[典例1]计算：
(1)$a^7 · a^3 ÷ a^2$；
(2)$(-2m^2)^3 - (m^3)^2$；
(3)$3a^3 · 2a^3 + a^8 ÷ a^2 - (-2a^2)^3$。

1. $a^7 · a^3 ÷ a^2 = a^{7+3-2} = a^8.$
2. $(-2m^2)^3 - (m^3)^2=-8m^6 - m^6=-9m^6.$
3. $3a^3 · 2a^3 + a^8 ÷ a^2 - (-2a^2)^3=6a^6 + a^6 + 8a^6 = 15a^6.$

【分析】
这三道题均属于整式的混合运算，解题时遵循“先乘方，再乘除，最后加减，同级运算从左到右计算”的顺序：
(1) 属于同底数幂的乘除同级运算，直接运用同底数幂乘除法则：同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减，合并指数即可。
(2) 先分别计算两个乘方运算：第一个用积的乘方法则（把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘）和幂的乘方法则（底数不变，指数相乘）计算，第二个直接用幂的乘方法则计算，最后合并同类项即可，注意负号的运算。
(3) 先分别计算单项式乘法、同底数幂除法、积的乘方三个部分，再合并同类项，特别注意最后一项的符号处理。
【解析】
(1) 根据同底数幂乘除运算法则计算：
$a^7 · a^3 ÷ a^2 = a^{7+3-2} = a^8$
(2) 先计算乘方，再合并同类项：
$(-2m^2)^3 - (m^3)^2=(-2)^3·(m^2)^3 - m^{3×2}=-8m^6 - m^6=-9m^6$
(3) 分别计算乘除、乘方后合并同类项：
$3a^3 · 2a^3 + a^8 ÷ a^2 - (-2a^2)^3=3×2·a^{3+3} + a^{8-2} - [(-2)^3·(a^2)^3]=6a^6 + a^6 +8a^6 = 15a^6$
【答案】
(1) $a^8$；(2) $-9m^6$；(3) $15a^6$
【知识点】
同底数幂的乘除、幂的乘方与积的乘方、整式混合运算
【点评】
本题重点考查幂的相关运算法则及整式的混合运算顺序，解题的核心是熟练掌握各类运算法则，运算时需格外注意符号的判断，避免因符号处理错误导致失分。
【难度系数】
0.8

[典例2]计算：
(1)$(-2x)^3(2x^3 - \frac{1}{2}x -1) -2x · (2x^3 +4x^2)$；
(2)$(x+3)(x-5) -x(x-1)$。

1. $(-2x)^3(2x^3 - \frac{1}{2}x - 1) - 2x(2x^3 + 4x^2)$
$= -8x^3(2x^3 - \frac{1}{2}x - 1) - (4x^4 + 8x^3)$
$= -16x^6 + 4x^4 + 8x^3 - 4x^4 - 8x^3$
$= -16x^6.$
2. $(x+3)(x-5) - x(x-1)$
$= x^2 -5x +3x -15 -x^2 +x$
$= -x -15.$

【分析】
本题考查整式的混合运算，解题遵循整式运算的优先级：先算乘方，再算乘除，最后算加减，最后合并同类项完成化简。
(1) 首先计算积的乘方$(-2x)^3$，再分别完成两个单项式乘多项式的运算，随后去括号，最后合并同类项得到结果；计算时注意不要漏乘多项式的项，去括号时要关注符号变化。
(2) 首先分别计算多项式乘多项式$(x+3)(x-5)$、单项式乘多项式$x(x-1)$，再去括号，最后合并同类项即可，计算多项式乘法时不要漏乘，遇到负号去括号要逐项变号。
【解析】
(1)
$(-2x)^3(2x^3 - \frac{1}{2}x - 1) - 2x(2x^3 + 4x^2)$
$= -8x^3(2x^3 - \frac{1}{2}x - 1) - (4x^4 + 8x^3)$
$= -16x^6 + 4x^4 + 8x^3 - 4x^4 - 8x^3$
$= -16x^6$
(2)
$(x+3)(x-5) - x(x-1)$
$= x^2 -5x +3x -15 -x^2 +x$
$= -x -15$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-16x^6}$；(2) $\boldsymbol{-x -15}$
【知识点】
整式的混合运算、单项式乘多项式、多项式乘多项式
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心考查对整式运算法则的掌握熟练度，计算时需重点注意符号问题，避免出现漏乘、去括号符号错误、合并同类项失误等常见问题。
【难度系数】
0.8