一、选择题(本大题共6题,每题4分,满分24分)
名师微课
1.如图,已知∠1=∠2,添加下列各选项中的条件后,不能判定△ABC∽△ADE的是 ()



A.∠C=∠E
B.∠B=∠ADE
C.$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$
D.$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}$

1.D

【分析】
要解决这道题，首先从已知条件∠1=∠2推导得出两个三角形的一组对应角相等：∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，即∠BAC=∠DAE。此时要判定△ABC∽△ADE，只需满足相似三角形判定中“两角对应相等”或者“等角的两组夹边对应成比例”即可，接下来逐一分析各选项是否符合判定条件，找出不能判定的选项。
【解析】
∵∠1=∠2
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，即∠BAC=∠DAE
A选项：若∠C=∠E，结合∠BAC=∠DAE，满足“两角对应相等，两三角形相似（AA）”，可判定△ABC∽△ADE，不符合题意；
B选项：若∠B=∠ADE，结合∠BAC=∠DAE，满足“两角对应相等，两三角形相似（AA）”，可判定△ABC∽△ADE，不符合题意；
C选项：若$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，即等角∠BAC、∠DAE的两组夹边对应成比例，满足“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）”，可判定△ABC∽△ADE，不符合题意；
D选项：若$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}$，相等的角∠BAC、∠DAE并不是成比例的两组边的夹角，不满足相似三角形的判定条件，不能判定△ABC∽△ADE，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1.相似三角形的判定定理
2.角的和差运算
【点评】
本题重点考查相似三角形判定定理的应用，解题的关键是先根据已知角相等推导出两个三角形的公共等角，再结合判定条件逐一验证，要注意“两边成比例且夹角相等”才可以判定相似，切勿混淆边与角的对应关系。
【难度系数】
0.75

2. 如图,在$△ ABC$中,$AD\bot BC$于$D$,下列条件:
①$∠ B+∠ DAC=90°$;②$∠ B=∠ DAC$;③$\frac{CD}{AD}=\frac{AC}{AB}$;④$AB^2=BD· BC$.
其中一定能够判定$△ ABC$是直角三角形的有 （）

A.0个
B.1个
C.2个
D.3个

2.D

【分析】
解题思路：已知$AD\bot BC$，可得$∠ ADB=∠ ADC=90°$，要判定$△ ABC$是直角三角形，核心是推导$∠ BAC=90°$。我们逐个分析4个条件，结合直角三角形两锐角互余、相似三角形的判定与性质判断每个条件能否推出$∠ BAC=90°$即可。
【解析】
已知$AD\bot BC$，$\therefore ∠ ADB=∠ ADC=90°$，在$Rt△ ABD$中，$∠ B+∠ BAD=90°$；在$Rt△ ADC$中，$∠ C+∠ DAC=90°$。
1. 分析条件①：
$\because ∠ B+∠ DAC=90°$，结合$∠ B+∠ BAD=90°$，只能推出$∠ BAD=∠ DAC$，说明$AD$是$∠ BAC$的角平分线，可证$△ ABC$为等腰三角形（$AB=AC$），无法推出$∠ BAC=90°$，故①不符合要求。
2. 分析条件②：
$\because ∠ B=∠ DAC$，代入$∠ B+∠ BAD=90°$，得$∠ DAC+∠ BAD=∠ BAC=90°$，可判定$△ ABC$是直角三角形，故②符合要求。
3. 分析条件③：
$\because \frac{CD}{AD}=\frac{AC}{AB}$，且$∠ ADC=∠ BDA=90°$，
$\therefore △ ADC ∽ △ BDA$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
$\therefore ∠ C=∠ BAD$，代入$∠ C+∠ DAC=90°$，得$∠ BAD+∠ DAC=∠ BAC=90°$，可判定$△ ABC$是直角三角形，故③符合要求。
4. 分析条件④：
$\because AB^2=BD·BC$，变形得$\frac{AB}{BD}=\frac{BC}{AB}$，又$\because ∠ B$是$△ ABC$和$△ DBA$的公共角，
$\therefore △ ABC ∽ △ DBA$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
$\therefore ∠ BAC=∠ BDA=90°$，可判定$△ ABC$是直角三角形，故④符合要求。
综上，②③④共3个条件符合要求。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定与性质；直角三角形的判定；三角形高的性质
【点评】
本题考查直角三角形的判定，解题时需结合已知的垂直条件，灵活运用相似三角形的性质推导角的关系，注意逐一验证每个条件，避免遗漏相似的判定依据导致判断错误。
【难度系数】
0.6

