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7. 在整数20 240 320中，数字“0”出现的频率是
$\dfrac{3}{8}$
.答案
【点拨】本题考查频率.
【解析】在整数20 240 320中,一共有8个数字,0出现了3次,
∴ 数字“0”出现的频率是$\dfrac{3}{8}$. 故答案为$\dfrac{3}{8}$.
【解析】在整数20 240 320中,一共有8个数字,0出现了3次,
∴ 数字“0”出现的频率是$\dfrac{3}{8}$. 故答案为$\dfrac{3}{8}$.
解析
【分析】要计算数字“0”出现的频率，需利用频率的计算公式：频率=频数（数字“0”出现的次数）÷数据总数（该整数的总数字个数）。解题时先确定整数的总数字个数，再数出“0”出现的次数，最后代入公式计算即可。
【解析】首先，数出整数20240320的总数字个数：该数共有8个数字；其次，数出数字“0”出现的次数：在20240320中，“0”共出现3次；根据频率公式，数字“0”出现的频率为$\dfrac{3}{8}$。
【答案】$\dfrac{3}{8}$
【知识点】频率的计算
【点评】本题考查频率的基本概念，解题关键是准确数出整数的总数字数和“0”的出现次数，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】首先，数出整数20240320的总数字个数：该数共有8个数字；其次，数出数字“0”出现的次数：在20240320中，“0”共出现3次；根据频率公式，数字“0”出现的频率为$\dfrac{3}{8}$。
【答案】$\dfrac{3}{8}$
【知识点】频率的计算
【点评】本题考查频率的基本概念，解题关键是准确数出整数的总数字数和“0”的出现次数，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8
8. 在直角三角形中,直角边长为$a,b$,斜边长为$c$,则$a^3 + b^3$ ______ $c^3$(填“＞”“＜”或“=”).
答案
【点拨】本题考查直角三角形的性质,勾股定理.
【解析】$\because 0 ＜ a ＜ c,0 ＜ b ＜ c,\therefore a^3 ＜ a^2c,b^3 ＜ b^2c,\therefore a^3 + b^3 ＜ a^2c + b^2c. \because a^2 + b^2 = c^2,\therefore a^2c + b^2c = c^2 · c = c^3,\therefore a^3 + b^3 ＜ c^3.$ 故答案为＜.
【解析】$\because 0 ＜ a ＜ c,0 ＜ b ＜ c,\therefore a^3 ＜ a^2c,b^3 ＜ b^2c,\therefore a^3 + b^3 ＜ a^2c + b^2c. \because a^2 + b^2 = c^2,\therefore a^2c + b^2c = c^2 · c = c^3,\therefore a^3 + b^3 ＜ c^3.$ 故答案为＜.
解析
【分析】
要比较直角三角形中$a^3 + b^3$与$c^3$的大小，先利用直角三角形的性质：直角边$a$、$b$都小于斜边$c$，对$a^3$和$b^3$进行合理放缩，再结合勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$，将放缩后的式子转化为与$c^3$相关的表达式，从而得出两者的大小关系。
【解析】
因为直角三角形中，直角边小于斜边，所以$0 ＜ a ＜ c$，$0 ＜ b ＜ c$。
由此可得：$a^3 = a · a^2 ＜ c · a^2$，$b^3 = b · b^2 ＜ c · b^2$。
将两式相加得：$a^3 + b^3 ＜ c · a^2 + c · b^2 = c(a^2 + b^2)$。
根据勾股定理，直角三角形中$a^2 + b^2 = c^2$，代入上式得：$c(a^2 + b^2) = c · c^2 = c^3$。
因此，$a^3 + b^3 ＜ c^3$。
【答案】
＜
【知识点】
勾股定理、直角三角形性质
【点评】
本题通过放缩法结合勾股定理比较代数式大小，考查学生对勾股定理的应用及不等式放缩的基本思路，是代数与几何结合的典型中等题。
【难度系数】
0.5
要比较直角三角形中$a^3 + b^3$与$c^3$的大小，先利用直角三角形的性质：直角边$a$、$b$都小于斜边$c$，对$a^3$和$b^3$进行合理放缩，再结合勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$，将放缩后的式子转化为与$c^3$相关的表达式，从而得出两者的大小关系。
【解析】
因为直角三角形中，直角边小于斜边，所以$0 ＜ a ＜ c$，$0 ＜ b ＜ c$。
由此可得：$a^3 = a · a^2 ＜ c · a^2$，$b^3 = b · b^2 ＜ c · b^2$。
将两式相加得：$a^3 + b^3 ＜ c · a^2 + c · b^2 = c(a^2 + b^2)$。
根据勾股定理，直角三角形中$a^2 + b^2 = c^2$，代入上式得：$c(a^2 + b^2) = c · c^2 = c^3$。
因此，$a^3 + b^3 ＜ c^3$。
【答案】
＜
【知识点】
勾股定理、直角三角形性质
【点评】
本题通过放缩法结合勾股定理比较代数式大小，考查学生对勾股定理的应用及不等式放缩的基本思路，是代数与几何结合的典型中等题。
【难度系数】
0.5
9. 与$7 - \sqrt{15}$最接近的整数是
3
.答案
【点拨】本题考查无理数的估值.
