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10. 有一个密码箱，其密码每一个数位上的数都是从0到9的自然数，若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于$\frac{1}{2024}$，则所设密码至少需要________位。
答案
10. 4
解析
【分析】
解题时首先明确密码的数位和总可能组合数的关系：每一位密码有0-9共10种选择，若设密码为n位，则总共有10ⁿ种等可能的密码组合；再结合等可能事件的概率公式，写出一次拨对密码的概率，根据题目给出的概率小于1/2024的要求列出不等式，最后通过计算乘方的结果找到满足不等式的最小正整数n即可。
【解析】
设所设密码需要$ n $位。
∵ 密码每个数位上的数都是0到9的自然数，
∴ 每个数位有10种等可能的选择，$ n $位密码总共有$ 10^n $种等可能的组合，一次拨对密码的情况只有1种，
∴ 一次拨对密码的概率为$ \frac{1}{10^n} $。
根据题意得：$ \frac{1}{10^n} ＜ \frac{1}{2024} $，
∵ $ 10^n＞0 $，$ 2024＞0 $，
∴ 不等式两边同乘$ 10^n × 2024 $，不等号方向不变，可得$ 10^n ＞ 2024 $。
计算得：当$ n=3 $时，$ 10^3=1000 ＜ 2024 $，不符合要求；
当$ n=4 $时，$ 10^4=10000 ＞ 2024 $，符合要求。
故所设密码至少需要4位。
【答案】
4
【知识点】
1. 等可能概率计算
2. 有理数乘方
3. 不等式求解
【点评】
本题结合生活中密码箱的实际场景考查概率的应用，解题的核心是准确求出不同数位密码的总组合数，再根据概率限制条件列不等式求解，需注意最终要取满足条件的最小正整数。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确密码的数位和总可能组合数的关系：每一位密码有0-9共10种选择，若设密码为n位，则总共有10ⁿ种等可能的密码组合；再结合等可能事件的概率公式，写出一次拨对密码的概率，根据题目给出的概率小于1/2024的要求列出不等式，最后通过计算乘方的结果找到满足不等式的最小正整数n即可。
【解析】
设所设密码需要$ n $位。
∵ 密码每个数位上的数都是0到9的自然数，
∴ 每个数位有10种等可能的选择，$ n $位密码总共有$ 10^n $种等可能的组合，一次拨对密码的情况只有1种，
∴ 一次拨对密码的概率为$ \frac{1}{10^n} $。
根据题意得：$ \frac{1}{10^n} ＜ \frac{1}{2024} $，
∵ $ 10^n＞0 $，$ 2024＞0 $，
∴ 不等式两边同乘$ 10^n × 2024 $，不等号方向不变，可得$ 10^n ＞ 2024 $。
计算得：当$ n=3 $时，$ 10^3=1000 ＜ 2024 $，不符合要求；
当$ n=4 $时，$ 10^4=10000 ＞ 2024 $，符合要求。
故所设密码至少需要4位。
【答案】
4
【知识点】
1. 等可能概率计算
2. 有理数乘方
3. 不等式求解
【点评】
本题结合生活中密码箱的实际场景考查概率的应用，解题的核心是准确求出不同数位密码的总组合数，再根据概率限制条件列不等式求解，需注意最终要取满足条件的最小正整数。
【难度系数】
0.7
11. A，B，C三个事件发生的概率分别为0.5，0.1，0.9，对其中一个事件的描述是“发生与不发生的可能性一样大”，该事件是
A
。答案
11. A
解析
【分析】
解题思路：首先明确“发生与不发生的可能性一样大”的数学含义，即事件发生的概率与不发生的概率相等。由于任意事件发生和不发生的概率之和为1，因此满足该描述的事件发生的概率应为0.5，最后对比三个事件的概率，找到概率为0.5的事件即可。
【解析】
解：若一个事件发生与不发生的可能性一样大，则该事件发生的概率=不发生的概率。
∵ 事件只有发生和不发生两种结果，二者概率之和为1，
∴ 满足条件的事件发生的概率为$1÷2=0.5$。
已知A、B、C三个事件的概率分别为0.5、0.1、0.9，只有事件A的概率为0.5，因此该事件是A。
【答案】
A
【知识点】
概率的意义；可能性大小判断
【点评】
本题考查概率基础概念的应用，核心是理解事件发生的可能性大小与对应概率值的关系，属于基础题型，掌握基础概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题思路：首先明确“发生与不发生的可能性一样大”的数学含义，即事件发生的概率与不发生的概率相等。由于任意事件发生和不发生的概率之和为1，因此满足该描述的事件发生的概率应为0.5，最后对比三个事件的概率，找到概率为0.5的事件即可。
【解析】
解：若一个事件发生与不发生的可能性一样大，则该事件发生的概率=不发生的概率。
∵ 事件只有发生和不发生两种结果，二者概率之和为1，
∴ 满足条件的事件发生的概率为$1÷2=0.5$。
已知A、B、C三个事件的概率分别为0.5、0.1、0.9，只有事件A的概率为0.5，因此该事件是A。
【答案】
A
【知识点】
概率的意义；可能性大小判断
【点评】
本题考查概率基础概念的应用，核心是理解事件发生的可能性大小与对应概率值的关系，属于基础题型，掌握基础概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
12. 一副扑克共有54张牌，其中52张是正牌，另外2张是大王和小王，52张正牌又均分为13张一组，并以黑桃、红桃、梅花、方块四种花色加以表示. 求下列事件的概率：
（1）从一副扑克中随机抽1张牌，抽到大王；
（2）从一副扑克中随机抽1张牌，抽到7.
