【典例1】(教材P119活动1)如图是某月的月历.
(1)选择其中所示的方框部分,将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘,再相减,能得出什么结论?请再选择几个类似的部分试一试,看一看是否符合这个规律;
(2)请利用整式的运算对以上的规律加以证明.

(1)差不变,为7;
(2)第一个数为x,
$(x+1)(x+7)-x(x+8)$
$=x^2+8x+7-x^2-8x=7.$

变式1.在月历中任意取$3× 3$方框，取“十字型”的5个数字如下探究$ab-xy$的值.

解:设中间数为m,则
$ab-xy=(m-1)(m+1)-(m-7)(m+7)$
$=m^2-1-(m^2-49)=48.$

变式2.如图所示的是2025年1月份的月历，“Z字型”“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字(两种阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右平移).将“Z字型”覆盖的最小的数与最大的数的乘积记作$m$，将“十字型”覆盖的最小的数与最大的数的乘积记作$n$，若$m-n=30$，则$m+n$的值为.

解:设“Z字型”最小数为x,最大数为$x+16$,
$\therefore m=x(x+16),$
“十字型”最小数为y,最大数为$y+14$,
$n=y(y+14),m-n=30,$
$x(x+16)-y(y+14)=30,$
$\therefore (x+y+15)(x-y+1)=45,$
$\because x,y$为正整数,
$\therefore \begin{cases} x-y+1=1 \\ x+y+15=45 \end{cases},$
$\therefore x=y=15,\therefore m+n=900.$

【典例2】我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律：
$15×15=225=1×2×100+25$，
$25×25=625=2×3×100+25$，
$35×35=1225=3×4×100+25$，
……
你能写出一般的规律吗？你能用所学知识证明你的结论吗？

证明:$(10n+5)^2=n(n+1)×100+25.$
$(10n+5)^2=100n^2+100n+25=100n(n+1)+25.$