【解析】$\because \sqrt{9} = 3,\sqrt{16} = 4,\therefore 3 ＜ \sqrt{15} ＜ 4$且$\sqrt{15}$比较接近4.
∴ 与$7 - \sqrt{15}$最接近的整数是7 - 4 = 3. 故答案为3.
【解析】$\because \sqrt{9} = 3,\sqrt{16} = 4,\therefore 3 ＜ \sqrt{15} ＜ 4$且$\sqrt{15}$比较接近4.
∴ 与$7 - \sqrt{15}$最接近的整数是7 - 4 = 3. 故答案为3.
解析
【分析】要找到与$7 - \sqrt{15}$最接近的整数，需先利用“夹逼法”估算出$\sqrt{15}$的近似值，确定$\sqrt{15}$更接近的整数，再通过计算$7$减去该整数，即可得到结果。
【解析】解：因为$\sqrt{9}=3$，$\sqrt{16}=4$，且$9＜15＜16$，所以$3＜\sqrt{15}＜4$。又因为$15$与$16$的距离（差为$1$）小于$15$与$9$的距离（差为$6$），所以$\sqrt{15}$更接近$4$。因此$7 - \sqrt{15}$更接近$7 - 4 = 3$，即与$7 - \sqrt{15}$最接近的整数是$3$。
【答案】$3$
【知识点】无理数的估值
【点评】本题考查无理数的估算，核心是运用夹逼法确定无理数的近似值，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】$0.6$
【解析】解：因为$\sqrt{9}=3$，$\sqrt{16}=4$，且$9＜15＜16$，所以$3＜\sqrt{15}＜4$。又因为$15$与$16$的距离（差为$1$）小于$15$与$9$的距离（差为$6$），所以$\sqrt{15}$更接近$4$。因此$7 - \sqrt{15}$更接近$7 - 4 = 3$，即与$7 - \sqrt{15}$最接近的整数是$3$。
【答案】$3$
【知识点】无理数的估值
【点评】本题考查无理数的估算，核心是运用夹逼法确定无理数的近似值，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】$0.6$
10. 如图是某广告商制作甲、乙两种酒的价格变化的折线统计图,则酒的价格增长比较快的是
乙
.（填“甲”或“乙”）答案
【点拨】本题考查折线统计图.
【解析】由题图可知,甲种酒的价格从2014年到2022年增长了60 - 40 = 20(元),乙种酒的价格从2018年到2022年增长了60 - 40 = 20(元),故酒的价格增长比较快的是乙. 故答案为乙.
【解析】由题图可知,甲种酒的价格从2014年到2022年增长了60 - 40 = 20(元),乙种酒的价格从2018年到2022年增长了60 - 40 = 20(元),故酒的价格增长比较快的是乙. 故答案为乙.
解析
【分析】要判断哪种酒价格增长更快，需计算两种酒价格的增长额及对应时间，通过比较相同增长额所用的时间来判断。先从折线统计图中提取甲、乙两种酒不同年份的价格，分别计算增长的价格和所用的时间，再进行对比。
【解析】由折线统计图可知：甲种酒2014年价格为40元，2022年价格为60元，价格增长了60-40=20元，所用时间为2022-2014=8年；乙种酒2018年价格为40元，2022年价格为60元，价格增长了60-40=20元，所用时间为2022-2018=4年。因为增长相同的价格，乙种酒花费的时间更短，所以乙种酒的价格增长比较快。
【答案】乙
【知识点】折线统计图、数据的分析
【点评】本题考查对折线统计图的数据分析能力，核心是通过计算增长速度判断增长快慢，属于基础的统计分析题，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】由折线统计图可知：甲种酒2014年价格为40元，2022年价格为60元，价格增长了60-40=20元，所用时间为2022-2014=8年；乙种酒2018年价格为40元，2022年价格为60元，价格增长了60-40=20元，所用时间为2022-2018=4年。因为增长相同的价格，乙种酒花费的时间更短，所以乙种酒的价格增长比较快。
【答案】乙
【知识点】折线统计图、数据的分析
【点评】本题考查对折线统计图的数据分析能力，核心是通过计算增长速度判断增长快慢，属于基础的统计分析题，难度适中。
【难度系数】0.5
11. 在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的4个红球,6个黑球,现在再放入$m(m＞1)$个黑球并摇匀.若随机摸出一个球是黑球的可能性大小是$\dfrac{4}{5}$,则$m$的值为
10
.答案
【点拨】本题考查概率公式.
