=\frac{1}{2}∠DBD'=\frac{1}{2}×72°=36°.$
$\because ∠1=∠ABC=54°,\therefore ∠CBE=∠1+∠2=90°.$

变式 3.1 (2025·贵州遵义绥阳期末) 如图,长方形 $ABCD$ 沿直线 $EF, EG$ 折叠后,点 $A$ 和点 $D$ 分别落在直线 $l$ 上的点 $A'$ 和点 $D'$ 处,若 $∠ 2 = 60°$, 则 $∠ 1$ 的度数为().


A.$30°$
B.$50°$
C.$55°$
D.$60°$

A
解析由折叠知$∠D'EG=∠2=60°$,$∠AEF=∠1$.又$∠D'EG+∠2+∠AEF+∠1=180°$,
$\therefore ∠1=\frac{1}{2}(180°-∠D'EG-∠2)=\frac{1}{2}×(180°-60°-60°)=30°$.故选 A.