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13.如图,在∠AOB 的内部有射线OC,OD,OE.若∠AOC=52°,∠BOE = $\frac{1}{4}$∠BOC, ∠BOD = $\frac{1}{4}$∠AOB, 则∠DOE =
13°
.答案
13. $13°$
解析
【分析】
要求∠DOE的度数，首先观察角的位置关系可知∠DOE=∠BOD-∠BOE。结合题目给出的∠BOD和∠BOE的倍分关系，将两者代入后可提取公因式，发现剩下的部分恰好是已知的∠AOC，通过整体代入即可快速求出结果，无需逐个计算未知角的度数。
【解析】
根据角的和差关系可得：$∠ DOE = ∠ BOD - ∠ BOE$
已知$∠ BOD = \frac{1}{4}∠ AOB$，$∠ BOE = \frac{1}{4}∠ BOC$，代入上式得：
$∠ DOE = \frac{1}{4}∠ AOB - \frac{1}{4}∠ BOC = \frac{1}{4}(∠ AOB - ∠ BOC)$
又因为$∠ AOB - ∠ BOC = ∠ AOC = 52°$，代入得：
$∠ DOE = \frac{1}{4} × 52° = 13°$
【答案】
$13°$
【知识点】
角的和差运算、角的倍分关系
【点评】
本题考查角的运算，解题的关键是灵活运用角的和差与倍分关系，通过整体代换的方法简化计算，避免不必要的未知量求解，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
要求∠DOE的度数，首先观察角的位置关系可知∠DOE=∠BOD-∠BOE。结合题目给出的∠BOD和∠BOE的倍分关系，将两者代入后可提取公因式，发现剩下的部分恰好是已知的∠AOC，通过整体代入即可快速求出结果，无需逐个计算未知角的度数。
【解析】
根据角的和差关系可得：$∠ DOE = ∠ BOD - ∠ BOE$
已知$∠ BOD = \frac{1}{4}∠ AOB$，$∠ BOE = \frac{1}{4}∠ BOC$，代入上式得：
$∠ DOE = \frac{1}{4}∠ AOB - \frac{1}{4}∠ BOC = \frac{1}{4}(∠ AOB - ∠ BOC)$
又因为$∠ AOB - ∠ BOC = ∠ AOC = 52°$，代入得：
$∠ DOE = \frac{1}{4} × 52° = 13°$
【答案】
$13°$
【知识点】
角的和差运算、角的倍分关系
【点评】
本题考查角的运算，解题的关键是灵活运用角的和差与倍分关系，通过整体代换的方法简化计算，避免不必要的未知量求解，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
14.如图，点O是直线AB上的一点，∠COD=90°，射线OE在∠BOD内部，且∠BOE=∠DOE.
(1)若∠BOE=35°，求∠COE和∠AOD的度数；
(2)用等式写出∠AOD与∠COE的数量关系，并说明理由.
(1)若∠BOE=35°，求∠COE和∠AOD的度数；
(2)用等式写出∠AOD与∠COE的数量关系，并说明理由.
