7.【例4】(整体思想)已知$a^x = -2, a^y = 3$，求：
(1)$a^{x+y}$的值；
(2)$a^{3x}$的值；

7. 解:(1) $a^{x+y} = a^x · a^y = ( -2 ) × 3 = -6$.
(2) $a^{3x} = a^{x+x+x} = a^x · a^x · a^x = ( -2 ) × ( -2 ) × ( -2 ) = -8$.

【分析】
解题前先回忆同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^m·a^n=a^{m+n}$，该法则也可以逆用。
(1) 要求$a^{x+y}$的值，观察到指数是x与y的和，刚好符合同底数幂乘法法则右边的指数形式，所以逆用同底数幂乘法法则，将$a^{x+y}$拆分为$a^x·a^y$，再代入已知的$a^x=-2$、$a^y=3$计算即可。
(2) 要求$a^{3x}$的值，可将指数3x转化为3个x相加的形式，即$3x=x+x+x$，再正向运用同底数幂的乘法法则，将$a^{x+x+x}$拆分为3个$a^x$相乘，最后代入$a^x=-2$计算即可。
【解析】
(1) 根据同底数幂乘法的逆运算可得：
$a^{x+y} = a^x · a^y$
将$a^x = -2$，$a^y = 3$代入得：
原式$= (-2) × 3 = -6$
(2) 先将指数拆分：$3x = x+x+x$，根据同底数幂的乘法法则可得：
$a^{3x} = a^{x+x+x} = a^x · a^x · a^x$
将$a^x = -2$代入得：
原式$= (-2) × (-2) × (-2) = -8$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-6}$；(2) $\boldsymbol{-8}$
【知识点】
同底数幂的乘法，整体代入求值
【点评】
本题是幂运算的基础题型，核心考查同底数幂乘法法则的正逆运用，解题时需要灵活转化指数的表达形式，结合整体思想代入已知数值计算即可，掌握幂的运算法则是解题的关键。
【难度系数】
0.8

8. 已知$2^a = 5, 2^b = 6$, 求$2^{a+b}$的值.

8. 解:$2^a = 5,2^b = 6$,
∴ $2^{a+b} = 2^a · 2^b = 5 × 6 = 30$.

【分析】
要计算$2^{a+b}$的值，首先观察所求式子的指数为$a$与$b$的和，可联想到同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，该法则可以逆用，即$2^{m+n}=2^m·2^n$。本题已知$2^a$和$2^b$的取值，逆用同底数幂的乘法法则，将已知值代入计算即可得到结果。
【解析】
已知$2^a = 5$，$2^b = 6$，根据同底数幂乘法的逆运算可得：
$2^{a+b}=2^a·2^b$
将$2^a = 5$，$2^b = 6$代入上式，计算得：
$2^{a+b}=5×6=30$
【答案】
30
【知识点】
同底数幂的乘法；逆用幂的运算法则
【点评】
本题是幂的运算类基础题，重点考查同底数幂乘法法则的灵活运用，熟练掌握幂的运算法则的正用、逆用是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.9

1. (2025湖南)计算$a^3 · a^4$的结果是 ()

A.$2a^7$
B.$a^7$
C.$2a^4$
D.$a^{12}$

1. B

【分析】
本题考查同底数幂的乘法运算，解题思路如下：首先观察算式$a^3 · a^4$，属于两个底数相同的幂相乘的形式，优先回忆同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，且系数分别相乘。首先判断系数：两个因式的系数都是1，乘积的系数为$1×1=1$，因此可直接排除系数为2的A、C选项；再判断指数：按照法则指数应相加，即$3+4=7$，而选项D的指数是12，是误将指数相乘得到的结果，因此排除D，即可得到正确答案。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，公式为$a^m · a^n = a^{m+n}$（$m$、$n$为正整数）。
对$a^3 · a^4$进行计算：
底数$a$保持不变，指数相加得$3+4=7$，因此$a^3 · a^4 = a^{3+4}=a^7$。
故选：B
【答案】
B
【知识点】
同底数幂的乘法
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查对同底数幂乘法运算法则的掌握，解题时要注意区分同底数幂乘法、幂的乘方、合并同类项的运算规则，避免出现指数相乘、乱加系数的错误。
【难度系数】
0.9

2. 计算：
(1) $ m · m^6 = \_\_\_\_\_\_ $;
(2) $ a^{4m} · a^2 = \_\_\_\_\_\_ $;
(3) $ (m-n)^2 · (m-n)^3 = \_\_\_\_\_\_ $.

