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8. 某地区某一天的气温随时间的变化情况如图4-1-2所示。
图4-1-2
请观察图象，解答下列问题：
(1)气温$y(°C)$是时间$t(h)$的函数吗？为什么？
(2)求当$t=10$时$y$的值，并说明其实际意义。
(3)这一天内，有几次气温为$15°C$？
图4-1-2
请观察图象，解答下列问题：
(1)气温$y(°C)$是时间$t(h)$的函数吗？为什么？
(2)求当$t=10$时$y$的值，并说明其实际意义。
(3)这一天内，有几次气温为$15°C$？
答案
8. (1) 气温 $y(℃)$ 是时间 $t(h)$ 的函数，理由略。
(2) 由题中图象得出当 $t=10$ 时 $y$ 的值为 20，实际意义为该地区这一天 10 时的气温为 20 ℃。
(3) 根据题中图象可知，这一天内，有 4 次气温为 15 ℃。
(2) 由题中图象得出当 $t=10$ 时 $y$ 的值为 20，实际意义为该地区这一天 10 时的气温为 20 ℃。
(3) 根据题中图象可知，这一天内，有 4 次气温为 15 ℃。
解析
【分析】
(1) 判断两个变量是否满足函数关系，核心依据是函数的定义：在某一变化过程中，对于自变量的每一个确定值，因变量都有唯一确定的值与之对应。本题只需验证每个时间t对应的气温y是否唯一即可。
(2) 求t=10时y的值，只需在横轴上找到t=10的位置，对应图象上的点的纵坐标就是y的值，再结合两个变量的实际含义表述意义即可。
(3) 找气温为15℃的次数，等价于找水平线y=15与图象的交点个数，数出交点数即可得到结果。
【解析】
(1) 根据函数定义判断：在气温随时间变化的过程中，对于时间$t$的每一个确定的取值，气温$y$都有唯一确定的值与之对应，符合函数的定义，因此$y$是$t$的函数。
(2) 观察图象，横坐标$t=10$对应的图象上的点为$A(10,20)$，因此$y=20$，其实际含义对应当天10时的气温数值。
(3) 观察图象，纵坐标为$15℃$的交点共有4个，分别对应$t=0$、$6＜t＜8$、$12＜t＜14$、$18＜t＜20$四个时间点，因此气温为$15℃$的次数为4次。
【答案】
(1) 气温 $y(℃)$ 是时间 $t(h)$ 的函数，理由：对于时间$t$的每一个确定值，气温$y$都有唯一确定的值与之对应。
(2) 当 $t=10$ 时 $y$ 的值为 20，实际意义为该地区这一天 10 时的气温为 20 ℃。
(3) 这一天内，有 4 次气温为 15 ℃。
【知识点】
函数的定义，函数图象的应用，图象信息提取
【点评】
本题结合生活中的气温变化场景，考查对函数核心概念的理解和读图能力，解题的关键是紧扣函数定义判断变量关系，掌握从图象中读取对应变量值的方法。
【难度系数】
0.8
(1) 判断两个变量是否满足函数关系，核心依据是函数的定义：在某一变化过程中，对于自变量的每一个确定值，因变量都有唯一确定的值与之对应。本题只需验证每个时间t对应的气温y是否唯一即可。
(2) 求t=10时y的值，只需在横轴上找到t=10的位置，对应图象上的点的纵坐标就是y的值，再结合两个变量的实际含义表述意义即可。
(3) 找气温为15℃的次数，等价于找水平线y=15与图象的交点个数，数出交点数即可得到结果。
【解析】
(1) 根据函数定义判断：在气温随时间变化的过程中，对于时间$t$的每一个确定的取值，气温$y$都有唯一确定的值与之对应，符合函数的定义，因此$y$是$t$的函数。
(2) 观察图象，横坐标$t=10$对应的图象上的点为$A(10,20)$，因此$y=20$，其实际含义对应当天10时的气温数值。
(3) 观察图象，纵坐标为$15℃$的交点共有4个，分别对应$t=0$、$6＜t＜8$、$12＜t＜14$、$18＜t＜20$四个时间点，因此气温为$15℃$的次数为4次。
