一、规律题
1. 观察下列一组数的规律，填上合适的数：1，-4，9，-16，25，-36，.

49

观察数列可知，该数列的绝对值是连续自然数的平方，即第$n$个数的绝对值为$n^2$；
同时，数列的符号交替出现，奇数项为正，偶数项为负。
因此，第7个数（奇数项）应为正数，且绝对值为$7^2 = 49$。
所以，第7个数是49。

2. 观察下面一列数的规律：$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{5}$，$\frac{5}{8}$，$\frac{7}{11}$，$\frac{9}{14}$，…第 100 个数是.

$\frac{199}{299}$

观察分子：1，3，5，7，9…，规律为第n个数的分子是2n-1；分母：2，5，8，11，14…，规律为第n个数的分母是3n-1。当n=100时，分子=2×100-1=199，分母=3×100-1=299，故第100个数是$\frac{199}{299}$。

3. 有一列数：$\frac{1}{2}$，$-\frac{2}{5}$，$\frac{3}{10}$，$-\frac{4}{17}$，…按照这个规律，第 6 个数是，第$n$个数是.

$-\frac{6}{37}$，$(-1)^{n+1}\frac{n}{n^2+1}$

观察数列符号：奇数项为正，偶数项为负，符号部分为$(-1)^{n+1}$；分子依次为1,2,3,4…，分子为$n$；分母依次为$1^2+1=2$，$2^2+1=5$，$3^2+1=10$，$4^2+1=17$…，分母为$n^2+1$。第6个数：$n=6$，符号$(-1)^{6+1}=-1$，分子6，分母$6^2+1=37$，故第6个数为$-\frac{6}{37}$；第$n$个数为$(-1)^{n+1}\frac{n}{n^2+1}$。

4. 下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成的，其中图①中一共有 2 个五角星，图②中一共有 8 个五角星，图③中一共有 18 个五角星……则图⑥中五角星的个数为.

72

观察图①至图③五角星个数：2=2×1²，8=2×2²，18=2×3²，规律为第n个图有2n²个五角星。图⑥中n=6，个数为2×6²=72。

二、计算题
1. $20.25×37 - 202.5×1.9 + 2025×0.82$；

2025

20.25×37 - 202.5×1.9 + 2025×0.82
=20.25×37 - 20.25×10×1.9 + 20.25×100×0.82
=20.25×37 - 20.25×19 + 20.25×82
=20.25×(37 - 19 + 82)
=20.25×100
=2025

2. $\frac{1}{1×3} + \frac{1}{3×5} + \frac{1}{5×7} + ··· + \frac{1}{97×99}$.

$\frac{49}{99}$

解：原式$=\frac{1}{2}×(1 - \frac{1}{3}) + \frac{1}{2}×(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + \frac{1}{2}×(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}) + ··· + \frac{1}{2}×(\frac{1}{97} - \frac{1}{99})$
$=\frac{1}{2}×[1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + ··· + \frac{1}{97} - \frac{1}{99}]$
$=\frac{1}{2}×(1 - \frac{1}{99})$
$=\frac{1}{2}×\frac{98}{99}$
$=\frac{49}{99}$