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14. 新趋势 情境素材 一批志愿者组成了一个“爱心团队”，专门到全国各地巡回演出，来募集爱心基金.第 1 个月他们募集到资金 1 万元，随着影响力的不断扩大，第 $n(n ≥ 2)$ 个月他们募集到的资金都比第 $(n - 1)$ 个月增加 $20\%$.若第 $m$ 个月该团队所募集到的资金首次突破 10 万元，则 $m =$
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.(参考数据：$1.2^{5} \approx 2.5$，$1.2^{6} \approx 3.0$，$1.2^{7} \approx 3.6$)答案
14. 14 解析：因为第 1 个月募集到资金 1 万元，所以第 2 个月募集到资金 $ 1 × (1 + 20\%) = 1.2 $（万元），第 3 个月募集到资金 $ 1 × (1 + 20\%)^{2} = 1.2^{2} $（万元）……第 $ n $ 个月募集到资金 $ 1 × (1 + 20\%)^{n - 1} = 1.2^{n - 1} $（万元）。由题意，得 $ 1.2^{m - 1} ＞ 10 $。因为 $ 1.2^{6} × 1.2^{6} \approx 3.0 × 3.0 = 9 ＜ 10 $，$ 1.2^{6} × 1.2^{7} \approx 3.0 × 3.6 = 10.8 ＞ 10 $，所以 $ 1.2^{m - 1} = 1.2^{6} × 1.2^{7} = 1.2^{13} $，所以 $ m - 1 = 13 $，解得 $ m = 14 $。
易错警示
要能灵活运用同底数幂的乘法运算性质。
易错警示
要能灵活运用同底数幂的乘法运算性质。
15. 计算：
(1) $(a - 1)^{4} · (a - 1)^{2} · (a - 1)$；
(2) $(a + b - c)^{2} · (c - a - b)^{3} · (a + b - c)^{5}$；
(3) $(2a + b)^{2n + 1} · (2a + b)^{3} · (2a + b)^{n - 4}$；
(4) $(x + y)^{2} · (x + y) · (x + y)^{2} + (x + y)^{2} · (x + y)^{3}$.
(1) $(a - 1)^{4} · (a - 1)^{2} · (a - 1)$；
(2) $(a + b - c)^{2} · (c - a - b)^{3} · (a + b - c)^{5}$；
(3) $(2a + b)^{2n + 1} · (2a + b)^{3} · (2a + b)^{n - 4}$；
(4) $(x + y)^{2} · (x + y) · (x + y)^{2} + (x + y)^{2} · (x + y)^{3}$.
答案
15. （1）原式 $ = (a - 1)^{4 + 2 + 1} = (a - 1)^{7} $。
（2）原式 $ = (a + b - c)^{2} · [ - (a + b - c)^{3} ] · (a + b - c)^{5} = - (a + b - c)^{2 + 3 + 5} = - (a + b - c)^{10} $。
（3）原式 $ = (2a + b)^{(2n + 1) + 3 + (n - 4)} = (2a + b)^{3n} $。
（4）原式 $ = (x + y)^{2 + 1 + 2} + (x + y)^{2 + 3} = (x + y)^{5} + (x + y)^{5} = 2(x + y)^{5} $。
（2）原式 $ = (a + b - c)^{2} · [ - (a + b - c)^{3} ] · (a + b - c)^{5} = - (a + b - c)^{2 + 3 + 5} = - (a + b - c)^{10} $。
（3）原式 $ = (2a + b)^{(2n + 1) + 3 + (n - 4)} = (2a + b)^{3n} $。
（4）原式 $ = (x + y)^{2 + 1 + 2} + (x + y)^{2 + 3} = (x + y)^{5} + (x + y)^{5} = 2(x + y)^{5} $。
16. 新素养 抽象能力 对于任意有理数 $a$，$b$，规定一种新的运算“$*$”：$a * b = 2^{a} × 2^{b} + 2^{a} + 2^{b}$.
(1) 求 $2 * 3$ 的值；
(2) 若 $2 * x = 84$，求 $x$ 的值.
(1) 求 $2 * 3$ 的值；
(2) 若 $2 * x = 84$，求 $x$ 的值.