答案
14. (1)$∠COE=55°$,$∠AOD=110°$；
(2)$∠AOD=2∠COE$,理由如下：
设$∠COE=x$，
$\because ∠COD=90°$
$\therefore ∠DOE=90°-x$
$\because ∠BOE=∠DOE$
$\therefore ∠BOD=2∠DOE=180°-2x$
$\therefore ∠AOD=180°-∠BOD=2x$，
$\therefore ∠AOD=2∠COE$
(2)$∠AOD=2∠COE$,理由如下：
设$∠COE=x$，
$\because ∠COD=90°$
$\therefore ∠DOE=90°-x$
$\because ∠BOE=∠DOE$
$\therefore ∠BOD=2∠DOE=180°-2x$
$\therefore ∠AOD=180°-∠BOD=2x$，
$\therefore ∠AOD=2∠COE$
解析
【分析】
(1) 求解第一问时，首先根据已知∠BOE=∠DOE，可直接得到∠DOE的度数，再结合∠COD=90°，用∠COD减去∠DOE即可求出∠COE；接下来先计算∠BOD的度数（∠BOD=∠BOE+∠DOE），再根据AB是直线，∠AOB为180°平角，用180°减去∠BOD就能得到∠AOD的度数。
(2) 求解第二问时，可设∠COE为未知数，先表示出∠DOE的度数，再利用∠BOE=∠DOE的关系表示出∠BOD，最后结合平角的定义表示出∠AOD，即可推导出∠AOD和∠COE的数量关系。
【解析】
(1) 已知∠BOE=35°，且∠BOE=∠DOE，因此∠DOE=35°。
因为∠COD=90°，所以$∠ COE=∠ COD-∠ DOE=90°-35°=55°$。
$∠ BOD=∠ BOE+∠ DOE=35°+35°=70°$，
又因为点O在直线AB上，$∠ AOB=180°$，所以$∠ AOD=180°-∠ BOD=180°-70°=110°$。
(2) $∠ AOD=2∠ COE$，理由如下：
设$∠ COE=x$，
$\because ∠ COD=90°$
$\therefore ∠ DOE=90°-x$
$\because ∠ BOE=∠ DOE$
$\therefore ∠ BOD=2∠ DOE=2(90°-x)=180°-2x$
$\because$点O在直线AB上，$∠ AOB=180°$
$\therefore ∠ AOD=180°-∠ BOD=180°-(180°-2x)=2x$
$\therefore ∠ AOD=2∠ COE$
【答案】
(1) $∠ COE=55°$，$∠ AOD=110°$；
(2) $∠ AOD=2∠ COE$
【知识点】
角的和差运算，平角的定义，角平分线的定义
【点评】
本题属于角的运算的基础题型，解题核心是理清图中各角之间的和差关系，结合已知的直角、等角条件逐步推导即可，能较好地考查学生对角度基本运算的掌握情况。
【难度系数】
0.7
(1) 求解第一问时，首先根据已知∠BOE=∠DOE，可直接得到∠DOE的度数，再结合∠COD=90°，用∠COD减去∠DOE即可求出∠COE；接下来先计算∠BOD的度数（∠BOD=∠BOE+∠DOE），再根据AB是直线，∠AOB为180°平角，用180°减去∠BOD就能得到∠AOD的度数。
(2) 求解第二问时，可设∠COE为未知数，先表示出∠DOE的度数，再利用∠BOE=∠DOE的关系表示出∠BOD，最后结合平角的定义表示出∠AOD，即可推导出∠AOD和∠COE的数量关系。
【解析】
(1) 已知∠BOE=35°，且∠BOE=∠DOE，因此∠DOE=35°。
因为∠COD=90°，所以$∠ COE=∠ COD-∠ DOE=90°-35°=55°$。
$∠ BOD=∠ BOE+∠ DOE=35°+35°=70°$，
又因为点O在直线AB上，$∠ AOB=180°$，所以$∠ AOD=180°-∠ BOD=180°-70°=110°$。
(2) $∠ AOD=2∠ COE$，理由如下：
设$∠ COE=x$，
$\because ∠ COD=90°$
$\therefore ∠ DOE=90°-x$
$\because ∠ BOE=∠ DOE$
$\therefore ∠ BOD=2∠ DOE=2(90°-x)=180°-2x$
$\because$点O在直线AB上，$∠ AOB=180°$
$\therefore ∠ AOD=180°-∠ BOD=180°-(180°-2x)=2x$
$\therefore ∠ AOD=2∠ COE$
【答案】
(1) $∠ COE=55°$，$∠ AOD=110°$；
(2) $∠ AOD=2∠ COE$
【知识点】
角的和差运算，平角的定义，角平分线的定义
【点评】
本题属于角的运算的基础题型，解题核心是理清图中各角之间的和差关系，结合已知的直角、等角条件逐步推导即可，能较好地考查学生对角度基本运算的掌握情况。
【难度系数】
0.7
15.已知∠AOB=90°,∠AOC=30°,∠COD=40°,求∠BOD的度数.
