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12.棱长为a的小立方块摆成如图所示的几何体.
(1)①请分别在下面图中画出从正面、左面和上面观察该几何体看到的平面图形；
②该几何体的表面积为
(2)依图中摆放方法类推,当几何体摆放了5层时,该几何体的表面积为
(1)①请分别在下面图中画出从正面、左面和上面观察该几何体看到的平面图形；
②该几何体的表面积为
$36a^2$
.(2)依图中摆放方法类推,当几何体摆放了5层时,该几何体的表面积为
$90a^2$
.答案
12. 解:(1)①
②$36a^2$ (2)$90a^2$解析
【分析】
（1）①画三视图的思路：观察几何体时，正面看（主视图）看列数和每列的最高层数，该几何体共3列，从左到右最高层数依次为3、2、1；左面看（左视图）同理，3列从左到右最高层数依次为3、2、1；上面看（俯视图）看行数和列数的分布，共3行3列，从前往后每行的正方形个数依次为3、2、1，且均靠左对齐。②求表面积：几何体的表面积等于六个方向（前、后、左、右、上、下）看到的小正方形面积之和，先数出单个方向的小正方形个数，乘6得到总个数，再乘单个小正方形的面积$a^2$即可。
（2）摆放n层时，单个方向看到的小正方形个数为$1+2+3+\dots+n$，代入n=5求出单个方向的数量，再乘6和$a^2$即可得到5层几何体的表面积。
【解析】
(1)①按照三视图的绘制规则，画出的三个视图如下：
②先计算单个方向看到的小正方形数量：正面看有$1+2+3=6$个小正方形，后、左、右、上、下四个方向看到的小正方形数量都和正面相同，所以总共有$6×6=36$个小正方形，每个小正方形面积为$a^2$，因此表面积为$36a^2$。
(2)当摆放5层时，单个方向看到的小正方形数量为$1+2+3+4+5=15$，六个方向总共有$15×6=90$个小正方形，因此表面积为$90a^2$。
【答案】
(1)① ②$36a^2$
(2)$90a^2$
【知识点】
三视图绘制，几何体表面积计算，图形规律探究
【点评】
本题考查立体图形的三视图绘制和表面积计算，需要学生掌握三视图的观察方法，学会通过六个方向的视图面积和求解组合几何体的表面积，规律探究部分考查归纳推理能力，掌握方法后解题难度不大。
【难度系数】
0.65
（1）①画三视图的思路：观察几何体时，正面看（主视图）看列数和每列的最高层数，该几何体共3列，从左到右最高层数依次为3、2、1；左面看（左视图）同理，3列从左到右最高层数依次为3、2、1；上面看（俯视图）看行数和列数的分布，共3行3列，从前往后每行的正方形个数依次为3、2、1，且均靠左对齐。②求表面积：几何体的表面积等于六个方向（前、后、左、右、上、下）看到的小正方形面积之和，先数出单个方向的小正方形个数，乘6得到总个数，再乘单个小正方形的面积$a^2$即可。
（2）摆放n层时，单个方向看到的小正方形个数为$1+2+3+\dots+n$，代入n=5求出单个方向的数量，再乘6和$a^2$即可得到5层几何体的表面积。
【解析】
(1)①按照三视图的绘制规则，画出的三个视图如下：
②先计算单个方向看到的小正方形数量：正面看有$1+2+3=6$个小正方形，后、左、右、上、下四个方向看到的小正方形数量都和正面相同，所以总共有$6×6=36$个小正方形，每个小正方形面积为$a^2$，因此表面积为$36a^2$。
(2)当摆放5层时，单个方向看到的小正方形数量为$1+2+3+4+5=15$，六个方向总共有$15×6=90$个小正方形，因此表面积为$90a^2$。
【答案】
(1)①
②$36a^2$(2)$90a^2$
【知识点】
三视图绘制，几何体表面积计算，图形规律探究
【点评】
本题考查立体图形的三视图绘制和表面积计算，需要学生掌握三视图的观察方法，学会通过六个方向的视图面积和求解组合几何体的表面积，规律探究部分考查归纳推理能力，掌握方法后解题难度不大。
【难度系数】
0.65
13. 
，该三棱柱的高为9 cm，底面是一个每边长都为5 cm的三角形.
