10. 如图，已知线段$AD=10\ \mathrm{cm}$，线段$AC=BD=6\ \mathrm{cm}$. $E$，$F$分别是线段$AB$，$CD$的中点，则$EF$的长为。

10.6 cm

11. 已知线段 $AB=5\ \mathrm{cm}$, 在直线 $AB$ 上找一点$C$ 使 $BC=2\ \mathrm{cm}$, 点 $D$ 为 $AC$ 的中点, 则 $BD$的长是.

11.3.5 cm或1.5 cm

12. 如图，C为线段AB上一点(AC＞BC)，点D在线段BC上，BD=2CD，点E为AB的中点.

(1)若AD=10，EC=3CD，求线段CD的长；
(2)若AC=2BC，求$\frac{EC}{BD}$的值.

12.(1)设$CD=x$,则$BD=2CD=2x$.所以$BC=BD+CD=3x$,$EC=3CD=3x$.因为$AD=10$,所以$AB=10+2x$.因为点E为AB的中点,所以$AE=\frac{1}{2}AB=5+x=BE$,所以$EC=BE-BC=5+x-3x=5-2x$,所以$5-2x=3x$,解得$x=1$,所以$CD=1$.
(2)设$CD=x$,则$BD=2CD=2x$,$BC=CD+BD=3x$,$AC=2BC=6x$,所以$AB=3x+6x=9x$.因为E为AB的中点,所以$EB=\frac{1}{2}AB=4.5x$,所以$EC=EB-BC=4.5x-3x=1.5x$,所以$\frac{EC}{BD}=\frac{1.5x}{2x}=\frac{3}{4}$.

13. 如图，$∠ AOB$是直角，$∠ AOC=40°$，OD平分$∠ BOC$，则$∠ AOD$等于（）

A.$65°$
B.$50°$
C.$40°$
D.$25°$

13.A

14.如图，PA，PB表示以P为起点的两条公路，其中公路PA的走向是南偏西$34°$，公路PB的走向是南偏东$56°$，则这两条公路的夹角$∠ APB=$。

14.$90°$

15.(黄石期末)如图,直线AB上有一定点O,射线OC,OM,ON在直线AB上方,且∠MON=90°.
(1)如图1,当OM平分∠AOC时,试说明:ON平分∠BOC;
(2)如图2,分别作∠COM,∠CON的平分线OD,OE,当∠CON=10°时,求∠DOE的度数.

15.(1)因为OM平分$∠ AOC$,所以$∠ AOM=∠ COM$.因为$∠ MON=90°$,即$∠ MOC+∠ NOC=90°$,所以$∠ AOM+∠ BON=90°$,所以$∠ CON=∠ BON$,所以ON平分$∠ BOC$.
(2)①,当OD,OE在OC的异侧时,因为OD,OE分别是$∠ COM,∠ CON$的平分线,所以$∠ COD=\frac{1}{2}∠ COM$,$∠ COE=\frac{1}{2}∠ CON$.因为$∠ MON=90°$,即$∠ MOC+∠ NOC=90°$,所以$∠ DOE=∠ DOC+∠ COE=45°$,②,当OD,OE在OC的同侧时,因为OD,OE分别是$∠ COM,∠ CON$的平分线,所以$∠ COD=\frac{1}{2}∠ COM$,$∠ COE=\frac{1}{2}∠ CON$.因为$∠ MON=90°$,即$∠ MOC-∠ NOC=90°$,所以$∠ DOE=∠ DOC-∠ COE=45°$.即$∠ DOE$的度数为$45°$.