【答案】
(1) 气温 $y(℃)$ 是时间 $t(h)$ 的函数，理由：对于时间$t$的每一个确定值，气温$y$都有唯一确定的值与之对应。
(2) 当 $t=10$ 时 $y$ 的值为 20，实际意义为该地区这一天 10 时的气温为 20 ℃。
(3) 这一天内，有 4 次气温为 15 ℃。
【知识点】
函数的定义，函数图象的应用，图象信息提取
【点评】
本题结合生活中的气温变化场景，考查对函数核心概念的理解和读图能力，解题的关键是紧扣函数定义判断变量关系，掌握从图象中读取对应变量值的方法。
【难度系数】
0.8
二、拓展性作业
9. 如图 4-1-3,在$△ ABC$中,$BC=15$,高$AD=8$,动点$C'$由点$C$沿$CB$向点$B$移动(不与点$B$和点$C$重合)。设$CC'$的长为$x$,$△ ABC'$的面积为$S$。
(1)请写出$S$与$x$之间的函数关系式,并指出自变量$x$的取值范围;
(2)当$x$分别取 10,5,3 时,计算出相应的$S$的值。
图 4-1-3
9. 如图 4-1-3,在$△ ABC$中,$BC=15$,高$AD=8$,动点$C'$由点$C$沿$CB$向点$B$移动(不与点$B$和点$C$重合)。设$CC'$的长为$x$,$△ ABC'$的面积为$S$。
(1)请写出$S$与$x$之间的函数关系式,并指出自变量$x$的取值范围;
(2)当$x$分别取 10,5,3 时,计算出相应的$S$的值。
图 4-1-3
答案
9. (1) 因为 $CC'$ 的长为 $x$，所以 $BC'=15-x$，
所以 $S=\frac{1}{2}×8×(15-x)=60-4x(0＜x＜15)$。
(2) 当 $x=10$ 时，$S=60-4×10=20$；
当 $x=5$ 时，$S=60-4×5=40$；
当 $x=3$ 时，$S=60-4×3=48$。
所以 $S=\frac{1}{2}×8×(15-x)=60-4x(0＜x＜15)$。
(2) 当 $x=10$ 时，$S=60-4×10=20$；
当 $x=5$ 时，$S=60-4×5=40$；
当 $x=3$ 时，$S=60-4×3=48$。
解析
【分析】
（1）要求S与x的函数关系式，首先明确△ABC'的高是固定的AD=8，只需用含x的式子表示出△ABC'的底BC'即可。已知BC=15，CC'=x，因此BC'=15-x，再结合三角形面积公式就能推出函数关系式；自变量x的取值范围根据“C'不与点B和点C重合”确定，x是线段长度大于0，且C'不到B点，所以x小于15。
（2）第二问属于代入求值问题，只需要把x的三个取值分别代入第一问求出的函数关系式，计算即可得到对应的S值。
【解析】
(1) 由题意可知，$CC'=x$，$BC=15$，因此$BC' = BC - CC' = 15 - x$。
因为AD是△ABC的高，所以AD也是△ABC'的高，$AD=8$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得：
$S=\frac{1}{2}×BC'×AD=\frac{1}{2}×(15-x)×8$
化简得：$S=60-4x$
又因为动点C'不与点B、C重合，因此$0 ＜ x ＜15$。
(2) 分别将x的取值代入函数关系式计算：
当$x=10$时，$S=60-4×10=20$；
当$x=5$时，$S=60-4×5=40$；
当$x=3$时，$S=60-4×3=48$。
【答案】
(1) $S=60-4x(0＜x＜15)$
(2) 当$x=10$时，$S=20$；当$x=5$时，$S=40$；当$x=3$时，$S=48$
【知识点】
三角形面积计算；函数关系式求解；代入求值
【点评】
本题是函数在几何问题中的基础应用，解题核心是结合几何图形的性质找到变量间的数量关系，再代入对应公式求解，难度较低，需要熟练掌握这类基础题型的解题逻辑。
