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14. (2023·内蒙古赤峰改编)已知 $2a^{2}-a - 3=0$, 则代数式 $(2a + 3)(2a - 3)+(2a - 1)^{2}$ 的值是
$ 4 $
.答案
14. 4 解析：原式 $ = 4a^{2} - 9 + (4a^{2} - 4a + 1) = 8a^{2} - 4a - 8 $。因为 $ 2a^{2} - a - 3 = 0 $，所以 $ 2a^{2} - a = 3 $，所以原式 $ = 4(2a^{2} - a) - 8 = 4 × 3 - 8 = 4 $
15. (2024·湖南长沙)先化简,再求值: $2m - m(m - 2)+(m + 3)(m - 3)$, 其中 $m=\dfrac{5}{2}$.
答案
15. 原式 $ = 2m - m^{2} + 2m + m^{2} - 9 = 4m - 9 $。当 $ m = \frac{5}{2} $ 时，原式 $ = 4 × \frac{5}{2} - 9 = 1 $
16. 新素养 几何直观 如图,将边长为 $m$ 的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个长方形,拿掉边长为 $n$ 的小正方形纸板后,将剩下的三块拼成新的长方形.
(1) 用含 $m$ 或 $n$ 的代数式表示拼成的长方形的周长;
(2) 若 $m = 7$, $n = 4$, 求拼成的长方形的面积.
(1) 用含 $m$ 或 $n$ 的代数式表示拼成的长方形的周长;
(2) 若 $m = 7$, $n = 4$, 求拼成的长方形的面积.
答案
16. (1) 由题意，得拼成的长方形的长为 $ m + n $，宽为 $ m - n $，所以拼成的长方形的周长为 $ 2[(m + n) + (m - n)] = 4m $
(2) 因为 $ m = 7 $，$ n = 4 $，所以拼成的长方形的面积为 $ (m + n)(m - n) = m^{2} - n^{2} = 7^{2} - 4^{2} = 33 $
(2) 因为 $ m = 7 $，$ n = 4 $，所以拼成的长方形的面积为 $ (m + n)(m - n) = m^{2} - n^{2} = 7^{2} - 4^{2} = 33 $
17. 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差,那么称该正整数为“给力数”. 如: $8=3^{2}-1^{2}$, $16=5^{2}-3^{2}$, 则 $8$ 和 $16$ 均为“给力数”. 在不大于 $2025$ 的所有正整数中,所有的“给力数”之和为 (
A.257 018
B.257 028
C.257 038
D.257 048
D
)A.257 018
B.257 028
C.257 038
D.257 048
答案
17. D 解析：设 $ n $ 为正整数，则所有的“给力数”都可用 $ (2n + 1)^{2} - (2n - 1)^{2} $ 来表示。因为 $ (2n + 1 + 2n - 1)(2n + 1 - 2n + 1) = 8n $，所以令 $ 8n = 2025 $，得 $ n = 253\frac{1}{8} $。因为 $ n $ 为正整数，所以不大于 $ 2025 $ 的所有正整数中，“给力数”共有 $ 253 $ 个，且它们的和为 $ (3^{2} - 1^{2}) + (5^{2} - 3^{2}) + (7^{2} - 5^{2}) + ··· + [(2 × 253 + 1)^{2} - (2 × 253 - 1)^{2}] = (2 × 253 + 1)^{2} - 1^{2} = 507^{2} - 1 = 257048 $
18. (2025·江苏徐州期中)给出下列等式: $(x - 1)(x + 1)=x^{2}-1$, $(x - 1)(x^{2}+x + 1)=x^{3}-1$, $(x - 1)(x^{3}+x^{2}+x + 1)=x^{4}-1$, $···$. 观察所给等式中的规律,计算: $2^{2025}+2^{2024}+2^{2023}+··· +2^{3}+2^{2}+2 + 1=$
$ 2^{2026} - 1 $
.答案
18. $ 2^{2026} - 1 $ 解析：由题意，得原式 $ = (2 - 1) × (2^{2025} + 2^{2024} + 2^{2023} + ··· + 2^{3} + 2^{2} + 2 + 1) = 2^{2026} - 1 $
19. 新趋势 推导探究
阅读材料
学完平方差公式后,小军展示了以下例题.
例:求 $(2 + 1)×(2^{2}+1)×(2^{4}+1)×(2^{8}+1)×(2^{16}+1)+1$ 的值的末位数字.