3.如图，A、B均在方格纸的格点上.在方格纸内另取格点C、D，连接CD，交线段AB于点P.若要使点P把线段AB分成1：2的两条线段，下面两种方法中，（）


A.只有方法1对
B.只有方法2对
C.方法1、2都对
D.方法1、2都错

3.C

【分析】
要判断两种方法中CD与AB的交点P是否将AB分成1:2的两段，可借助相似三角形的性质求解：首先观察两种方法中AC与BD是否平行，再判断△ACP与△BDP的相似比，若相似比为1:2（或2:1），则对应边AP:PB=1:2（或2:1），即满足将AB分成1:2的要求，分别验证两种方法即可。
【解析】
设每个小方格的边长为1：
1. 验证方法1：观察网格可得AC//BD，计算得AC的长度为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，BD的长度为$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，因此$AC:BD=1:2$。
因为$AC// BD$，所以$∠ CAP=∠ DBP$，$∠ ACP=∠ BDP$，可证$△ ACP ∽ △ BDP$，相似比为$AC:BD=1:2$，因此对应边$AP:PB=AC:BD=1:2$，满足要求，方法1正确。
2. 验证方法2：观察网格可得AC//BD，计算得AC的长度为3，BD的长度为6，因此$AC:BD=1:2$。
因为$AC// BD$，同理可证$△ ACP ∽ △ BDP$，相似比为$1:2$，因此$AP:PB=AC:BD=1:2$，满足要求，方法2正确。
综上，方法1、2都对。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定与性质；平行线分线段成比例
【点评】
本题结合网格考查线段比例的判断，解题的关键是观察得到线段平行关系，利用相似三角形对应边成比例的性质求解，需要掌握网格中线段平行和长度的计算方法。
【难度系数】
0.7

4. 如图，在四边形ACBE中，AB、CE交于点O，D在CE上且$\frac{AD}{AE}=\frac{AC}{AB}$，$∠ EAB=∠ CAD$，则以下结论不一定成立的是（）