【难度系数】
0.8
（1）要求S与x的函数关系式，首先明确△ABC'的高是固定的AD=8，只需用含x的式子表示出△ABC'的底BC'即可。已知BC=15，CC'=x，因此BC'=15-x，再结合三角形面积公式就能推出函数关系式；自变量x的取值范围根据“C'不与点B和点C重合”确定，x是线段长度大于0，且C'不到B点，所以x小于15。
（2）第二问属于代入求值问题，只需要把x的三个取值分别代入第一问求出的函数关系式，计算即可得到对应的S值。
【解析】
(1) 由题意可知，$CC'=x$，$BC=15$，因此$BC' = BC - CC' = 15 - x$。
因为AD是△ABC的高，所以AD也是△ABC'的高，$AD=8$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得：
$S=\frac{1}{2}×BC'×AD=\frac{1}{2}×(15-x)×8$
化简得：$S=60-4x$
又因为动点C'不与点B、C重合，因此$0 ＜ x ＜15$。
(2) 分别将x的取值代入函数关系式计算：
当$x=10$时，$S=60-4×10=20$；
当$x=5$时，$S=60-4×5=40$；
当$x=3$时，$S=60-4×3=48$。
【答案】
(1) $S=60-4x(0＜x＜15)$
(2) 当$x=10$时，$S=20$；当$x=5$时，$S=40$；当$x=3$时，$S=48$
【知识点】
三角形面积计算；函数关系式求解；代入求值
【点评】
本题是函数在几何问题中的基础应用，解题核心是结合几何图形的性质找到变量间的数量关系，再代入对应公式求解，难度较低，需要熟练掌握这类基础题型的解题逻辑。
【难度系数】
0.8
10. 某数学兴趣小组通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温存在一定关系，如表4-1-3所示：
表4-1-3
阅读上述材料，回答下列问题：
(1)在这个变化过程中，哪些量是变量？
(2)从表中数据可知，气温每升高1 ℃，声音在空气中传播的速度提高了多少？
(3)用含t的代数式表示v。
(4)某日的气温为15 ℃，小莹同学看到烟花燃放后5 s才听到声响，那么小莹同学所在位置与烟花在空中燃放时所在的位置大约相距多远？
表4-1-3
阅读上述材料，回答下列问题：
(1)在这个变化过程中，哪些量是变量？
(2)从表中数据可知，气温每升高1 ℃，声音在空气中传播的速度提高了多少？
(3)用含t的代数式表示v。
(4)某日的气温为15 ℃，小莹同学看到烟花燃放后5 s才听到声响，那么小莹同学所在位置与烟花在空中燃放时所在的位置大约相距多远？
答案
10. (1) 在这个变化过程中，气温和声音在空气中的传播速度是变量。
(2) 从题表中数据可知，气温每升高 10 ℃，声音在空气中传播的速度提高了 6 m/s，
所以气温每升高 1 ℃，声音在空气中传播的速度提高了 0.6 m/s。
(3) 因为气温每升高 1 ℃，声音在空气中传播的速度提高了 0.6 m/s，且当 $t=0$ 时，$v=331$，
所以 $v=331+0.6t$。
(4) 当 $t=15$ 时，$v=331+0.6×15=340$，$340×5=1700(\mathrm{m})$，
所以小莹同学所在位置与烟花在空中燃放时所在的位置大约相距 1700 m。
(2) 从题表中数据可知，气温每升高 10 ℃，声音在空气中传播的速度提高了 6 m/s，
所以气温每升高 1 ℃，声音在空气中传播的速度提高了 0.6 m/s。
(3) 因为气温每升高 1 ℃，声音在空气中传播的速度提高了 0.6 m/s，且当 $t=0$ 时，$v=331$，
所以 $v=331+0.6t$。
(4) 当 $t=15$ 时，$v=331+0.6×15=340$，$340×5=1700(\mathrm{m})$，