$(2 + 1)×(2^{2}+1)×(2^{4}+1)×(2^{8}+1)×(2^{16}+1)+1$
$=(2 - 1)×(2 + 1)×(2^{2}+1)×(2^{4}+1)×(2^{8}+1)×(2^{16}+1)+1$
$=(2^{2}-1)×(2^{2}+1)×(2^{4}+1)×(2^{8}+1)×(2^{16}+1)+1$
$=(2^{4}-1)×(2^{4}+1)×(2^{8}+1)×(2^{16}+1)+1$
$=(2^{8}-1)×(2^{8}+1)×(2^{16}+1)+1$
$=(2^{16}-1)×(2^{16}+1)+1$
$=2^{32}$.
由 $2^{n}$ ($n$ 为正整数) 的末位数字的规律可得 $2^{32}$ 的末位数字是 $6$.
爱动脑筋的小明想出一种新的解法: 因为 $2^{2}+1=5$, 且 $2 + 1$, $2^{4}+1$, $2^{8}+1$, $2^{16}+1$ 均为奇数, 几个奇数与 $5$ 相乘, 结果的末位数字是 $5$, 所以原式的值的末位数字是 $6$.
在数学学习中,要像小明那样,学会观察,独立思考,尝试从不同角度分析问题,这样才能学好数学.
解决问题
(1) $(2 + 1)×(2^{2}+1)×(2^{3}+1)×(2^{4}+1)×(2^{5}+1)×···×(2^{n}+1)+1$ ($n≥2$, 且 $n$ 为正整数) 的值的末位数字是
(2) $2×(3 + 1)×(3^{2}+1)×(3^{4}+1)×(3^{8}+1)×(3^{16}+1)+1$ 的值的末位数字是
(3) 计算: $2×(3 + 1)×(3^{2}+1)×(3^{4}+1)×(3^{8}+1)+1$.
阅读材料
学完平方差公式后,小军展示了以下例题.
例:求 $(2 + 1)×(2^{2}+1)×(2^{4}+1)×(2^{8}+1)×(2^{16}+1)+1$ 的值的末位数字.
$(2 + 1)×(2^{2}+1)×(2^{4}+1)×(2^{8}+1)×(2^{16}+1)+1$
$=(2 - 1)×(2 + 1)×(2^{2}+1)×(2^{4}+1)×(2^{8}+1)×(2^{16}+1)+1$
$=(2^{2}-1)×(2^{2}+1)×(2^{4}+1)×(2^{8}+1)×(2^{16}+1)+1$
$=(2^{4}-1)×(2^{4}+1)×(2^{8}+1)×(2^{16}+1)+1$
$=(2^{8}-1)×(2^{8}+1)×(2^{16}+1)+1$
$=(2^{16}-1)×(2^{16}+1)+1$
$=2^{32}$.
由 $2^{n}$ ($n$ 为正整数) 的末位数字的规律可得 $2^{32}$ 的末位数字是 $6$.
爱动脑筋的小明想出一种新的解法: 因为 $2^{2}+1=5$, 且 $2 + 1$, $2^{4}+1$, $2^{8}+1$, $2^{16}+1$ 均为奇数, 几个奇数与 $5$ 相乘, 结果的末位数字是 $5$, 所以原式的值的末位数字是 $6$.
在数学学习中,要像小明那样,学会观察,独立思考,尝试从不同角度分析问题,这样才能学好数学.
解决问题
(1) $(2 + 1)×(2^{2}+1)×(2^{3}+1)×(2^{4}+1)×(2^{5}+1)×···×(2^{n}+1)+1$ ($n≥2$, 且 $n$ 为正整数) 的值的末位数字是
$ 6 $
;(2) $2×(3 + 1)×(3^{2}+1)×(3^{4}+1)×(3^{8}+1)×(3^{16}+1)+1$ 的值的末位数字是
$ 1 $
;(3) 计算: $2×(3 + 1)×(3^{2}+1)×(3^{4}+1)×(3^{8}+1)+1$.
答案
19. (1) 6(2) 1 解析：因为 $ 3^{2} + 1 = 10 $，所以 $ 2 × (3 + 1) × (3^{2} + 1) × (3^{4} + 1) × (3^{8} + 1) × (3^{16} + 1) $ 的值的末位数字是 $ 0 $，所以 $ 2 × (3 + 1) × (3^{2} + 1) × (3^{4} + 1) × (3^{8} + 1) × (3^{16} + 1) + 1 $ 的值的末位数字是 $ 0 + 1 = 1 $(3) $ 2 × (3 + 1) × (3^{2} + 1) × (3^{4} + 1) × (3^{8} + 1) + 1 = (3 - 1) × (3 + 1) × (3^{2} + 1) × (3^{4} + 1) × (3^{8} + 1) + 1 = 3^{16} - 1 + 1 = 3^{16} $