答案
16. （1）由题意，得 $ 2 * 3 = 2^{2} × 2^{3} + 2^{2} + 2^{3} = 32 + 4 + 8 = 44 $。
（2）因为 $ 2 * x = 84 $，所以 $ 2^{2} × 2^{x} + 2^{2} + 2^{x} = 84 $，所以 $ 4 × 2^{x} + 4 + 2^{x} = 84 $，所以 $ 5 × 2^{x} = 80 $，所以 $ 2^{x} = 16 $，所以 $ x = 4 $。
（2）因为 $ 2 * x = 84 $，所以 $ 2^{2} × 2^{x} + 2^{2} + 2^{x} = 84 $，所以 $ 4 × 2^{x} + 4 + 2^{x} = 84 $，所以 $ 5 × 2^{x} = 80 $，所以 $ 2^{x} = 16 $，所以 $ x = 4 $。
17. 已知 $2^{a} = 3$，$2^{b} = 6$，$2^{c} = 12$，则 $a$，$b$，$c$ 之间的数量关系为 (
A.$a + b = c$
B.$a + c = 2b$
C.$2a + b = c$
D.$a + 2b = c$
B
)A.$a + b = c$
B.$a + c = 2b$
C.$2a + b = c$
D.$a + 2b = c$
答案
17. B 解析：因为 $ 2^{a} = 3 $，$ 2^{b} = 6 $，$ 2^{c} = 12 $ 且 $ 3 × 12 = 6 × 6 $，所以 $ 2^{a} × 2^{c} = 2^{b} × 2^{b} $，所以 $ 2^{a + c} = 2^{2b} $，所以 $ a + c = 2b $。
18. (2025·江苏南京期中)若 $10^{a} = 3$，$10^{b} = 5$，$10^{c} = 7$，则 $105 =$
$ 10^{a + b + c} $
.(用含 $a$，$b$，$c$ 的代数式表示)答案
18. $ 10^{a + b + c} $ 解析：因为 $ 10^{a} = 3 $，$ 10^{b} = 5 $，$ 10^{c} = 7 $，所以 $ 3 × 5 × 7 = 10^{a} × 10^{b} × 10^{c} $，即 $ 105 = 10^{a + b + c} $。
19. 已知 $x$ 满足 $2^{2x + 2} - 2^{2x + 1} = 32$，求 $x$ 的值.
答案
19. 因为 $ 2^{2x + 2} - 2^{2x + 1} = 32 $，所以 $ 2 · 2^{2x + 1} - 2^{2x + 1} = 2^{5} $，所以 $ 2^{2x + 1} = 2^{5} $，所以 $ 2x + 1 = 5 $，解得 $ x = 2 $。
20. 已知 $M(1) = -3$，$M(2) = (-3) × (-3)$，$M(3) = (-3) × (-3) × (-3)$，$···$，$M(n) = (-3) × (-3) × ··· × (-3) × (-3)$（$n$ 个 $-3$ 相乘）.
(1) 计算：$M(3) + M(4)$；
(2) 计算：$3M(2024) + M(2025)$；
(3) $3M(n)$ 与 $M(n + 1)$ 之间有什么数量关系？请说明理由.
(1) 计算：$M(3) + M(4)$；
(2) 计算：$3M(2024) + M(2025)$；
(3) $3M(n)$ 与 $M(n + 1)$ 之间有什么数量关系？请说明理由.
答案
20. （1）由题意，得 $ M(3) + M(4) = (-3)^{3} + (-3)^{4} = -27 + 81 = 54 $。
（2）由题意，得 $ 3M(2024) + M(2025) = 3 × (-3)^{2024} + (-3)^{2025} = 3^{2025} - 3^{2025} = 0 $。
（3）$ 3M(n) + M(n + 1) = 0 $。理由如下：由题意，得 $ 3M(n) = 3 × (-3)^{n} = - (-3) × (-3)^{n} = - (-3)^{n + 1} $，$ M(n + 1) = (-3)^{n + 1} $，所以 $ 3M(n) + M(n + 1) = 0 $。
（2）由题意，得 $ 3M(2024) + M(2025) = 3 × (-3)^{2024} + (-3)^{2025} = 3^{2025} - 3^{2025} = 0 $。
（3）$ 3M(n) + M(n + 1) = 0 $。理由如下：由题意，得 $ 3M(n) = 3 × (-3)^{n} = - (-3) × (-3)^{n} = - (-3)^{n + 1} $，$ M(n + 1) = (-3)^{n + 1} $，所以 $ 3M(n) + M(n + 1) = 0 $。