【解析】根据题意,得$\dfrac{6 + m}{10 + m} = \dfrac{4}{5}$,解得m = 10. 故答案为10.
【解析】根据题意,得$\dfrac{6 + m}{10 + m} = \dfrac{4}{5}$,解得m = 10. 故答案为10.
解析
【分析】要解决本题，需利用概率公式：随机事件的概率等于该事件包含的结果数除以所有可能的结果总数。首先确定加入m个黑球后，黑球的总数量和袋子中球的总数量，再根据题目给出的摸出黑球的概率，列出关于m的方程，解方程并结合m＞1的条件确定最终结果。
【解析】加入m（m＞1）个黑球后，黑球的总个数为$6+m$，袋子中球的总个数为$4+6+m=10+m$。根据摸出黑球的概率为$\dfrac{4}{5}$，结合概率公式可得：
$\dfrac{6 + m}{10 + m} = \dfrac{4}{5}$
去分母得：$5(6 + m) = 4(10 + m)$
展开得：$30 + 5m = 40 + 4m$
移项合并同类项得：$m = 10$
验证：$m=10$满足$m＞1$，符合题意。
【答案】10
【知识点】概率公式
【点评】本题是概率公式的基础应用题，核心是准确找出对应事件的结果数与总结果数，列方程求解，难度较低，属于易得分题。
【难度系数】0.7
【解析】加入m（m＞1）个黑球后，黑球的总个数为$6+m$，袋子中球的总个数为$4+6+m=10+m$。根据摸出黑球的概率为$\dfrac{4}{5}$，结合概率公式可得：
$\dfrac{6 + m}{10 + m} = \dfrac{4}{5}$
去分母得：$5(6 + m) = 4(10 + m)$
展开得：$30 + 5m = 40 + 4m$
移项合并同类项得：$m = 10$
验证：$m=10$满足$m＞1$，符合题意。
【答案】10
【知识点】概率公式
【点评】本题是概率公式的基础应用题，核心是准确找出对应事件的结果数与总结果数，列方程求解，难度较低，属于易得分题。
【难度系数】0.7
12. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$AB=AC=3$,$D$是$AC$延长线上的一点,$CD=2$,$M$是边$BC$上的一点(点$M$不与点$B,C$重合),以$CD,CM$为邻边作平行四边形$CMND$,连接$AN$并取$AN$的中点$P$,连接$PM$,则$PM$的取值范围是________.
答案
【点拨】本题考查平行四边形的性质,直角三角形中线的性质,勾股定理.
【解析】$\because AB = AC = 3,CD = 2,\therefore AD = 5$. 由题意,得△ABC是等腰直角三角形,四边形CMND是平行四边形,
∴ DN//BC,DN = CM,CD//MN,CD = MN = 2,∠ADN = ∠ACB = ∠ABC = ∠CMN = 45°,
∵ 点P是AN的中点,点M在BC上运动,
∴ 点P在平行于BC的直线上运动,
∴ 当PM⊥BC时,PM取得最小值,当点M与点B重合时,PM取得最大值. 如图1,当PM⊥BC时,取AD的中点Q,连接PQ,过点Q作QG⊥BC于点G,则$AQ = DQ = \dfrac{5}{2}$,
∴ PM//QG,易得四边形PMGQ是矩形,
∴ PM = QG. $\because QC = AC - AQ = 3 - \dfrac{5}{2} = \dfrac{1}{2}$. 在Rt△QGC中,由勾股定理易得$QG = \dfrac{\sqrt{2}}{4}$,
∴ PM的最小值为$\dfrac{\sqrt{2}}{4}$. 如图2,当点M与点B重合时,
∵ ∠ABC = ∠CMN = 45°,
∴ ∠ABN = 90°. 在Rt△ABN中,由勾股定理得,$AN = \sqrt{AB^2 + BN^2} = \sqrt{13}$.