(1)这个三棱柱有
(2)，这是该三棱柱的表面展开图的一部分，请将它补充完整；
(3)这个三棱柱的侧面积是
，该三棱柱的高为9 cm，底面是一个每边长都为5 cm的三角形.(1)这个三棱柱有
5
个面，有9
条棱；(2)，这是该三棱柱的表面展开图的一部分，请将它补充完整；
(3)这个三棱柱的侧面积是
135
cm²，要将该三棱柱的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，需剪开棱的棱长的和的最大值为37
cm.答案
13. (1)5,9 (2)略 (3)135,37
解析
【分析】
(1) 解决第一问需回忆三棱柱的结构：三棱柱有上下2个三角形底面，3个长方形侧面，据此数面的数量；棱分为底面棱和侧棱，上下底面各3条棱，加3条侧棱，即可得到总棱数。
(2) 第二问补全展开图，需明确三棱柱表面展开图包含2个三角形底面、3个长方形侧面，结合图2已有的部分，补出剩余的2个侧面和1个底面即可，画法合理即可。
(3) 第三问侧面积计算：每个侧面是长为棱柱的高、宽为底面边长的长方形，先算1个侧面的面积再乘3即可。求剪开棱长的最大值时，先算出三棱柱所有棱的总长度，再明确展开成平面图形时，5个面相连需要保留4条棱不剪开，要让剪开的棱长和最大，就要让保留的未剪开棱的总长度最小，选择最短的4条棱作为未剪开棱，用总棱长减去未剪开的总长度即可得到结果。
【解析】
(1) 三棱柱的面数：2个底面+3个侧面=5个；棱的数量：上下底面各3条棱+3条侧棱=3×2+3=9条。
(2) 结合三棱柱展开图的组成，在图2合适位置补出2个长9cm宽5cm的矩形和1个边长为5cm的等边三角形即可，答案不唯一，正确即可。
(3) 侧面积：每个侧面面积为$5×9=45\ \mathrm{cm}^2$，3个侧面总面积为$3×45=135\ \mathrm{cm}^2$。
三棱柱总棱长和：底面共6条边长为5cm的棱，3条长为9cm的侧棱，总棱长$=6×5+3×9=30+27=57\ \mathrm{cm}$。
将三棱柱展开为平面图形时，5个面需要有4条棱相连（未剪开），要使剪开的棱长和最大，需保留的未剪开棱总长度最小，选择4条长度为5cm的底面棱作为未剪开棱，未剪开总长度为$4×5=20\ \mathrm{cm}$，因此剪开棱长的最大值为$57-20=37\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1)5，9；(2)略；(3)135，37
【知识点】
三棱柱的特征，几何体展开图，棱柱侧面积计算
【点评】
本题围绕三棱柱的结构、展开图及相关计算设置问题，既考查基础概念的识记，也需要结合展开图的规律进行最值推导，能有效检验对立体图形相关知识的掌握程度。
【难度系数】
0.6
(1) 解决第一问需回忆三棱柱的结构：三棱柱有上下2个三角形底面，3个长方形侧面，据此数面的数量；棱分为底面棱和侧棱，上下底面各3条棱，加3条侧棱，即可得到总棱数。
(2) 第二问补全展开图，需明确三棱柱表面展开图包含2个三角形底面、3个长方形侧面，结合图2已有的部分，补出剩余的2个侧面和1个底面即可，画法合理即可。
(3) 第三问侧面积计算：每个侧面是长为棱柱的高、宽为底面边长的长方形，先算1个侧面的面积再乘3即可。求剪开棱长的最大值时，先算出三棱柱所有棱的总长度，再明确展开成平面图形时，5个面相连需要保留4条棱不剪开，要让剪开的棱长和最大，就要让保留的未剪开棱的总长度最小，选择最短的4条棱作为未剪开棱，用总棱长减去未剪开的总长度即可得到结果。
【解析】
(1) 三棱柱的面数：2个底面+3个侧面=5个；棱的数量：上下底面各3条棱+3条侧棱=3×2+3=9条。
(2) 结合三棱柱展开图的组成，在图2合适位置补出2个长9cm宽5cm的矩形和1个边长为5cm的等边三角形即可，答案不唯一，正确即可。
(3) 侧面积：每个侧面面积为$5×9=45\ \mathrm{cm}^2$，3个侧面总面积为$3×45=135\ \mathrm{cm}^2$。
三棱柱总棱长和：底面共6条边长为5cm的棱，3条长为9cm的侧棱，总棱长$=6×5+3×9=30+27=57\ \mathrm{cm}$。
将三棱柱展开为平面图形时，5个面需要有4条棱相连（未剪开），要使剪开的棱长和最大，需保留的未剪开棱总长度最小，选择4条长度为5cm的底面棱作为未剪开棱，未剪开总长度为$4×5=20\ \mathrm{cm}$，因此剪开棱长的最大值为$57-20=37\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1)5，9；(2)略；(3)135，37
【知识点】
三棱柱的特征，几何体展开图，棱柱侧面积计算
【点评】
本题围绕三棱柱的结构、展开图及相关计算设置问题，既考查基础概念的识记，也需要结合展开图的规律进行最值推导，能有效检验对立体图形相关知识的掌握程度。
【难度系数】
0.6
14.一个小立方体的六个面分别标有字母A,B,C,D,E,F,从三个不同方向看到的情形如图所示.
