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一、选择题
1. 多项式 $ x^{2}-y^{2}-6x + 9 $ 用分组分解法分解因式，正确的分组方法是(
A.$ (x^{2}-y^{2})-(6x - 9) $
B.$ (x^{2}-6x)+(9 - y^{2}) $
C.$ (x^{2}-6x + 9)-y^{2} $
D.$ x^{2}-(y^{2}+6x - 9) $
1. 多项式 $ x^{2}-y^{2}-6x + 9 $ 用分组分解法分解因式，正确的分组方法是(
C
)。A.$ (x^{2}-y^{2})-(6x - 9) $
B.$ (x^{2}-6x)+(9 - y^{2}) $
C.$ (x^{2}-6x + 9)-y^{2} $
D.$ x^{2}-(y^{2}+6x - 9) $
答案
1. C
2. 若 $ m + n = 3 $，则 $ 2m^{2}+4mn + 2n^{2}-5 $ 的值为(
A.18
B.13
C.1
D.5
B
)。A.18
B.13
C.1
D.5
答案
2. B
解析
$2m^{2}+4mn + 2n^{2}-5$
$=2(m^{2}+2mn + n^{2})-5$
$=2(m + n)^{2}-5$
因为$m + n = 3$，所以原式$=2×3^{2}-5=2×9 - 5=18 - 5=13$
B
$=2(m^{2}+2mn + n^{2})-5$
$=2(m + n)^{2}-5$
因为$m + n = 3$，所以原式$=2×3^{2}-5=2×9 - 5=18 - 5=13$
B
3. 多项式 $ ad + bc - ac - bd $ 可分解为(
A.$ (a + b)(c - d) $
B.$ (a - b)(d - c) $
C.$ (a - b)(c + d) $
D.$ (a - d)(b - c) $
B
)。A.$ (a + b)(c - d) $
B.$ (a - b)(d - c) $
C.$ (a - b)(c + d) $
D.$ (a - d)(b - c) $
答案
3. B
解析
$ad + bc - ac - bd$
$=ad - ac + bc - bd$
$=a(d - c) + b(c - d)$
$=a(d - c) - b(d - c)$
$=(a - b)(d - c)$
B
$=ad - ac + bc - bd$
$=a(d - c) + b(c - d)$
$=a(d - c) - b(d - c)$
$=(a - b)(d - c)$
B
二、填空题
4. 分解因式：(1) $ a^{3}+a^{2}+a + 1 = $
4. 分解因式：(1) $ a^{3}+a^{2}+a + 1 = $
$(a + 1)(a^{2} + 1)$
；(2) $ x^{2}-7x + 12 = $$(x - 3)(x - 4)$
；(3) $ x^{2}-y^{2}-z^{2}-2yz = $$(x + y + z)(x - y - z)$
。答案
4. (1) $(a + 1)(a^{2} + 1)$ (2) $(x - 3)(x - 4)$ (3) $(x + y + z)(x - y - z)$
5. 分解因式：(1) $ xy^{2}-2xy + 2y - 4 = $
$(y - 2)(xy + 2)$
；(2) $ x^{2}+ax - bx - ab = $$(x + a)(x - b)$
。答案
5. (1) $(y - 2)(xy + 2)$ (2) $(x + a)(x - b)$
6. 若 $ x $ 与 $ 2y $ 互为相反数，则 $ x^{2}+4xy + 4y^{2}-1 $ 的值为
$-1$
。答案
6. $-1$
解析
因为$x$与$2y$互为相反数，所以$x + 2y=0$。
$x^{2}+4xy + 4y^{2}-1=(x + 2y)^{2}-1$，将$x + 2y=0$代入得：$0^{2}-1=-1$。
$-1$
$x^{2}+4xy + 4y^{2}-1=(x + 2y)^{2}-1$，将$x + 2y=0$代入得：$0^{2}-1=-1$。
$-1$
三、解答题
7. 分解因式：
(1) $ (a - b)^{2}-(a - b)-2 $；
(2) $ (a + b)^{2}+(a + b)-6 $。
7. 分解因式：
(1) $ (a - b)^{2}-(a - b)-2 $；
(2) $ (a + b)^{2}+(a + b)-6 $。
答案
7. (1) $(a - b + 1)(a - b - 2)$ (2) $(a + b - 2)(a + b + 3)$
解析
(1) 令 $ x = a - b $，则原式可化为 $ x^2 - x - 2 $。分解因式得 $ (x + 1)(x - 2) $，将 $ x = a - b $ 代回，得 $ (a - b + 1)(a - b - 2) $。
(2) 令 $ y = a + b $，则原式可化为 $ y^2 + y - 6 $。分解因式得 $ (y - 2)(y + 3) $，将 $ y = a + b $ 代回，得 $ (a + b - 2)(a + b + 3) $。
(2) 令 $ y = a + b $，则原式可化为 $ y^2 + y - 6 $。分解因式得 $ (y - 2)(y + 3) $，将 $ y = a + b $ 代回，得 $ (a + b - 2)(a + b + 3) $。
8. 已知 $ x^{2}+3x + 1 = 0 $，求 $ x^{506}+3x^{505}+x^{504}+x^{503}+3x^{502}+x^{501}+···+x^{2}+3x + 1 $ 的值。
答案
8. $0$
解析
由已知$x^{2}+3x + 1 = 0$，
原式可分组为$(x^{506}+3x^{505}+x^{504})+(x^{503}+3x^{502}+x^{501})+···+(x^{2}+3x + 1)$
每一组提取公因式得：
$x^{504}(x^{2}+3x + 1)+x^{501}(x^{2}+3x + 1)+···+1×(x^{2}+3x + 1)$
因为$x^{2}+3x + 1 = 0$，所以每一项都为$0$，
故原式$=0 + 0+···+0 = 0$
0
原式可分组为$(x^{506}+3x^{505}+x^{504})+(x^{503}+3x^{502}+x^{501})+···+(x^{2}+3x + 1)$
每一组提取公因式得：
$x^{504}(x^{2}+3x + 1)+x^{501}(x^{2}+3x + 1)+···+1×(x^{2}+3x + 1)$
因为$x^{2}+3x + 1 = 0$，所以每一项都为$0$，
故原式$=0 + 0+···+0 = 0$
0
9. 已知 $ a - b = 3 $，$ a + c = -5 $，求代数式 $ ac - bc + a^{2}-ab $ 和 $ b + c $ 的值。
答案
9. $-15$ $-8$
解析
$ac - bc + a^{2}-ab$
$=c(a - b) + a(a - b)$
$=(a - b)(a + c)$
因为$a - b = 3$，$a + c = -5$，所以原式$=3×(-5)=-15$
$b + c=(a + c)-(a - b)=-5 - 3=-8$
$-15$；$-8$
$=c(a - b) + a(a - b)$
$=(a - b)(a + c)$
因为$a - b = 3$，$a + c = -5$，所以原式$=3×(-5)=-15$
$b + c=(a + c)-(a - b)=-5 - 3=-8$
$-15$；$-8$