∵ 点P是AN的中点,
∴ $BP = PM = \dfrac{1}{2}AN = \dfrac{\sqrt{13}}{2}$,
∴ PM的最大值为$\dfrac{\sqrt{13}}{2}$.
∵ 点M不与点B,C重合,
∴ PM的取值范围是$\dfrac{\sqrt{2}}{4} \le PM ＜ \dfrac{\sqrt{13}}{2}$. 故答案为$\dfrac{\sqrt{2}}{4} \le PM ＜ \dfrac{\sqrt{13}}{2}$.
解析
【分析】
要确定PM的取值范围，需先分析动点P的轨迹：已知P是AN的中点，结合平行四边形CMND的性质，可通过构造中位线找到P的运动轨迹，再利用垂线段最短求最小值，结合直角三角形斜边中线性质求最大值，同时注意点M不与B、C重合的条件。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=AC=3$，$CD=2$，故$AD=AC+CD=5$，$△ ABC$为等腰直角三角形，$∠ ACB=∠ ABC=45°$。
∵四边形$CMND$是平行四边形，
∴$DN// BC$，$DN=CM$，$CD// MN$，$CD=MN=2$，$∠ ADN=∠ ACB=45°$。
取$AD$的中点$Q$，连接$PQ$，
∵$P$是$AN$的中点，
∴$PQ$是$△ AND$的中位线，故$PQ// DN$且$PQ=\frac{1}{2}DN$，结合$DN// BC$，得$PQ// BC$，即点$P$在平行于$BC$的直线上运动。
1. 求PM的最小值：当$PM⊥ BC$时，$PM$取得最小值。过$Q$作$QG⊥ BC$于$G$，则四边形$PMGQ$为矩形，$PM=QG$。$AQ=DQ=\frac{5}{2}$，$QC=AC-AQ=3-\frac{5}{2}=\frac{1}{2}$，在$\mathrm{Rt}△QGC$中，$∠ QCG=45°$，故$QG=QC·\sin45°=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}$，即$PM_{\mathrm{最小}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$。
2. 求PM的最大值：当点$M$接近$B$时（$M$不与$B$重合），$PM$接近最大值。当$M$与$B$重合时，$BN$的长度可由勾股定理得$AN=\sqrt{AB^2+BN^2}=\sqrt{13}$，
∵$P$是$AN$中点，
∴$PM=\frac{1}{2}AN=\frac{\sqrt{13}}{2}$，因$M$不与$B$重合，故$PM＜\frac{\sqrt{13}}{2}$。
综上，$PM$的取值范围是$\frac{\sqrt{2}}{4}\le PM＜\frac{\sqrt{13}}{2}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{2}}{4} \le PM ＜ \dfrac{\sqrt{13}}{2}$
【知识点】
平行四边形性质，勾股定理，三角形中位线定理
【点评】
本题为动态几何最值问题，核心是通过构造中位线确定动点轨迹，结合垂线段最短和直角三角形斜边中线性质求解临界值，需注意点不重合对区间的影响，综合考查几何定理的应用能力。
【难度系数】
0.4
要确定PM的取值范围，需先分析动点P的轨迹：已知P是AN的中点，结合平行四边形CMND的性质，可通过构造中位线找到P的运动轨迹，再利用垂线段最短求最小值，结合直角三角形斜边中线性质求最大值，同时注意点M不与B、C重合的条件。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=AC=3$，$CD=2$，故$AD=AC+CD=5$，$△ ABC$为等腰直角三角形，$∠ ACB=∠ ABC=45°$。
∵四边形$CMND$是平行四边形，
∴$DN// BC$，$DN=CM$，$CD// MN$，$CD=MN=2$，$∠ ADN=∠ ACB=45°$。
取$AD$的中点$Q$，连接$PQ$，
∵$P$是$AN$的中点，
∴$PQ$是$△ AND$的中位线，故$PQ// DN$且$PQ=\frac{1}{2}DN$，结合$DN// BC$，得$PQ// BC$，即点$P$在平行于$BC$的直线上运动。