(1)A对面的字母是
(2)若A=2x−1,B=−3x+9,C=−7,D=1,E=4x+5,F=9,且字母A与它对面的字母表示的数互为相反数,求B,E的值.
(1)A对面的字母是
C
,B对面的字母是D
,E对面的字母是F
;(2)若A=2x−1,B=−3x+9,C=−7,D=1,E=4x+5,F=9,且字母A与它对面的字母表示的数互为相反数,求B,E的值.
答案
14. (1)C,D,F (2)$B=-3$,$E=21$
解析
【分析】
(1) 要确定正方体每个面的对面字母，可利用“正方体每个面有4个相邻面，剩余1个面就是对面”的规律：先找出和A相邻的所有字母，排除后剩余的就是A的对面；再用同样方法推导B、E的对面即可。
(2) 先根据“A与它对面的字母互为相反数”的条件列方程求出x的值，再将x代入B、E的代数式计算即可得到结果。
【解析】
(1) 观察三个方向看到的图形：
① 与A相邻的字母有D、E、B、F，六个字母中排除这四个，剩余的字母为C，因此A对面的字母是C；
② 与B相邻的字母有C、E、A、F，六个字母中排除这四个，剩余的字母为D，因此B对面的字母是D；
③ 六个字母剩余E和F，因此E对面的字母是F。
(2) 由题意可知，A和它对面的C互为相反数，因此满足：
$A+C=0$
已知$A=2x-1$，$C=-7$，代入等式得：
$2x-1+(-7)=0$
整理得$2x-8=0$，解得$x=4$。
将$x=4$代入$B=-3x+9$，得：
$B=-3×4+9=-12+9=-3$
将$x=4$代入$E=4x+5$，得：
$E=4×4+5=16+5=21$
【答案】
(1)C，D，F；(2)$B=-3$，$E=21$
【知识点】
正方体相对面判断，相反数的性质，一元一次方程求解
【点评】
本题结合立体图形的面的位置关系和代数计算进行考查，解题关键是通过相邻面推导对面的字母，再结合相反数的性质列方程求解即可。
【难度系数】
0.7
(1) 要确定正方体每个面的对面字母，可利用“正方体每个面有4个相邻面，剩余1个面就是对面”的规律：先找出和A相邻的所有字母，排除后剩余的就是A的对面；再用同样方法推导B、E的对面即可。
(2) 先根据“A与它对面的字母互为相反数”的条件列方程求出x的值，再将x代入B、E的代数式计算即可得到结果。
【解析】
(1) 观察三个方向看到的图形：
① 与A相邻的字母有D、E、B、F，六个字母中排除这四个，剩余的字母为C，因此A对面的字母是C；
② 与B相邻的字母有C、E、A、F，六个字母中排除这四个，剩余的字母为D，因此B对面的字母是D；
③ 六个字母剩余E和F，因此E对面的字母是F。
(2) 由题意可知，A和它对面的C互为相反数，因此满足：
$A+C=0$
已知$A=2x-1$，$C=-7$，代入等式得：
$2x-1+(-7)=0$
整理得$2x-8=0$，解得$x=4$。
将$x=4$代入$B=-3x+9$，得：
$B=-3×4+9=-12+9=-3$
将$x=4$代入$E=4x+5$，得：
$E=4×4+5=16+5=21$
【答案】
(1)C，D，F；(2)$B=-3$，$E=21$
【知识点】
正方体相对面判断，相反数的性质，一元一次方程求解
【点评】
本题结合立体图形的面的位置关系和代数计算进行考查，解题关键是通过相邻面推导对面的字母，再结合相反数的性质列方程求解即可。
【难度系数】
0.7
