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[典例3]如图,在$△ ABC$中,CD平分$∠ BCA$,CD交AB于点E,在AE上取一点F,连接DF,使$∠ 1=∠ D$.
(1)求证$DF// BC$；
(2)当$∠ A=36°,∠ DFE=34°$时,求$∠ 2$的度数.
(1)求证$DF// BC$；
(2)当$∠ A=36°,∠ DFE=34°$时,求$∠ 2$的度数.
答案
典例3
(1)证明
∵CD平分∠BCA，
∴∠DCB=∠1.
∵∠1=∠D，
∴∠DCB=∠D，
∴DF//BC.
(2)解
∵DF//BC，∠DFE=34°，
∴∠B=∠DFE=34°，
∴∠ACB=180°−∠A−∠B=180°−36°−34°=110°.
∵CD平分∠BCA，即∠1=1/2∠ACB=55°,
∴∠2＝180°－∠A－∠1＝180°－36°－55°＝89°.
(1)证明
∵CD平分∠BCA，
∴∠DCB=∠1.
∵∠1=∠D，
∴∠DCB=∠D，
∴DF//BC.
(2)解
∵DF//BC，∠DFE=34°，
∴∠B=∠DFE=34°，
∴∠ACB=180°−∠A−∠B=180°−36°−34°=110°.
∵CD平分∠BCA，即∠1=1/2∠ACB=55°,
∴∠2＝180°－∠A－∠1＝180°－36°－55°＝89°.
解析
【分析】
(1)要证明$DF// BC$，可通过证明内错角相等实现：先利用角平分线的定义得到$∠ DCB=∠1$，结合已知$∠1=∠ D$，等量代换得到$∠ DCB=∠ D$，这组角是$DF$和$BC$被$CD$所截的内错角，根据内错角相等即可判定两直线平行。
(2)求$∠2$的度数：首先利用(1)中$DF// BC$的结论，根据平行线性质得到$∠ B=∠ DFE$，再结合已知$∠ A$的度数，用三角形内角和定理求出$∠ ACB$的度数，再由角平分线定义算出$∠1$的度数，最后在$△ AEC$中用三角形内角和即可求出$∠2$的度数。
【解析】
(1)证明：
$\because CD$平分$∠ BCA$，
$\therefore ∠ DCB=∠1$。
$\because ∠1=∠ D$，
$\therefore ∠ DCB=∠ D$，
$\therefore DF// BC$。
(2)解：
$\because DF// BC$，$∠ DFE=34°$，
$\therefore ∠ B=∠ DFE=34°$，
$\therefore ∠ ACB=180°-∠ A-∠ B=180°-36°-34°=110°$。
$\because CD$平分$∠ BCA$，即$∠1=\frac{1}{2}∠ ACB=55°$，
$\therefore ∠2=180°-∠ A-∠1=180°-36°-55°=89°$。
【答案】
(1)已证$DF// BC$；
(2)$∠2$的度数为$89°$。
【知识点】
平行线的判定与性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何综合题，考查了平行线、角平分线、三角形内角和的相关知识，解题关键是梳理清楚角之间的等量关系，逐步推导即可求解，能有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
(1)要证明$DF// BC$，可通过证明内错角相等实现：先利用角平分线的定义得到$∠ DCB=∠1$，结合已知$∠1=∠ D$，等量代换得到$∠ DCB=∠ D$，这组角是$DF$和$BC$被$CD$所截的内错角，根据内错角相等即可判定两直线平行。
(2)求$∠2$的度数：首先利用(1)中$DF// BC$的结论，根据平行线性质得到$∠ B=∠ DFE$，再结合已知$∠ A$的度数，用三角形内角和定理求出$∠ ACB$的度数，再由角平分线定义算出$∠1$的度数，最后在$△ AEC$中用三角形内角和即可求出$∠2$的度数。
【解析】
(1)证明：
$\because CD$平分$∠ BCA$，
$\therefore ∠ DCB=∠1$。
$\because ∠1=∠ D$，
$\therefore ∠ DCB=∠ D$，
$\therefore DF// BC$。
(2)解：
$\because DF// BC$，$∠ DFE=34°$，
$\therefore ∠ B=∠ DFE=34°$，
$\therefore ∠ ACB=180°-∠ A-∠ B=180°-36°-34°=110°$。
$\because CD$平分$∠ BCA$，即$∠1=\frac{1}{2}∠ ACB=55°$，
$\therefore ∠2=180°-∠ A-∠1=180°-36°-55°=89°$。
【答案】
(1)已证$DF// BC$；
(2)$∠2$的度数为$89°$。
【知识点】
平行线的判定与性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何综合题，考查了平行线、角平分线、三角形内角和的相关知识，解题关键是梳理清楚角之间的等量关系，逐步推导即可求解，能有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
[典例4]如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E，点F为AC延长线上的一点，连接DF.
(1)求∠CBE的度数；
(2)若∠F＝25°，求证BE//DF.
55°, ∴∠2＝180°－∠A－∠1＝180°－36°－55°＝89°.
典例4
(1)解 ∵在△ABC中，∠ACB＝90°,∠A＝40°,∴∠CBD＝130°.
