8.(原创题)下列计算中,正确的是().

A.$(a+b)(a+b)=a^2+b^2$
B.$(x+2y)(x-2y)=x^2-2y^2$
C.$(-3x-4)(3x-4)=9x^2-16$
D.$(2a-b)(2a+b)=4a^2-b^2$

D

【分析】
这道题考查整式乘法中公式的应用，解题思路如下：第一步，先回忆完全平方公式和平方差公式的结构特征：完全平方公式针对两个完全相同的二项式相乘，展开为三项式，形式为$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$；平方差公式针对“一项相同、另一项互为相反数”的两个二项式相乘，展开为两项式，形式为$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$。第二步，逐个分析每个选项符合哪种公式的结构，代入公式计算后和选项给出的结果比对，判断正误即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$(a+b)(a+b)=(a+b)^2$，根据完全平方公式展开得$a^2+2ab+b^2$，和选项给出的$a^2+b^2$不符，故A错误；
B选项：$(x+2y)(x-2y)$符合平方差公式结构，其中相同项是$x$，相反项是$2y$和$-2y$，代入公式得$x^2-(2y)^2=x^2-4y^2$，和选项给出的$x^2-2y^2$不符，故B错误；
C选项：$(-3x-4)(3x-4)$可变形为$(-4-3x)(-4+3x)$，符合平方差公式结构，相同项是$-4$，相反项是$-3x$和$3x$，代入公式得$(-4)^2-(3x)^2=16-9x^2$，和选项给出的$9x^2-16$不符，故C错误；
D选项：$(2a-b)(2a+b)$符合平方差公式结构，相同项是$2a$，相反项是$-b$和$b$，代入公式得$(2a)^2-b^2=4a^2-b^2$，和选项结果一致，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式；完全平方公式；整式乘法运算
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，核心是区分完全平方公式和平方差公式的结构特征，解题时要注意识别公式中的相同项、相反项，同时不要漏掉系数的平方运算，是整式乘法模块的常考基础题。
【难度系数】
0.8

9.计算:$(m^2+1)(m+1)(m-1)-(m^4+1)$的值是().

A.$-2m^2$
B.$0$
C.$-2$
D.$-1$

C

【分析】
观察式子结构，发现$(m+1)(m-1)$符合平方差公式的形式，解题时先利用平方差公式计算这部分的乘积，再和$(m^2+1)$相乘，可再次运用平方差公式化简，最后去括号合并同类项即可得到结果，计算时要注意去括号的符号规则，避免符号出错。
【解析】
解：第一步，先利用平方差公式计算$(m+1)(m-1)$：
$(m+1)(m-1)=m^2-1$
将结果代入原式，得：
$\begin{aligned}原式&=(m^2+1)(m^2-1)-(m^4+1)\\\end{aligned}$
第二步，再次利用平方差公式计算$(m^2+1)(m^2-1)$：
$(m^2+1)(m^2-1)=(m^2)^2-1^2=m^4-1$
代入后去括号合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=m^4-1 - m^4 -1\\&=(m^4-m^4)+(-1-1)\\&=-2\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
平方差公式，整式混合运算
【点评】
本题侧重考查平方差公式的连续应用，解题关键是准确识别平方差公式的结构特征，同时注意去括号时符号的变化，属于整式运算的基础题型。
【难度系数】
0.8

10.计算：$2025×2027 - 2026^2 =$ .