(1) $m^7$ (2) $a^{4m+2}$ (3) $(m-n)^5$

【分析】
本题考查同底数幂的乘法运算，解题核心是牢记同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。解题时先判断每道小题的底数是否相同，若底数为多项式，可将多项式看作一个整体当作同底数，再对应把指数相加即可：
(1) 小题底数均为m，m可看作指数为1的幂，直接将指数1和6相加；
(2) 小题底数均为a，直接将指数4m和2相加；
(3) 小题底数都是多项式(m-n)，将其看作整体，把指数2和3相加即可。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则：$a^x · a^y = a^{x+y}$（$a≠0$，x、y为正整数），计算如下：
(1) $m$可写为$m^1$，因此$m · m^6 = m^{1+6} = m^7$；
(2) 底数均为$a$，因此$a^{4m} · a^2 = a^{4m+2}$；
(3) 将$(m-n)$看作整体作为底数，因此$(m-n)^2 · (m-n)^3 = (m-n)^{2+3} = (m-n)^5$。
【答案】
(1) $m^7$ (2) $a^{4m+2}$ (3) $(m-n)^5$
【知识点】
同底数幂的乘法法则、整体思想
【点评】
本题是同底数幂乘法的基础练习题，难度较低，解题关键是准确识别同底数，当底数为多项式时要将其视为一个整体运算，避免随意拆分多项式导致计算错误。
【难度系数】
0.9

3. 计算:
(1)$x^2 · x^5 · x^3 =$ ;
(2)$( \frac{1}{7} )^2 × ( \frac{1}{7} )^3 × ( \frac{1}{7} )^5 =$ ;
(3)$10 × 10^{2a} × 10^4 =$ .

3. (1) $x^{10}$ (2) $( \frac{1}{7} )^{10}$ (3) $10^{2a+5}$

【分析】
本题考查同底数幂的乘法运算，解题核心是牢记同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，公式为$a^m · a^n = a^{m+n}$（$m$、$n$为正整数），多个同底数幂相乘时该法则同样适用。解题时首先确认每道小题的底数是否相同，再把所有幂的指数相加即可，注意没有标注指数的单独底数（如$x$、$10$），其指数为1，计算时不要遗漏。
(1) 三个幂的底数都是$x$，直接将指数2、5、3求和即可；
(2) 三个幂的底数都是$\frac{1}{7}$，直接将指数2、3、5求和即可；
(3) 三个幂的底数都是10，先明确10的指数是1，再将指数1、$2a$、4求和即可。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，计算如下：
(1) $x^2 · x^5 · x^3 = x^{2+5+3} = x^{10}$
(2) $(\frac{1}{7})^2 × (\frac{1}{7})^3 × (\frac{1}{7})^5 = (\frac{1}{7})^{2+3+5} = (\frac{1}{7})^{10}$
(3) 把$10$写成$10^1$，则$10 × 10^{2a} × 10^4 = 10^{1+2a+4} = 10^{2a+5}$
【答案】
(1) $x^{10}$；(2) $(\frac{1}{7})^{10}$；(3) $10^{2a+5}$
【知识点】
同底数幂的乘法运算
【点评】
本题是同底数幂乘法的基础练习题，主要考查对同底数幂乘法法则的识记和简单应用，解题时要注意指数为1的幂不要漏加指数，避免出现第三小题漏加1的错误。
【难度系数】
0.9

4. 计算：$a^3 · a^{n-1} - a · a^{n+1}$

4. 解:原式 = $a^{3+n-1} - a^{1+n+1} = a^{n+2} - a^{n+2} = 0.$

【分析】
本题考查同底数幂的乘法与整式的加减运算，解题思路如下：首先回忆同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，注意单个字母$a$的指数是1，不要遗漏；然后分别计算两个同底数幂的乘法项，得到化简后的两个整式；最后判断两个整式是同类项，合并同类项即可得到最终结果。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则计算：
原式 = $a^{3+n-1} - a^{1+n+1}$
$= a^{n+2} - a^{n+2}$
合并同类项可得：
$= 0$
【答案】
$0$
【知识点】
同底数幂的乘法、合并同类项
【点评】
本题属于基础运算题，解题时要注意单个字母的指数为1，避免计算指数时漏加，熟练掌握同底数幂的乘法法则和同类项合并规则是解题的关键。
【难度系数】
0.8