（1）从一副扑克中随机抽1张牌，抽到大王；
（2）从一副扑克中随机抽1张牌，抽到7.
答案
12. (1) $P(抽到大王)=\frac{1}{54}$ (2) $P(抽到7)=\frac{2}{27}$
解析
【分析】
本题考查等可能条件下的概率计算，解题核心是运用概率公式$P(A)=\frac{m}{n}$，其中$n$是所有等可能的结果总数，$m$是事件$A$包含的结果数。解题时先确定随机抽1张牌的总结果数，再分别找出两个事件对应的符合条件的结果数，代入公式计算即可，注意结果要化为最简分数。
【解析】
解：（1）从54张牌中随机抽取1张，共有54种等可能的结果，其中抽到大王的结果有1种，
根据概率公式可得：$P(抽到大王)=\frac{符合条件的结果数}{总结果数}=\frac{1}{54}$。
（2）54张牌中，7共有4张（黑桃7、红桃7、梅花7、方块7各1张），即抽到7的结果有4种，
因此$P(抽到7)=\frac{4}{54}=\frac{2}{27}$。
【答案】
(1) $P(抽到大王)=\frac{1}{54}$ (2) $P(抽到7)=\frac{2}{27}$
【知识点】
1. 概率计算公式 2. 等可能事件概率求解
【点评】
本题属于概率计算的基础题型，解题的关键是准确统计总等可能结果数和目标事件对应的结果数，计算时注意最终结果要化简为最简分数，避免因计数错误或未化简失分。
【难度系数】
0.9
本题考查等可能条件下的概率计算，解题核心是运用概率公式$P(A)=\frac{m}{n}$，其中$n$是所有等可能的结果总数，$m$是事件$A$包含的结果数。解题时先确定随机抽1张牌的总结果数，再分别找出两个事件对应的符合条件的结果数，代入公式计算即可，注意结果要化为最简分数。
【解析】
解：（1）从54张牌中随机抽取1张，共有54种等可能的结果，其中抽到大王的结果有1种，
根据概率公式可得：$P(抽到大王)=\frac{符合条件的结果数}{总结果数}=\frac{1}{54}$。
（2）54张牌中，7共有4张（黑桃7、红桃7、梅花7、方块7各1张），即抽到7的结果有4种，
因此$P(抽到7)=\frac{4}{54}=\frac{2}{27}$。
【答案】
(1) $P(抽到大王)=\frac{1}{54}$ (2) $P(抽到7)=\frac{2}{27}$
【知识点】
1. 概率计算公式 2. 等可能事件概率求解
【点评】
本题属于概率计算的基础题型，解题的关键是准确统计总等可能结果数和目标事件对应的结果数，计算时注意最终结果要化简为最简分数，避免因计数错误或未化简失分。
【难度系数】
0.9
13. 现有4根小木棒，长度分别为：2，3，3，5(单位：cm)，从中任意取出3根，求它们能首尾顺次相连搭成三角形的概率.