解：
原式$=(2026 - 1)×(2026 + 1) - 2026^2$
$=2026^2 - 1^2 - 2026^2$
$=-1$

【分析】
观察算式中的三个数2025、2026、2027，发现2025=2026-1，2027=2026+1，因此可以将乘积项2025×2027转化为(2026-1)(2026+1)的形式，符合平方差公式的结构，利用平方差公式展开后即可消去2026²项，无需计算大数乘积即可快速得到结果。
【解析】
原式$=(2026 - 1)×(2026 + 1) - 2026^2$
根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，可得：
$=2026^2 - 1^2 - 2026^2$
合并同类项后得：
$=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
平方差公式，整式简便运算
【点评】
本题考查对平方差公式的灵活运用，解题的核心是发现算式中数字的相邻关系，将乘积项变形为平方差公式的标准结构，大幅简化计算过程，避免直接计算大数乘积的繁琐。
【难度系数】
0.7

11. (1)先化简，再求值：
$(3a+1)(3a-1)-(2a-3)(3a+2)$，其中$a=\frac{1}{3}$；
(2)已知$2a^2+3a-6=0$，求代数式$3a(2a+1)-(2a+1)(2a-1)$的值。

解：
(1) 利用平方差公式化简第一项：
$(3a+1)(3a-1)=9a^2-1$
展开第二项：
$(2a-3)(3a+2)=6a^2+4a-9a-6=6a^2-5a-6$
原式$=9a^2-1-(6a^2-5a-6)$
$=9a^2-1-6a^2+5a+6$
$=3a^2+5a+5$
当$a=\frac{1}{3}$时，
原式$=3×(\frac{1}{3})^2 +5×\frac{1}{3}+5$
$=\frac{1}{3}+\frac{5}{3}+5$
$=7$
(2) 化简代数式：
原式$=6a^2+3a-[(2a)^2-1^2]$
$=6a^2+3a-(4a^2-1)$
$=6a^2+3a-4a^2+1$
$=2a^2+3a+1$
由$2a^2+3a-6=0$，得$2a^2+3a=6$，
将$2a^2+3a=6$代入得：
原式$=6+1=7$

【分析】
(1) 解题时先观察式子结构，第一项$(3a+1)(3a-1)$符合平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$的形式，可先用平方差公式简化计算；第二项是两个二项式相乘，按照多项式乘多项式的法则展开，之后去括号（注意括号前是负号时括号内各项都要变号），再合并同类项得到最简整式，最后将$a=\frac{1}{3}$代入最简式计算即可。
(2) 先对所求代数式进行化简，第一项按单项式乘多项式法则展开，第二项用平方差公式展开，去括号合并同类项后，发现化简结果中含有$2a^2+3a$这一部分，结合已知条件$2a^2+3a-6=0$可变形得到$2a^2+3a=6$，采用整体代入的方法计算即可，无需单独求解$a$的值。
【解析】
(1) 利用平方差公式化简第一项：
$(3a+1)(3a-1)=(3a)^2-1^2=9a^2-1$
展开第二项：
$(2a-3)(3a+2)=2a·3a + 2a·2 - 3·3a - 3·2=6a^2+4a-9a-6=6a^2-5a-6$
原式$=9a^2-1-(6a^2-5a-6)$
$=9a^2-1-6a^2+5a+6$
$=3a^2+5a+5$
当$a=\frac{1}{3}$时，
原式$=3×(\frac{1}{3})^2 +5×\frac{1}{3}+5$
$=3×\frac{1}{9}+\frac{5}{3}+5$
$=\frac{1}{3}+\frac{5}{3}+5$
$=2+5=7$
(2) 化简代数式：
原式$=3a·2a + 3a·1 - [(2a)^2-1^2]$
$=6a^2+3a-(4a^2-1)$
$=6a^2+3a-4a^2+1$
$=2a^2+3a+1$
由$2a^2+3a-6=0$，移项得$2a^2+3a=6$，
将$2a^2+3a=6$代入化简后的式子得：
原式$=6+1=7$
【答案】
(1) $\boxed{7}$；(2) $\boxed{7}$
【知识点】
平方差公式，整式化简求值，整体代入求值
【点评】
本题考查整式的混合运算与化简求值，解题的关键是熟练掌握平方差公式、多项式乘多项式等运算法则，去括号时注意符号变化，第二问运用整体代入思想可大大简化计算，提高正确率。
【难度系数】
0.7