1. 求PM的最小值：当$PM⊥ BC$时，$PM$取得最小值。过$Q$作$QG⊥ BC$于$G$，则四边形$PMGQ$为矩形，$PM=QG$。$AQ=DQ=\frac{5}{2}$，$QC=AC-AQ=3-\frac{5}{2}=\frac{1}{2}$，在$\mathrm{Rt}△QGC$中，$∠ QCG=45°$，故$QG=QC·\sin45°=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}$，即$PM_{\mathrm{最小}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$。
2. 求PM的最大值：当点$M$接近$B$时（$M$不与$B$重合），$PM$接近最大值。当$M$与$B$重合时，$BN$的长度可由勾股定理得$AN=\sqrt{AB^2+BN^2}=\sqrt{13}$，
∵$P$是$AN$中点，
∴$PM=\frac{1}{2}AN=\frac{\sqrt{13}}{2}$，因$M$不与$B$重合，故$PM＜\frac{\sqrt{13}}{2}$。
综上，$PM$的取值范围是$\frac{\sqrt{2}}{4}\le PM＜\frac{\sqrt{13}}{2}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{2}}{4} \le PM ＜ \dfrac{\sqrt{13}}{2}$
【知识点】
平行四边形性质，勾股定理，三角形中位线定理
【点评】
本题为动态几何最值问题，核心是通过构造中位线确定动点轨迹，结合垂线段最短和直角三角形斜边中线性质求解临界值，需注意点不重合对区间的影响，综合考查几何定理的应用能力。
【难度系数】
0.4
13. 如图，A，B两点的坐标分别为$(4,0)$，$(6,3)$，C是平面直角坐标系内一点. 若四边形$OABC$是平行四边形，则点C的坐标为________.
答案
【点拨】本题考查平行四边形的性质.
【解析】
∵ 点A(4,0),
∴ OA = 4.
∵ 四边形OABC是平行四边形,
∴ BC = AO = 4,AO//BC.
∵ 点B(6,3),
∴ 点C(2,3). 故答案为(2,3).
【解析】
∵ 点A(4,0),
∴ OA = 4.
∵ 四边形OABC是平行四边形,
∴ BC = AO = 4,AO//BC.
∵ 点B(6,3),
∴ 点C(2,3). 故答案为(2,3).
解析
【分析】要确定平行四边形中点C的坐标，需利用平行四边形对边平行且相等的性质。已知O为坐标原点，A(4,0)、B(6,3)，四边形OABC是平行四边形，因此OA与BC是一组对边，OA平行且等于BC，结合OA的方向和长度，即可求出点C的坐标。
【解析】
∵ O是坐标原点，
∴ O(0,0)，已知A(4,0)，B(6,3)。
∵ 四边形OABC是平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等的性质，得BC//OA，且BC=OA。
OA在x轴上，长度为4，因此BC也平行于x轴，点C的纵坐标与点B的纵坐标相同，为3；
又BC长度为4，点B的横坐标为6，故点C的横坐标为6 - 4 = 2，因此点C的坐标为(2,3)。
【答案】(2,3)
【知识点】平行四边形性质、平面直角坐标系中点的坐标
【点评】本题考查平行四边形性质在平面直角坐标系中的应用，核心是利用对边平行且相等确定点的坐标，属于基础题型，难度不大。
【难度系数】0.6
【解析】
∵ O是坐标原点，
∴ O(0,0)，已知A(4,0)，B(6,3)。
∵ 四边形OABC是平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等的性质，得BC//OA，且BC=OA。
OA在x轴上，长度为4，因此BC也平行于x轴，点C的纵坐标与点B的纵坐标相同，为3；
又BC长度为4，点B的横坐标为6，故点C的横坐标为6 - 4 = 2，因此点C的坐标为(2,3)。
【答案】(2,3)
【知识点】平行四边形性质、平面直角坐标系中点的坐标
【点评】本题考查平行四边形性质在平面直角坐标系中的应用，核心是利用对边平行且相等确定点的坐标，属于基础题型，难度不大。
【难度系数】0.6
14. 如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC = 90°,AB = AC,P$是$△ ABC$内一点.若$PA = 1,PC = 2,∠ APC = 135°$,则$PB$的长为________.
答案
【点拨】本题考查旋转的性质,勾股定理,等腰直角三角形的判定与性质.
【解析】如图,把△APC绕点A顺时针旋转90°得到△ADB,
∴ AP = AD = 1,PC = DB = 2,∠ACP = ∠ABD,根据旋转的性质可得△APD是等腰直角三角形,
∴ ∠APD = ∠ADP = 45°,$PD = \sqrt{2}$.