所以小莹同学所在位置与烟花在空中燃放时所在的位置大约相距 1700 m。
解析
【分析】
1. 解答第(1)问：先明确变量的定义，变化过程中数值发生改变的量为变量，观察表格中两个物理量的数值变化，即可判断变量。
2. 解答第(2)问：对比表格中相邻的气温和对应速度数据，先计算气温升高10℃时的速度提升量，再将提升量平均到1℃的升温幅度上，就能得到结果。
3. 解答第(3)问：找到t=0时的速度作为基础值，结合第(2)问得到的每升1℃的速度增量，即可写出v关于t的代数式。
4. 解答第(4)问：先将t=15代入第(3)问的代数式求出对应声速，再根据路程=速度×时间的公式，代入时间5s即可算出距离。
【解析】
(1) 根据变量的定义，变化过程中数值发生变化的量为变量，因此这个变化过程中，气温和声音在空气中的传播速度是变量。
(2) 观察表格数据可知，气温每升高10℃，声音在空气中的传播速度提高$325-319=6\ \mathrm{m/s}$，因此气温每升高1℃，速度提高量为$6÷10=0.6\ \mathrm{m/s}$。
(3) 已知$t=0℃$时，$v=331\ \mathrm{m/s}$，且气温每升高1℃，v增加0.6m/s，因此v与t的关系式为$v=331+0.6t$。
(4) 当$t=15$时，代入关系式得$v=331+0.6×15=340(\mathrm{m/s})$，再根据路程公式得距离为$340×5=1700(\mathrm{m})$。
【答案】
(1) 气温和声音在空气中的传播速度是变量；
(2) $0.6\ \mathrm{m/s}$；
(3) $v=331+0.6t$；
(4) $1700\ \mathrm{m}$
【知识点】
变量的概念，列函数关系式，代数式求值
【点评】
本题结合生活中的声速现象，考查了从表格提取信息、分析数据规律的能力，同时涉及函数关系式推导和实际应用，贴近生活，只要细心分析数据规律即可正确解答。
【难度系数】
0.85
1. 解答第(1)问：先明确变量的定义，变化过程中数值发生改变的量为变量，观察表格中两个物理量的数值变化，即可判断变量。
2. 解答第(2)问：对比表格中相邻的气温和对应速度数据，先计算气温升高10℃时的速度提升量，再将提升量平均到1℃的升温幅度上，就能得到结果。
3. 解答第(3)问：找到t=0时的速度作为基础值，结合第(2)问得到的每升1℃的速度增量，即可写出v关于t的代数式。
4. 解答第(4)问：先将t=15代入第(3)问的代数式求出对应声速，再根据路程=速度×时间的公式，代入时间5s即可算出距离。
【解析】
(1) 根据变量的定义，变化过程中数值发生变化的量为变量，因此这个变化过程中，气温和声音在空气中的传播速度是变量。
(2) 观察表格数据可知，气温每升高10℃，声音在空气中的传播速度提高$325-319=6\ \mathrm{m/s}$，因此气温每升高1℃，速度提高量为$6÷10=0.6\ \mathrm{m/s}$。
(3) 已知$t=0℃$时，$v=331\ \mathrm{m/s}$，且气温每升高1℃，v增加0.6m/s，因此v与t的关系式为$v=331+0.6t$。
(4) 当$t=15$时，代入关系式得$v=331+0.6×15=340(\mathrm{m/s})$，再根据路程公式得距离为$340×5=1700(\mathrm{m})$。
【答案】
(1) 气温和声音在空气中的传播速度是变量；
(2) $0.6\ \mathrm{m/s}$；
(3) $v=331+0.6t$；
(4) $1700\ \mathrm{m}$
【知识点】
变量的概念，列函数关系式，代数式求值
【点评】
本题结合生活中的声速现象，考查了从表格提取信息、分析数据规律的能力，同时涉及函数关系式推导和实际应用，贴近生活，只要细心分析数据规律即可正确解答。
【难度系数】
0.85