答案
13. 所有可能情况:(2,3,3),(2,3,5),(2,3,5),(3,3,5);能搭成三角形的情况有2种,则$P(搭成三角形)=\frac{1}{2}$
解析
【分析】
这是等可能条件下的概率计算问题，解题思路分三步：第一步，先列举出从4根木棒中任取3根的所有等可能结果，注意有两根长度为3cm的木棒，列举时不要遗漏等可能情况；第二步，根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，逐一判断每种结果能否搭成三角形，统计符合条件的结果数；第三步，利用概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”计算最终概率。
【解析】
首先列举从4根小木棒中任意取出3根的所有等可能情况，共4种：
$(2,3,3)、(2,3,5)、(2,3,5)、(3,3,5)$
再根据三角形三边关系逐一判断：
1. 对$(2,3,3)$：$2+3＞3$，$3+3＞2$，满足三边关系，可搭成三角形；
2. 对两组$(2,3,5)$：$2+3=5$，不满足两边之和大于第三边，不可搭成三角形；
3. 对$(3,3,5)$：$3+3＞5$，$3+5＞3$，满足三边关系，可搭成三角形。
综上，能搭成三角形的情况共2种，根据概率公式可得：
$P(搭成三角形)=\frac{符合条件的情况数}{总情况数}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
三角形三边关系；列举法求概率；概率公式
【点评】
本题是概率与三角形性质的综合基础题，解题核心是准确枚举所有等可能的取法，同时牢记三角形三边的判定规则，避免因漏算、错算情况数出错。
【难度系数】
0.7
这是等可能条件下的概率计算问题，解题思路分三步：第一步，先列举出从4根木棒中任取3根的所有等可能结果，注意有两根长度为3cm的木棒，列举时不要遗漏等可能情况；第二步，根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，逐一判断每种结果能否搭成三角形，统计符合条件的结果数；第三步，利用概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”计算最终概率。
【解析】
首先列举从4根小木棒中任意取出3根的所有等可能情况，共4种：
$(2,3,3)、(2,3,5)、(2,3,5)、(3,3,5)$
再根据三角形三边关系逐一判断：
1. 对$(2,3,3)$：$2+3＞3$，$3+3＞2$，满足三边关系，可搭成三角形；
2. 对两组$(2,3,5)$：$2+3=5$，不满足两边之和大于第三边，不可搭成三角形；
3. 对$(3,3,5)$：$3+3＞5$，$3+5＞3$，满足三边关系，可搭成三角形。
综上，能搭成三角形的情况共2种，根据概率公式可得：
$P(搭成三角形)=\frac{符合条件的情况数}{总情况数}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
三角形三边关系；列举法求概率；概率公式
【点评】
本题是概率与三角形性质的综合基础题，解题核心是准确枚举所有等可能的取法，同时牢记三角形三边的判定规则，避免因漏算、错算情况数出错。
【难度系数】
0.7
14. 围棋盒中有$x$颗白色棋子，$y$颗黑色棋子，从盒中随机取出一颗棋子，它是白色棋子的概率是$\frac{5}{8}$.
（1）列出$y$关于$x$的函数表达式；
（2）将第一次取出的棋子放回盒中，再向盒中放入6颗白色棋子，若随机取出一颗白色棋子的概率为$\frac{2}{3}$，求$x$和$y$的值.
（1）列出$y$关于$x$的函数表达式；
（2）将第一次取出的棋子放回盒中，再向盒中放入6颗白色棋子，若随机取出一颗白色棋子的概率为$\frac{2}{3}$，求$x$和$y$的值.