5. (1)若$a^4 · a^{2m -1}=a^{11}$，则$m=$；
(2)若$2x + y -3=0$，则$5^{2x} · 5^y=$。

5. (1) 4 (2) 125

【分析】
本题分为两小问，均围绕同底数幂的乘法法则展开解题：
(1) 首先回忆同底数幂相乘的运算规则：底数不变，指数相加。将等式左侧的指数相加后，与右侧的指数建立等量关系，得到关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值。
(2) 先利用同底数幂的乘法法则将所求式子合并为底数为5的单一幂形式，再根据已知等式求出指数部分$2x+y$的值，整体代入后计算幂的结果即可。
【解析】
(1) 根据同底数幂的乘法法则$a^m · a^n = a^{m+n}$（$m、n$为正整数），可得：
$a^4 · a^{2m-1} = a^{4 + 2m - 1} = a^{2m + 3}$
已知$a^{2m + 3} = a^{11}$，同底数幂相等时指数相等，因此：
$2m + 3 = 11$
移项计算得：$2m = 11 - 3 = 8$
解得：$m = 4$
(2) 根据同底数幂的乘法法则：
$5^{2x} · 5^y = 5^{2x + y}$
由已知$2x + y - 3 = 0$，可得$2x + y = 3$，将其代入上式：
$5^{2x + y} = 5^3 = 125$
【答案】
(1) $\boxed{4}$；(2) $\boxed{125}$
【知识点】
同底数幂的乘法运算；一元一次方程的解法；整体代入求值
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，核心考查对同底数幂乘法法则的掌握与应用，第二小问需要灵活运用整体代入的思想简化计算，属于考试中常见的基础得分题。
【难度系数】
0.8

6. (推理能力)探究性学习:
①$2^2 - 2^1 = 2 × 2^1 - 1 × 2^1 = 2^{(\_\_\_\_\_\_)}$;
②$2^3 - 2^2 = \_\_\_\_\_\_ - \_\_\_\_\_\_ = 2^{(\_\_\_\_\_\_)}$;
③$2^4 - 2^3 = \_\_\_\_\_\_ - \_\_\_\_\_\_ = 2^{(\_\_\_\_\_\_)}$;
……
(1)填空并仔细观察,写出第4个等式;
(2)请你找规律,写出第$n$个等式;
(3)计算:$2^1 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{2025} - 2^{2026}$.

6. 解:(1)①1 ②$2 × 2^2$ $1 × 2^2$ 2 ③$2 × 2^3$ $1 × 2^3$ 3
$2^5 - 2^4 = 2 × 2^4 - 1 × 2^4 = 2^4.$
(2)$2^{n+1} - 2^n = 2 × 2^n - 1 × 2^n = 2^n.$
(3)原式 = $2^2 - 2^1 + 2^3 - 2^2 + … + 2^{2025} - 2^{2024} + 2^{2026} - 2^{2025} - 2^{2026} = -2.$