12. 观察下列等式：
①$3^2 - 1^2 = 8$；②$5^2 - 3^2 = 16$；③$7^2 - 5^2 = 24$；
④$9^2 - 7^2 = 32$；…
(1) 写出第$n$个等式($n$是正整数)；
(2) 说明你所写的等式的正确性。

解：
(1) 第$n$个等式为：$\boldsymbol{(2n+1)^2 - (2n-1)^2 = 8n}$（$n$是正整数）。
(2) 证明：
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，
左边$=(2n+1)^2 - (2n-1)^2$
$=[(2n+1)+(2n-1)]·[(2n+1)-(2n-1)]$
$=4n × 2$
$=8n$
右边$=8n$，
左边$=$右边，因此所写等式成立。

【分析】
(1) 推导第n个等式的思路：先观察等式左边的底数，已知等式的左边都是两个连续奇数的平方差，第n个式子中较大的奇数可表示为$2n+1$，较小的相邻奇数为$2n-1$，因此左边为$(2n+1)^2-(2n-1)^2$；再观察等式右边的结果，第1个式子结果是$8×1$，第2个是$8×2$，第3个是$8×3$，以此类推第n个式子的结果为$8n$，即可总结出第n个等式。
(2) 验证等式正确性的思路：等式左边是两个整式的平方差，符合平方差公式的结构特征，利用平方差公式展开左边并化简，将化简结果和右边比较，若相等则等式成立。
【解析】
(1) 观察已知等式的规律：
当$n=1$时，$(2×1+1)^2-(2×1-1)^2=3^2-1^2=8=8×1$
当$n=2$时，$(2×2+1)^2-(2×2-1)^2=5^2-3^2=16=8×2$
当$n=3$时，$(2×3+1)^2-(2×3-1)^2=7^2-5^2=24=8×3$
……
因此第$n$个等式为：$(2n+1)^2-(2n-1)^2=8n$（$n$是正整数）。
(2) 证明等式正确性：
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，计算等式左边：
$\begin{aligned}左边&=(2n+1)^2 - (2n-1)^2\\&=[(2n+1)+(2n-1)]·[(2n+1)-(2n-1)]\\&=4n × 2\\&=8n\end{aligned}$
等式右边为$8n$，左边=右边，因此所写等式成立。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(2n+1)^2 - (2n-1)^2 = 8n}$（$n$是正整数）；
(2) 证明如上，等式成立。
【知识点】
数字规律探究、平方差公式
【点评】
本题结合规律探究考查平方差公式的应用，既需要通过观察已知式子归纳出数字变化的普遍规律，又需要熟练运用平方差公式进行整式运算验证规律，能有效锻炼归纳推理能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.7

13.(运算能力)小明遇到下面一个问题:
计算$(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)$.
经过观察,小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构,进而可以运用平方差公式解答问题,具体解法如下:
$(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)$
$=(2-1)(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)$
$=(2^2-1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)$
$=(2^4-1)(2^4+1)(2^8+1)$
$=(2^8-1)(2^8+1)$
$=2^{16}-1$.
请你根据小明的解题方法,试着解答以下问题:
(1)$(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)$
= ;
(2)$(3+1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1)(3^{16}+1)$
= ;
(3)$(7+1)(7^2+1)(7^4+1)(7^8+1)(7^{16}+1)$
= .