A.$∠ OCB=∠ CAD$
B.$AD=CD$
C.$AO· BO=CO· EO$
D.$S_{△ AOE}· S_{△ BOC}=S_{△ BOE}· S_{△ AOC}$

4.B

【分析】
解题时先从已知的角相等和边成比例条件入手：首先由∠EAB=∠CAD推导出公共夹角相等，结合边的比例关系证得初始相似三角形，得到对应角相等后再推导新的相似三角形，最后逐一验证每个选项是否能由已知条件严格推出：
1. 先通过角的和差得到∠EAD=∠BAC，结合边的比例证△EAD∽△BAC，得到对应角∠AED=∠ABC；
2. 利用对顶角相等证△AOE∽△COB，验证A、C选项；
3. 用含正弦的三角形面积公式计算两组面积乘积，验证D选项；
4. 分析B选项是否有推导依据即可得出结论。
【解析】
1. 证初始相似三角形
∵∠EAB=∠CAD，
∴∠EAB+∠BAD=∠CAD+∠BAD，即$∠ EAD=∠ BAC$
又$\frac{AD}{AE}=\frac{AC}{AB}$，变形得$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，满足两边成比例且夹角相等，
∴$△ EAD ∽ △ BAC$，得$∠ AED=∠ ABC$。
2. 验证选项A
在$△ AOE$和$△ COB$中：$∠ AEO=∠ CBO$，$∠ AOE=∠ COB$（对顶角相等），
∴$△ AOE ∽ △ COB$，得$∠ OAE=∠ OCB$，
又$∠ OAE=∠ EAB=∠ CAD$，
∴$∠ OCB=∠ CAD$，A一定成立。
3. 验证选项C
由$△ AOE ∽ △ COB$得$\frac{AO}{CO}=\frac{EO}{BO}$，交叉相乘得$AO· BO=CO· EO$，C一定成立。
4. 验证选项D
设$∠ AOE=α$，则$∠ BOC=α$，$∠ BOE=∠ AOC=180°-α$，且$\sinα=\sin(180°-α)$：
$S_{△ AOE}=\frac{1}{2}AO· EO·\sinα$，$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}BO· CO·\sinα$，
乘积为$S_{△ AOE}· S_{△ BOC}=\frac{1}{4}AO· BO· CO· EO·\sin^2α$；
$S_{△ BOE}=\frac{1}{2}BO· EO·\sin(180°-α)=\frac{1}{2}BO· EO·\sinα$，
$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}AO· CO·\sin(180°-α)=\frac{1}{2}AO· CO·\sinα$，
乘积为$S_{△ BOE}· S_{△ AOC}=\frac{1}{4}AO· BO· CO· EO·\sin^2α$，
因此$S_{△ AOE}· S_{△ BOC}=S_{△ BOE}· S_{△ AOC}$，D一定成立。
5. 验证选项B
若$AD=CD$需满足$∠ DAC=∠ DCA$，但已知条件无法推出该角相等关系，故B不一定成立。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定与性质，三角形面积计算，比例的性质
【点评】
本题重点考查相似三角形的综合应用，解题的核心是先由已知条件推出基础相似关系，再结合角的性质逐一推导选项，判断结论是否成立必须严格依托已知条件，避免主观臆断。
【难度系数】
0.65

5. 如图，已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB=3，BF⊥BP于点B，若在射线BF上找一点M，使以点B、M、C为顶点的三角形与△ABP相似，则BM的值为 （）

A.3
B.$\frac{16}{3}$
C.3或4
D.3或$\frac{16}{3}$

5.D 解析:
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°,AB=BC=4.又
∵∠PBF=90°,
∴∠ABP=∠CBF=90°−∠CBP.若以点B、M、C为顶点的三角形与△ABP相似，分两种情况：①，$\frac{AB}{BM}=\frac{PB}{BC}$,即$\frac{4}{BM}=\frac{3}{4}$,解得$BM=\frac{16}{3}$；②，$\frac{AB}{BC}=\frac{PB}{BM}$,即$\frac{4}{4}=\frac{3}{BM}$,解得$BM=3$.综上所述,满足条件的BM的值为3或$\frac{16}{3}$.

【分析】
首先根据正方形性质可得AB与BC长度相等、∠ABC为直角，结合BF垂直BP可推出∠ABP和∠CBF相等。已知两个三角形已有一组对应角相等，依据两边对应成比例且夹角相等的相似判定定理，即可证明相似，由于题目未明确两个三角形的顶点对应关系，因此需要分两种对应情况列比例式求解BM的长度。
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC=4，
∵BF⊥BP，
∴∠PBF=90°，
∴∠ABP + ∠CBP = ∠CBF + ∠CBP = 90°，即∠ABP=∠CBF。
若以B、M、C为顶点的三角形与△ABP相似，分两种情况：
① 当△ABP∽MBC时，对应边成比例得$\frac{AB}{BM}=\frac{PB}{BC}$，代入数值$\frac{4}{BM}=\frac{3}{4}$，解得$BM=\frac{16}{3}$；
② 当△ABP∽CBM时，对应边成比例得$\frac{AB}{BC}=\frac{PB}{BM}$，代入数值$\frac{4}{4}=\frac{3}{BM}$，解得$BM=3$。
综上所述，满足条件的BM的值为3或$\frac{16}{3}$。
【答案】
D
【知识点】
正方形的性质，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题的易错点是忽略相似三角形对应关系的不确定性，未分类讨论导致漏解，解题时要注意：当相似三角形的对应顶点未明确指定时，需要分类讨论所有可能的对应关系。
【难度系数】
0.6