∵ ∠APC = 135°,
∴ ∠APC + ∠APD = 180°,
∴ 点C,P,D在同一条直线上.
∵ ∠BAC = 90°,AB = AC,
∴ ∠ABC + ∠ACB = 90°.
∵ ∠ACP = ∠ABD,
∴ ∠DBC + ∠PCB = 90°,
∴ ∠BDC = 90°,在Rt△BDP中,根据勾股定理,得$PB = \sqrt{BD^2 + PD^2} = \sqrt{4 + 2} = \sqrt{6}$. 故答案为$\sqrt{6}$.
解析
【分析】
本题是等腰直角三角形内求一点到顶点的距离，解题核心是利用旋转的性质将分散的线段集中，构造可解的直角三角形。由于△ABC是等腰直角三角形（∠BAC=90°，AB=AC），因此将△APC绕点A顺时针旋转90°，使AC与AB重合，得到△ADB，这样可将PC转化为DB，PA转化为AD，同时构造出等腰直角三角形APD，结合已知角度推出直角，最终用勾股定理计算PB。
【解析】
1. 旋转构造：把△APC绕点A顺时针旋转90°得到△ADB，根据旋转的性质可得：
AP = AD = 1，PC = DB = 2，∠APC = ∠ADB = 135°，且∠PAD = ∠BAC = 90°。
2. 求PD的长度：
由∠PAD=90°，AP=AD，可知△APD是等腰直角三角形，因此∠ADP=∠APD=45°，根据勾股定理得：
PD = √(AP² + AD²) = √(1² + 1²) = √2。
3. 证明直角三角形：
因为∠ADB=135°，∠ADP=45°，所以∠BDP = ∠ADB - ∠ADP = 135° - 45° = 90°，即△BDP是直角三角形。
4. 计算PB：
在Rt△BDP中，根据勾股定理：
PB = √(BD² + PD²) = √(2² + (√2)²) = √(4 + 2) = √6。
【答案】
√6
【知识点】
旋转的性质、勾股定理、等腰直角三角形
【点评】
本题通过旋转将分散的线段和角度集中，是解决等腰直角三角形内点相关问题的经典方法，关键在于利用旋转的不变性转化图形，构造直角三角形简化计算，体现了几何变换在解题中的重要作用。
【难度系数】
0.4
本题是等腰直角三角形内求一点到顶点的距离，解题核心是利用旋转的性质将分散的线段集中，构造可解的直角三角形。由于△ABC是等腰直角三角形（∠BAC=90°，AB=AC），因此将△APC绕点A顺时针旋转90°，使AC与AB重合，得到△ADB，这样可将PC转化为DB，PA转化为AD，同时构造出等腰直角三角形APD，结合已知角度推出直角，最终用勾股定理计算PB。
【解析】
1. 旋转构造：把△APC绕点A顺时针旋转90°得到△ADB，根据旋转的性质可得：
AP = AD = 1，PC = DB = 2，∠APC = ∠ADB = 135°，且∠PAD = ∠BAC = 90°。
2. 求PD的长度：
由∠PAD=90°，AP=AD，可知△APD是等腰直角三角形，因此∠ADP=∠APD=45°，根据勾股定理得：
PD = √(AP² + AD²) = √(1² + 1²) = √2。
3. 证明直角三角形：
因为∠ADB=135°，∠ADP=45°，所以∠BDP = ∠ADB - ∠ADP = 135° - 45° = 90°，即△BDP是直角三角形。
4. 计算PB：
在Rt△BDP中，根据勾股定理：
PB = √(BD² + PD²) = √(2² + (√2)²) = √(4 + 2) = √6。
【答案】
√6
【知识点】
旋转的性质、勾股定理、等腰直角三角形
【点评】
本题通过旋转将分散的线段和角度集中，是解决等腰直角三角形内点相关问题的经典方法，关键在于利用旋转的不变性转化图形，构造直角三角形简化计算，体现了几何变换在解题中的重要作用。
【难度系数】
0.4
15. 如图,四边形ABCD为平行四边形,延长AD到点E使$DE = AD$,且$BE ⊥ DC$.若$△ ADB$是边长为3的等边三角形,点P,M,N分别在线段BE,BC,CE上运动,则$PM + PN$的最小值为________.
答案
【点拨】本题考查菱形的判定和性质,最短路径问题.