【分析】
解题时先观察给出的等式结构，所有等式均为相邻两个2的正整数次幂相减，我们可将较高次幂改写为2乘以低一次的幂，再通过提取公因式化简得到结果。（1）先按照示例的推导模式完成填空，再根据前3个等式的次数规律仿写第4个等式；（2）将等式中的次数替换为n和n+1，仿照前面的推导过程即可得到第n个通用规律；（3）利用前面得出的“$2^k = 2^{k+1} - 2^k$”的规律，将原式中每个2的正整数次幂拆分为相邻两个幂的差，再通过前后项抵消的方法简便计算。
【解析】
(1) ① 计算$2^2 - 2^1$：
$2^2 - 2^1 = 2 × 2^1 - 1 × 2^1 = (2-1)×2^1 = 2^1$，故括号填1；
② 计算$2^3 - 2^2$：
$2^3 - 2^2 = 2×2^2 - 1×2^2 = (2-1)×2^2 = 2^2$，故依次填$2 × 2^2$、$1 × 2^2$、2；
③ 计算$2^4 - 2^3$：
$2^4 - 2^3 = 2×2^3 - 1×2^3 = (2-1)×2^3 = 2^3$，故依次填$2 × 2^3$、$1 × 2^3$、3；
按照前3个等式的规律，第4个等式次数依次加1，可得：$2^5 - 2^4 = 2 × 2^4 - 1 × 2^4 = 2^4$。
(2) 推导第n个等式：
将次数替换为n和n+1，得：
$2^{n+1} - 2^n = 2 × 2^n - 1 × 2^n = (2-1)×2^n = 2^n$。
(3) 计算算式：
根据上述规律，可得$2^1=2^2-2^1$，$2^2=2^3-2^2$，……，$2^{2025}=2^{2026}-2^{2025}$，将其代入原式：
$\begin{aligned}原式&=(2^2 - 2^1) + (2^3 - 2^2) + \dots + (2^{2026} - 2^{2025}) - 2^{2026}\\&= -2^1 + (2^2-2^2) + (2^3-2^3) + \dots + (2^{2026}-2^{2026})\\&= -2\end{aligned}$
【答案】
(1)①1；②$2 × 2^2$，$1 × 2^2$，2；③$2 × 2^3$，$1 × 2^3$，3；第4个等式：$2^5 - 2^4 = 2 × 2^4 - 1 × 2^4 = 2^4$
(2)$2^{n+1} - 2^n = 2^n$
(3)$-2$
【知识点】
同底数幂的乘法；提公因式法因式分解；数字规律探究
【点评】
本题以规律探究为载体，考查同底数幂运算的灵活应用，引导学生掌握从特殊到一般的归纳推理方法，第三问利用裂项相消的思路简化计算，能有效锻炼学生的知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7

(1)$(-a)^n = \begin{cases} a^n & (n\mathrm{ 为偶数}), \\ -a^n & (n\mathrm{ 为奇数}). \end{cases}$
(2)$(a-b)^n = \begin{cases} (b-a)^n & (n\mathrm{ 为偶数}), \\ -(b-a)^n & (n\mathrm{ 为奇数}). \end{cases}$
7. 计算: (1)$a^3 · a · a^5 - a^2 · (-a)^7$;
(2)$(a-b)^2 · (b-a)^3 + (a-b)^4 · (b-a)$.

解：
(1) 原式 = $a^{3+1+5} - a^2 · (-a^7)$
$= a^9 + a^{2+7}$
$= a^9 + a^9$
$= 2a^9$
(2) 原式 = $(b-a)^2 · (b-a)^3 + (b-a)^4 · (b-a)$
$= (b-a)^{2+3} + (b-a)^{4+1}$
$= (b-a)^5 + (b-a)^5$
$= 2(b-a)^5$

【分析】
解答这两道题需结合同底数幂的乘法法则与互为相反数的幂的变形规律，思路如下：
（1）对于第(1)小题：先利用“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”计算前半部分的乘积；再根据奇次幂的符号规则化简$(-a)^7$，计算后半部分的乘积，最后合并同类项即可得到结果。
（2）对于第(2)小题：观察到底数$a-b$与$b-a$互为相反数，根据偶次幂的性质，将底数为$a-b$的偶次幂转化为底数为$b-a$的幂，统一所有项的底数后，再用同底数幂乘法法则计算，最后合并同类项。
【解析】
(1) 原式 = $a^{3+1+5} - a^2 · (-a^7)$
$= a^9 + a^{2+7}$
$= a^9 + a^9$
$= 2a^9$
(2) 原式 = $(b-a)^2 · (b-a)^3 + (b-a)^4 · (b-a)$
$= (b-a)^{2+3} + (b-a)^{4+1}$
$= (b-a)^5 + (b-a)^5$
$= 2(b-a)^5$
【答案】
(1) $2a^9$；(2) $2(b-a)^5$
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的符号化简；合并同类项
【点评】
本题主要考查底数互为相反数的幂的乘法运算，解题的关键是根据幂的奇偶性正确统一底数，再结合同底数幂的运算规则计算，计算时要格外注意符号的变化，避免因符号判断错误丢分。
【难度系数】
0.7