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4. 先化简，再求值：$\frac{y^3}{x-1} · \frac{x^2 - 2x + 1}{xy + y}$。
其中，有理数$x$，$y$在数轴上的位置如图所示。
其中，有理数$x$，$y$在数轴上的位置如图所示。
答案
解：$\frac{y^3}{x-1} · \frac{x^2 - 2x + 1}{xy + y}$
$=\frac{y^3}{x-1} · \frac{(x-1)^2}{y(x+1)}$
$=\frac{y^2(x-1)}{x+1}.$
由图知$x=-2$，$y=3.$
将$x=-2$，$y=3$代入$\frac{y^2(x-1)}{x+1}$，得
原式$=\frac{3^2×(-2-1)}{-2+1}$
$=27.$
$=\frac{y^3}{x-1} · \frac{(x-1)^2}{y(x+1)}$
$=\frac{y^2(x-1)}{x+1}.$
由图知$x=-2$，$y=3.$
将$x=-2$，$y=3$代入$\frac{y^2(x-1)}{x+1}$，得
原式$=\frac{3^2×(-2-1)}{-2+1}$
$=27.$
解析
【分析】
这是一道分式化简求值类题目，解题思路分为三步：第一步先对原式分子、分母中可以因式分解的部分进行因式分解，再根据分式乘法的运算法则约分，得到最简分式；第二步从数轴上读取x、y的对应值，同时确认代入值可以保证原分式所有分母不为0，分式有意义；第三步将x、y的值代入最简分式计算出最终结果即可。
【解析】
首先化简原式：
$\frac{y^3}{x-1} · \frac{x^2 - 2x + 1}{xy + y}$
利用完全平方公式分解$x^2-2x+1=(x-1)^2$，提公因式分解$xy+y=y(x+1)$，代入得：
$=\frac{y^3}{x-1} · \frac{(x-1)^2}{y(x+1)}$
约去分子分母的公因式$x-1$和$y$，得最简形式：
$=\frac{y^2(x-1)}{x+1}$
根据数轴可知$x=-2$，$y=3$，代入时验证原分式分母均不为0，分式有意义。
将$x=-2$，$y=3$代入最简式计算：
原式$=\frac{3^2×(-2-1)}{-2+1}=\frac{9×(-3)}{-1}=27$
【答案】
$27$
【知识点】
分式的乘除运算、因式分解、代数式求值
【点评】
本题属于分式运算的基础综合题，解题时优先化简再代入可以降低运算量，同时要注意代入的数值必须保证原式所有分母不为0，避免出现无意义的情况。
【难度系数】
0.8
这是一道分式化简求值类题目，解题思路分为三步：第一步先对原式分子、分母中可以因式分解的部分进行因式分解，再根据分式乘法的运算法则约分，得到最简分式；第二步从数轴上读取x、y的对应值，同时确认代入值可以保证原分式所有分母不为0，分式有意义；第三步将x、y的值代入最简分式计算出最终结果即可。
【解析】
首先化简原式：
$\frac{y^3}{x-1} · \frac{x^2 - 2x + 1}{xy + y}$
利用完全平方公式分解$x^2-2x+1=(x-1)^2$，提公因式分解$xy+y=y(x+1)$，代入得：
$=\frac{y^3}{x-1} · \frac{(x-1)^2}{y(x+1)}$
约去分子分母的公因式$x-1$和$y$，得最简形式：
$=\frac{y^2(x-1)}{x+1}$
根据数轴可知$x=-2$，$y=3$，代入时验证原分式分母均不为0，分式有意义。
将$x=-2$，$y=3$代入最简式计算：
原式$=\frac{3^2×(-2-1)}{-2+1}=\frac{9×(-3)}{-1}=27$
【答案】
$27$
【知识点】
分式的乘除运算、因式分解、代数式求值
【点评】
本题属于分式运算的基础综合题，解题时优先化简再代入可以降低运算量，同时要注意代入的数值必须保证原式所有分母不为0，避免出现无意义的情况。
【难度系数】
0.8
5. 若$x=\frac{1}{x}$，求$\frac{x^2 +6x +9}{x-3} · \frac{x^2 -6x +9}{x+3}$的值.
答案
解：$\frac{x^2+6x+9}{x-3} · \frac{x^2-6x+9}{x+3}$
$=\frac{(x+3)^2}{x-3} · \frac{(x-3)^2}{x+3}$
$=x^2-9.$
$\because x=\frac{1}{x},$
$\therefore x^2=1.$
$\therefore 原式=1-9=-8.$
$=\frac{(x+3)^2}{x-3} · \frac{(x-3)^2}{x+3}$
$=x^2-9.$
$\because x=\frac{1}{x},$
$\therefore x^2=1.$
$\therefore 原式=1-9=-8.$
解析
【分析】
本题为分式化简求值题，按照“先化简，再求值”的思路求解即可：首先观察两个分式的分子均符合完全平方公式的结构，先对分子因式分解；再根据分式乘法的运算规则约分，将原式化简为最简整式；最后处理已知条件$x=\frac{1}{x}$，结合x作为分母不能为0的隐含要求，变形得到$x^2=1$，整体代入最简式计算即可。
【解析】
先对原式化简：
$\frac{x^2+6x+9}{x-3} · \frac{x^2-6x+9}{x+3}$
$=\frac{(x+3)^2}{x-3} · \frac{(x-3)^2}{x+3}$
约分后得：
$=(x+3)(x-3)=x^2-9$
再结合已知条件计算：
$\because x=\frac{1}{x}$（x≠0，否则原分式无意义）
$\therefore x^2=1$
将$x^2=1$代入化简后的式子：
原式$=1-9=-8$
【答案】
$-8$
【知识点】
分式的乘除运算；完全平方公式；化简求值
【点评】
本题是分式运算的常规题型，解题关键是先化简代数式再代入求值，可大幅降低运算量，解题时要注意因式分解的准确性，同时关注x的取值需保证原分式有意义。
【难度系数】
0.75
本题为分式化简求值题，按照“先化简，再求值”的思路求解即可：首先观察两个分式的分子均符合完全平方公式的结构，先对分子因式分解；再根据分式乘法的运算规则约分，将原式化简为最简整式；最后处理已知条件$x=\frac{1}{x}$，结合x作为分母不能为0的隐含要求，变形得到$x^2=1$，整体代入最简式计算即可。
【解析】
先对原式化简：
$\frac{x^2+6x+9}{x-3} · \frac{x^2-6x+9}{x+3}$
$=\frac{(x+3)^2}{x-3} · \frac{(x-3)^2}{x+3}$
约分后得：
$=(x+3)(x-3)=x^2-9$
再结合已知条件计算：
$\because x=\frac{1}{x}$（x≠0，否则原分式无意义）
$\therefore x^2=1$
将$x^2=1$代入化简后的式子：
原式$=1-9=-8$
【答案】
$-8$
【知识点】
分式的乘除运算；完全平方公式；化简求值
【点评】
本题是分式运算的常规题型，解题关键是先化简代数式再代入求值，可大幅降低运算量，解题时要注意因式分解的准确性，同时关注x的取值需保证原分式有意义。
【难度系数】
0.75