【解析】如图,作点N关于直线BE的对称点N',则点N'在DE上,
∴ PM + PN = PM + PN'. 当P,M,N'三点共线时,PM + PN = PM + PN' = MN',过点D作DH⊥BC于点H,
∵ DE//BC,
∴ MN'的最小值为平行线之间的距离,即DH的长. 由题意易得,四边形BDEC是菱形.
∵ △ADB是边长为3的等边三角形,
∴ BD = BC = CD = 3,
∴ $BE = 2 × \sqrt{3^2 - 1.5^2} = 3\sqrt{3}$,
∴ $DH = \dfrac{\dfrac{1}{2} × 3 × 3\sqrt{3}}{3} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$,
∴ PM + PN的最小值为$\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$. 故答案为$\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$.
解析
【分析】首先根据平行四边形的性质和DE=AD，证得四边形BDEC是平行四边形，结合BE⊥DC，判定其为菱形；要求PM+PN的最小值，利用对称点将PN转化为PN'，则PM+PN=PM+PN'，当M、P、N'共线且MN'为平行线DE与BC间的距离时，线段和最小，最后计算该距离即可。
【解析】
1. 判定四边形BDEC为菱形：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，AD=BC。
又DE=AD，
∴ DE//BC，DE=BC，故四边形BDEC是平行四边形。
∵ BE⊥DC，
∴ 平行四边形BDEC是菱形，得BD=BC=CD=3。
2. 转化线段求最小值：
作点N关于直线BE的对称点N'，则N'在DE上，故PN=PN'，因此PM+PN=PM+PN'。
当M、P、N'三点共线，且MN'⊥DE（即MN'为DE与BC间的距离）时，PM+PN最小，最小值为两平行线间的距离DH。
3. 计算DH的长度：
∵ △ADB是边长为3的等边三角形，
∴ BD=3，菱形BDEC中DC=BD=3，BE⊥DC，设BE与DC交于中点O，则DO=3/2。
在Rt△DOE中，OE=√(DE²-DO²)=√(3²-(3/2)²)= (3√3)/2，故BE=2OE=3√3。
菱形BDEC的面积= (DC×BE)/2 = (3×3√3)/2 = (9√3)/2，又面积= BC×DH，BC=3，因此DH= (9√3/2)÷3 = (3√3)/2。
即PM+PN的最小值为$\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$。
【答案】$\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$
【知识点】菱形的判定与性质、最短路径问题、等边三角形的性质
【点评】本题综合考查几何图形的判定、最短路径的对称转化思想，需结合平行四边形、等边三角形的性质计算线段长度，关键是将线段和的最小值转化为平行线间的距离，对几何综合应用能力要求较高。
【难度系数】0.4
【解析】
1. 判定四边形BDEC为菱形：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，AD=BC。
又DE=AD，
∴ DE//BC，DE=BC，故四边形BDEC是平行四边形。
∵ BE⊥DC，
∴ 平行四边形BDEC是菱形，得BD=BC=CD=3。
2. 转化线段求最小值：
作点N关于直线BE的对称点N'，则N'在DE上，故PN=PN'，因此PM+PN=PM+PN'。
当M、P、N'三点共线，且MN'⊥DE（即MN'为DE与BC间的距离）时，PM+PN最小，最小值为两平行线间的距离DH。
3. 计算DH的长度：
∵ △ADB是边长为3的等边三角形，
∴ BD=3，菱形BDEC中DC=BD=3，BE⊥DC，设BE与DC交于中点O，则DO=3/2。
在Rt△DOE中，OE=√(DE²-DO²)=√(3²-(3/2)²)= (3√3)/2，故BE=2OE=3√3。
菱形BDEC的面积= (DC×BE)/2 = (3×3√3)/2 = (9√3)/2，又面积= BC×DH，BC=3，因此DH= (9√3/2)÷3 = (3√3)/2。
即PM+PN的最小值为$\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$。
【答案】$\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$
【知识点】菱形的判定与性质、最短路径问题、等边三角形的性质
【点评】本题综合考查几何图形的判定、最短路径的对称转化思想，需结合平行四边形、等边三角形的性质计算线段长度，关键是将线段和的最小值转化为平行线间的距离，对几何综合应用能力要求较高。
【难度系数】0.4
16. 如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=2,以点A为旋转中心,逆时针旋转矩形ABCD,旋转角为α(0°＜α＜180°),得到矩形AEFG,点B、点C、点D的对应点分别为点E、点F、点G.设P为边FG的中点,连接PB,PE,在矩形ABCD旋转过程中,△BEP的面积最大值是
$\dfrac{27}{4}$
.答案
【点拨】本题考查矩形的性质,三角形面积.