答案
15. $∠BOD$的度数可以是$100°$，$20°$，$160°$或$80°$.
解析
【分析】
本题未明确射线OC、OD的具体位置，属于角的运算的多解问题，需按以下思路分类讨论：首先分射线OC在∠AOB内部、射线OC在∠AOB外部两大类，每一类中再分射线OD在∠AOC的不同侧两种情况，结合已知角的度数，利用角的和差关系分别计算∠BOD的度数即可。
【解析】
已知∠AOB=90°，∠AOC=30°，∠COD=40°，分四种情况讨论：
1. 当OC在∠AOB内部，OD在OC和OB之间时：
$∠ BOC = ∠ AOB - ∠ AOC = 90° - 30° = 60°$
$∠ BOD = ∠ BOC - ∠ COD = 60° - 40° = 20°$
2. 当OC在∠AOB内部，OD在OA另一侧（OA在OC和OD之间）时：
$∠ AOD = ∠ COD - ∠ AOC = 40° - 30° = 10°$
$∠ BOD = ∠ AOB + ∠ AOD = 90° + 10° = 100°$
3. 当OC在∠AOB外部（OC与OB在OA异侧），OD在OA和OC之间时：
$∠ AOD = ∠ COD - ∠ AOC = 40° - 30° = 10°$
$∠ BOD = ∠ AOB - ∠ AOD = 90° - 10° = 80°$
4. 当OC在∠AOB外部（OC与OB在OA异侧），OD在OC另一侧（OC在OA和OD之间）时：
$∠ BOC = ∠ AOB + ∠ AOC = 90° + 30° = 120°$
$∠ BOD = ∠ BOC + ∠ COD = 120° + 40° = 160°$
【答案】
$∠ BOD$的度数可以是$100°$，$20°$，$160°$或$80°$。
【知识点】
角的和差计算，分类讨论思想，角的位置判定
【点评】
本题是角的运算的典型多解题型，解题的关键是要考虑到射线位置的所有可能性，避免因漏看位置情况导致漏解，平时练习时要养成结合图形分类讨论的习惯。
【难度系数】
0.4
本题未明确射线OC、OD的具体位置，属于角的运算的多解问题，需按以下思路分类讨论：首先分射线OC在∠AOB内部、射线OC在∠AOB外部两大类，每一类中再分射线OD在∠AOC的不同侧两种情况，结合已知角的度数，利用角的和差关系分别计算∠BOD的度数即可。
【解析】
已知∠AOB=90°，∠AOC=30°，∠COD=40°，分四种情况讨论：
1. 当OC在∠AOB内部，OD在OC和OB之间时：
$∠ BOC = ∠ AOB - ∠ AOC = 90° - 30° = 60°$
$∠ BOD = ∠ BOC - ∠ COD = 60° - 40° = 20°$
2. 当OC在∠AOB内部，OD在OA另一侧（OA在OC和OD之间）时：
$∠ AOD = ∠ COD - ∠ AOC = 40° - 30° = 10°$
$∠ BOD = ∠ AOB + ∠ AOD = 90° + 10° = 100°$
3. 当OC在∠AOB外部（OC与OB在OA异侧），OD在OA和OC之间时：
$∠ AOD = ∠ COD - ∠ AOC = 40° - 30° = 10°$
$∠ BOD = ∠ AOB - ∠ AOD = 90° - 10° = 80°$
4. 当OC在∠AOB外部（OC与OB在OA异侧），OD在OC另一侧（OC在OA和OD之间）时：
$∠ BOC = ∠ AOB + ∠ AOC = 90° + 30° = 120°$
$∠ BOD = ∠ BOC + ∠ COD = 120° + 40° = 160°$
【答案】
$∠ BOD$的度数可以是$100°$，$20°$，$160°$或$80°$。
【知识点】
角的和差计算，分类讨论思想，角的位置判定
【点评】
本题是角的运算的典型多解题型，解题的关键是要考虑到射线位置的所有可能性，避免因漏看位置情况导致漏解，平时练习时要养成结合图形分类讨论的习惯。
【难度系数】
0.4