∵BE平分∠CBD,
∴∠CBE＝$\frac{1}{2}$∠CBD＝65°.
(2)证明 ∵∠ACB＝90°,∠CBE＝65°,∴∠CEB＝90°－65°＝25°.
∵∠F＝25°,
∴∠F＝∠CEB＝25°,
∴BE//DF.
(1)求∠CBE的度数；
(2)若∠F＝25°，求证BE//DF.
55°, ∴∠2＝180°－∠A－∠1＝180°－36°－55°＝89°.
典例4
(1)解 ∵在△ABC中，∠ACB＝90°,∠A＝40°,∴∠CBD＝130°.
∵BE平分∠CBD,
∴∠CBE＝$\frac{1}{2}$∠CBD＝65°.
(2)证明 ∵∠ACB＝90°,∠CBE＝65°,∴∠CEB＝90°－65°＝25°.
∵∠F＝25°,
∴∠F＝∠CEB＝25°,
∴BE//DF.
答案
典例4
(1)解
∵在△ABC中，∠ACB＝90°,∠A＝40°,
∴∠CBD＝130°.
∵BE平分∠CBD,
∴∠CBE＝$\frac{1}{2}$∠CBD＝65°.
(2)证明
∵∠ACB＝90°,∠CBE＝65°,
∴∠CEB＝90°－65°＝25°.
∵∠F＝25°,
∴∠F＝∠CEB＝25°,
∴BE//DF.
(1)解
∵在△ABC中，∠ACB＝90°,∠A＝40°,
∴∠CBD＝130°.
∵BE平分∠CBD,
∴∠CBE＝$\frac{1}{2}$∠CBD＝65°.
(2)证明
∵∠ACB＝90°,∠CBE＝65°,
∴∠CEB＝90°－65°＝25°.
∵∠F＝25°,
∴∠F＝∠CEB＝25°,
∴BE//DF.
解析
【分析】
(1)要求∠CBE的度数，已知BE是外角∠CBD的平分线，因此先求∠CBD的度数即可。根据三角形外角的性质，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，∠CBD是△ABC的外角，等于∠A加∠ACB，代入已知角度算出∠CBD后，再结合角平分线的定义即可求出∠CBE。
(2)要证明BE//DF，可通过平行线判定定理寻找相等的同位角/内错角。先在Rt△BCE中求出∠CEB的度数，再对比∠F的度数，若二者相等，即可依据角的等量关系判定两直线平行。
【解析】
(1)解：
∵在△ABC中，∠ACB＝90°,∠A＝40°,
∴∠CBD＝∠A+∠ACB=40°+90°=130°.
∵BE平分∠CBD,
∴∠CBE＝$\frac{1}{2}$∠CBD＝$\frac{1}{2}$×130°=65°.
(2)证明：
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE=180°-∠ACB=90°,
又
∵∠CBE＝65°,
∴∠CEB＝90°－∠CBE=90°－65°＝25°.
∵∠F＝25°,
∴∠F＝∠CEB＝25°,
∴BE//DF（同位角相等，两直线平行）.
【答案】
(1)∠CBE=65°；
(2)BE//DF成立。
【知识点】
三角形外角性质，角平分线的定义，平行线的判定
【点评】
本题是三角形性质与平行线判定的基础综合题，解题逻辑清晰，核心是先利用三角形外角性质得到对应角的度数，再结合角平分线、直角三角形的角度关系推导角的等量关系，最终完成平行线的证明，侧重对基础知识点的掌握和应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
(1)要求∠CBE的度数，已知BE是外角∠CBD的平分线，因此先求∠CBD的度数即可。根据三角形外角的性质，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，∠CBD是△ABC的外角，等于∠A加∠ACB，代入已知角度算出∠CBD后，再结合角平分线的定义即可求出∠CBE。
(2)要证明BE//DF，可通过平行线判定定理寻找相等的同位角/内错角。先在Rt△BCE中求出∠CEB的度数，再对比∠F的度数，若二者相等，即可依据角的等量关系判定两直线平行。
【解析】
(1)解：
∵在△ABC中，∠ACB＝90°,∠A＝40°,
∴∠CBD＝∠A+∠ACB=40°+90°=130°.
∵BE平分∠CBD,
∴∠CBE＝$\frac{1}{2}$∠CBD＝$\frac{1}{2}$×130°=65°.
(2)证明：
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE=180°-∠ACB=90°,
又
∵∠CBE＝65°,
∴∠CEB＝90°－∠CBE=90°－65°＝25°.
∵∠F＝25°,
∴∠F＝∠CEB＝25°,
∴BE//DF（同位角相等，两直线平行）.
【答案】
(1)∠CBE=65°；
(2)BE//DF成立。
【知识点】
三角形外角性质，角平分线的定义，平行线的判定
【点评】
本题是三角形性质与平行线判定的基础综合题，解题逻辑清晰，核心是先利用三角形外角性质得到对应角的度数，再结合角平分线、直角三角形的角度关系推导角的等量关系，最终完成平行线的证明，侧重对基础知识点的掌握和应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