【解析】如图,连接PA,过点A作AM⊥PE于点M,当A,M,B三点共线时,△BEP的面积最大. 由题意,得$PF = PG = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{3}{2}$. 又
∵ AG = EF = 2,∠G = ∠F = 90°,
∴ $PA = PE = \dfrac{5}{2}$. 易得$S_{△ APE} = \dfrac{1}{2}S_{矩形AGFE} = \dfrac{1}{2}PE · AM,\therefore AM = \dfrac{S_{矩形AGFE}}{PE} = \dfrac{6}{\dfrac{5}{2}} = \dfrac{12}{5}$,
∴ $S_{△ BPE} = \dfrac{1}{2}PE · BM = \dfrac{1}{2} × \dfrac{5}{2} × (3 + \dfrac{12}{5}) = \dfrac{27}{4}$,
∴ △BEP的面积的最大值为$\dfrac{27}{4}$. 故答案为$\dfrac{27}{4}$.
解析
【分析】
要解决△BEP的面积最大值问题，需结合矩形旋转的性质逐步分析：
1. 矩形旋转后对应边相等，可确定旋转后矩形AEFG的边长；
2. 利用P是FG中点，结合勾股定理计算PA、PE的长度，判断△APE的面积；
3. △BEP以PE为底，其高为点B到直线PE的距离，找到该距离最大的位置，即可求出面积最大值。
【解析】
解：连接PA，过点A作AM⊥PE于点M，
∵矩形ABCD以点A为旋转中心逆时针旋转得到矩形AEFG，
∴AG=AD=2，GF=AB=3，∠G=∠F=90°，
∵P为FG中点，
∴GP=FP=½GF=3/2，
在Rt△AGP中，由勾股定理得：
PA=√(AG² + GP²)=√(2² + (3/2)²)=5/2，
同理可得PE=5/2，即△APE为等腰三角形，
矩形AGFE的面积=AG×GF=2×3=6，
∵AM⊥PE，
∴S△APE=½S矩形AGFE=½×6=3，
又
∵S△APE=½×PE×AM，
∴AM=(2×S△APE)/PE=(2×3)/(5/2)=12/5，
当A、M、B三点共线时，点B到直线PE的距离最大，此时BM=BA + AM=3 + 12/5=27/5，
∴△BEP的面积最大值=½×PE×BM=½×(5/2)×(27/5)=27/4。
【答案】
27/4
【知识点】
矩形的性质、旋转的性质、三角形面积计算
【点评】
本题为动态几何最值问题，需利用旋转的不变性，结合勾股定理、三角形面积公式分析点到直线的最大距离，对几何逻辑分析能力有一定要求，是中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.4
要解决△BEP的面积最大值问题，需结合矩形旋转的性质逐步分析：
1. 矩形旋转后对应边相等，可确定旋转后矩形AEFG的边长；
2. 利用P是FG中点，结合勾股定理计算PA、PE的长度，判断△APE的面积；
3. △BEP以PE为底，其高为点B到直线PE的距离，找到该距离最大的位置，即可求出面积最大值。
【解析】
解：连接PA，过点A作AM⊥PE于点M，
∵矩形ABCD以点A为旋转中心逆时针旋转得到矩形AEFG，
∴AG=AD=2，GF=AB=3，∠G=∠F=90°，
∵P为FG中点，
∴GP=FP=½GF=3/2，
在Rt△AGP中，由勾股定理得：
PA=√(AG² + GP²)=√(2² + (3/2)²)=5/2，
同理可得PE=5/2，即△APE为等腰三角形，
矩形AGFE的面积=AG×GF=2×3=6，
∵AM⊥PE，
∴S△APE=½S矩形AGFE=½×6=3，
又
∵S△APE=½×PE×AM，
∴AM=(2×S△APE)/PE=(2×3)/(5/2)=12/5，
当A、M、B三点共线时，点B到直线PE的距离最大，此时BM=BA + AM=3 + 12/5=27/5，
∴△BEP的面积最大值=½×PE×BM=½×(5/2)×(27/5)=27/4。
【答案】
27/4
【知识点】
矩形的性质、旋转的性质、三角形面积计算
【点评】
本题为动态几何最值问题，需利用旋转的不变性，结合勾股定理、三角形面积公式分析点到直线的最大距离，对几何逻辑分析能力有一定要求，是中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.4