答案
14. （1）因为取到白色棋子的概率是$\frac{5}{8}$,所以取到黑色棋子的概率是$\frac{3}{8}$. 黑色棋子与白色棋子之比为$\frac{3}{5}$,所以$y=\frac{3}{5}x$ （2）$\frac{x+6}{\frac{3}{5}x+x+6}=\frac{2}{3}$,解得$x=30$,经检验$x=30$是原方程的解,此时$y=\frac{3}{5}×30=18$
解析
【分析】
解题的核心是运用等可能事件的概率公式：$P(\mathrm{事件A})=\frac{\mathrm{事件A包含的结果数}}{\mathrm{所有等可能结果总数}}$。
（1）首先明确总棋子数为$x+y$，取到白色棋子的概率为白色棋子数除以总棋子数，结合已知概率列出关于$x$、$y$的等式，整理即可得到$y$关于$x$的函数表达式。
（2）先分析棋子数量的变化：第一次取出的棋子放回，所以原有棋子数不变，再加入6颗白色棋子后，白色棋子数变为$x+6$，总棋子数变为$x+y+6$，结合新的取白棋的概率列方程，再将第一问得到的$y$与$x$的关系代入方程求解，注意分式方程需要检验根的合理性，最后求出$y$的值即可。
【解析】
（1）根据概率公式，取到白色棋子的概率为：
$\frac{x}{x+y}=\frac{5}{8}$
交叉相乘得：$8x=5(x+y)$
展开整理：$8x=5x+5y$，即$3x=5y$
$\therefore y=\frac{3}{5}x$
（2）将第一次取出的棋子放回，再放入6颗白色棋子后，白色棋子数量为$x+6$，总棋子数量为$x+y+6$，此时取白棋的概率为$\frac{2}{3}$，可列方程：
$\frac{x+6}{x+y+6}=\frac{2}{3}$
将$y=\frac{3}{5}x$代入上式得：
$\frac{x+6}{x+\frac{3}{5}x+6}=\frac{2}{3}$
化简分母：$\frac{x+6}{\frac{8}{5}x+6}=\frac{2}{3}$
交叉相乘得：$3(x+6)=2(\frac{8}{5}x+6)$
展开：$3x+18=\frac{16}{5}x+12$
移项合并同类项：$3x-\frac{16}{5}x=12-18$，即$-\frac{1}{5}x=-6$
解得$x=30$
经检验，$x=30$是原分式方程的解，且符合实际意义。
将$x=30$代入$y=\frac{3}{5}x$，得$y=\frac{3}{5}×30=18$
【答案】
（1）$y=\frac{3}{5}x$；（2）$x=30$，$y=18$
【知识点】
等可能概率计算、分式方程应用、函数关系式列写
【点评】
本题是概率与方程结合的基础应用题，主要考查对概率公式的灵活运用，解题时要注意棋子数量变化前后的对应关系，解分式方程后不要忘记检验根是否符合实际意义。
【难度系数】
0.75
解题的核心是运用等可能事件的概率公式：$P(\mathrm{事件A})=\frac{\mathrm{事件A包含的结果数}}{\mathrm{所有等可能结果总数}}$。
（1）首先明确总棋子数为$x+y$，取到白色棋子的概率为白色棋子数除以总棋子数，结合已知概率列出关于$x$、$y$的等式，整理即可得到$y$关于$x$的函数表达式。
（2）先分析棋子数量的变化：第一次取出的棋子放回，所以原有棋子数不变，再加入6颗白色棋子后，白色棋子数变为$x+6$，总棋子数变为$x+y+6$，结合新的取白棋的概率列方程，再将第一问得到的$y$与$x$的关系代入方程求解，注意分式方程需要检验根的合理性，最后求出$y$的值即可。
【解析】
（1）根据概率公式，取到白色棋子的概率为：
$\frac{x}{x+y}=\frac{5}{8}$
交叉相乘得：$8x=5(x+y)$
展开整理：$8x=5x+5y$，即$3x=5y$
$\therefore y=\frac{3}{5}x$
（2）将第一次取出的棋子放回，再放入6颗白色棋子后，白色棋子数量为$x+6$，总棋子数量为$x+y+6$，此时取白棋的概率为$\frac{2}{3}$，可列方程：
$\frac{x+6}{x+y+6}=\frac{2}{3}$
将$y=\frac{3}{5}x$代入上式得：
$\frac{x+6}{x+\frac{3}{5}x+6}=\frac{2}{3}$
化简分母：$\frac{x+6}{\frac{8}{5}x+6}=\frac{2}{3}$
交叉相乘得：$3(x+6)=2(\frac{8}{5}x+6)$
展开：$3x+18=\frac{16}{5}x+12$
移项合并同类项：$3x-\frac{16}{5}x=12-18$，即$-\frac{1}{5}x=-6$
解得$x=30$
经检验，$x=30$是原分式方程的解，且符合实际意义。
将$x=30$代入$y=\frac{3}{5}x$，得$y=\frac{3}{5}×30=18$
【答案】
（1）$y=\frac{3}{5}x$；（2）$x=30$，$y=18$
【知识点】
等可能概率计算、分式方程应用、函数关系式列写
【点评】
本题是概率与方程结合的基础应用题，主要考查对概率公式的灵活运用，解题时要注意棋子数量变化前后的对应关系，解分式方程后不要忘记检验根是否符合实际意义。
【难度系数】
0.75