解：
(1)
$\begin{aligned}&(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)\\=&(2-1)(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)\\=&(2^2-1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)\\=&(2^4-1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)\\=&(2^8-1)(2^8+1)(2^{16}+1)\\=&(2^{16}-1)(2^{16}+1)\\=&2^{32}-1\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&(3+1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1)(3^{16}+1)\\=&\frac{1}{2}×(3-1)(3+1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1)(3^{16}+1)\\=&\frac{1}{2}×(3^2-1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1)(3^{16}+1)\\=&\frac{1}{2}×(3^4-1)(3^4+1)(3^8+1)(3^{16}+1)\\=&\frac{1}{2}×(3^8-1)(3^8+1)(3^{16}+1)\\=&\frac{1}{2}×(3^{16}-1)(3^{16}+1)\\=&\frac{3^{32}-1}{2}\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}&(7+1)(7^2+1)(7^4+1)(7^8+1)(7^{16}+1)\\=&\frac{1}{6}×(7-1)(7+1)(7^2+1)(7^4+1)(7^8+1)(7^{16}+1)\\=&\frac{1}{6}×(7^2-1)(7^2+1)(7^4+1)(7^8+1)(7^{16}+1)\\=&\frac{1}{6}×(7^4-1)(7^4+1)(7^8+1)(7^{16}+1)\\=&\frac{1}{6}×(7^8-1)(7^8+1)(7^{16}+1)\\=&\frac{1}{6}×(7^{16}-1)(7^{16}+1)\\=&\frac{7^{32}-1}{6}\end{aligned}$
答案依次为：$\boldsymbol{2^{32}-1}$；$\boldsymbol{\dfrac{3^{32}-1}{2}}$；$\boldsymbol{\dfrac{7^{32}-1}{6}}$。

【分析】
本题可利用平方差公式进行简便运算，解题思路如下：首先观察原式结构，要套用平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，需要补充形如$(a-b)$的项：(1)当底数为2时，$2-1=1$，乘以1不会改变原式的大小，因此直接在原式前乘$(2-1)$，即可连续使用平方差公式逐步化简；(2)当底数为3时，$3-1=2$，为保证原式值不变，需先乘$\frac{1}{2}×(3-1)$，再连续应用平方差公式计算；(3)当底数为7时，$7-1=6$，同理先乘$\frac{1}{6}×(7-1)$，再连续使用平方差公式，每使用一次公式，对应项的指数就会翻倍，最终可得计算结果。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}&(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)\\=&(2-1)(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)\\=&(2^2-1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)\\=&(2^4-1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)\\=&(2^8-1)(2^8+1)(2^{16}+1)\\=&(2^{16}-1)(2^{16}+1)\\=&2^{32}-1\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&(3+1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1)(3^{16}+1)\\=&\frac{1}{2}×(3-1)(3+1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1)(3^{16}+1)\\=&\frac{1}{2}×(3^2-1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1)(3^{16}+1)\\=&\frac{1}{2}×(3^4-1)(3^4+1)(3^8+1)(3^{16}+1)\\=&\frac{1}{2}×(3^8-1)(3^8+1)(3^{16}+1)\\=&\frac{1}{2}×(3^{16}-1)(3^{16}+1)\\=&\frac{3^{32}-1}{2}\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}&(7+1)(7^2+1)(7^4+1)(7^8+1)(7^{16}+1)\\=&\frac{1}{6}×(7-1)(7+1)(7^2+1)(7^4+1)(7^8+1)(7^{16}+1)\\=&\frac{1}{6}×(7^2-1)(7^2+1)(7^4+1)(7^8+1)(7^{16}+1)\\=&\frac{1}{6}×(7^4-1)(7^4+1)(7^8+1)(7^{16}+1)\\=&\frac{1}{6}×(7^8-1)(7^8+1)(7^{16}+1)\\=&\frac{1}{6}×(7^{16}-1)(7^{16}+1)\\=&\frac{7^{32}-1}{6}\end{aligned}$
【答案】
$2^{32}-1$；$\dfrac{3^{32}-1}{2}$；$\dfrac{7^{32}-1}{6}$
【知识点】
平方差公式；整式乘法运算；乘方运算
【点评】
本题是典型的平方差公式拓展应用类题目，核心考查对平方差公式结构的熟悉程度，解题关键是灵活构造平方差的适用形式，通过添加凑项并保证原式值不变的技巧，多次套用公式即可快速化简，能很好地锻炼简便运算的思维能力。
【难度系数】
0.6